Étude de la courbe elliptique $y^2 = 4x^3 - 27 ((3 + \sqrt{-19})/2)^2$ et monogénéité de certains anneaux d’entiers

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

V

INCENT

F

LECKINGER

Étude de la courbe elliptique y

2

= 4x

3

− 27((3 +

√

−19)/2)

2

et monogénéité de certains anneaux d’entiers

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 103-116

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Etude de la courbe

_{elliptique y2}

=

4x3 -

27((3

₊

~-19)/2)2

et

_{monogénéité}

de certains

anneaux

d’entiers.

par VINCENT FLECKINGER

Le

_sujet

de cet

_exposé

est une étude de la courbe

elliptique

E :

y2

=

4x3 -

_{27( 3+ 2-19 ~z ~}

concernant sa fonction

L(E/k, s)

et le calcul du _rang

E(k)

sous la

conjecture

de Birch et Swinnerton

Dyer,

où k =

Q( 19).

On

justifie

ainsi la méthode utilisée dans le travail en commun avec J.

Cougnard

sur la non existence de

_point

entier sur

_E(k).

_Rappelons

brièvement les motivations de ce travail. Soient k un _corps

quadratique imaginaire,

_Hk

son _corps de classes de

_Hilbert,

.~ un idéal de

Zk

l’anneau des entiers de k et

k(-1:7)

le _corps de classes de k de _rayon F. Les résultats de

Cassou-Noguès

et

_Taylor

_{([C.-N., T])}

sur l’existence d’une base de

puissances

_pour

les anneaux d’entiers dans les extensions

k(4:F) /k(4)

et

k~4&#x3E;k~~~/k~4~

_lorsque

7 est

_premier

à

₍₂₎

_{et que}

₍₂₎

est

_décomposé

dans

_k,

ont conduit

_plusieurs

auteurs à s’intéresser à ce

_problème.

C’est ainsi _que des améliorations et

des

_{généralisations}

ont été

_apportées

_par ces auteurs J.

_{Cougnard ,}

moi-même et finalement _par R. Schertz

_([Sc]),

_qui

donne les meilleurs résultats

possibles

et chez

_qui

on _peut trouver une

_{bibliographie complète.}

Si on étudie les résultats obtenus on constate _que le cas le

_plus

défavo-rable est le cas où

(2)

et

₍₃₎

sont inertes dans k. En effet il n’existe _pas de

points

de torsion de la courbe

_C/Ak,

_pour

_lequel

la valeur de la fonction de Weber

_{correspondante}

soit dans

_Hk,

car on sait que ses valeurs

engendrent

des _corps de _rayons distincts de

_Hk.

On est donc amené considérer des

corps de la forme k = _avec d - 19 mod 24. Le

_{premier exemple}

abordable

_{expérimentalement}

se trouve être

_d=19,

car le nombre de classe

est alors

_égal

à 1. C’est donc ce _{corps que} nous allons

_considérer,

et nous

notons =

1+ 2-ls _

Dans le

corps k

= l’idéal

(7)

se

_décompose

(7) = P7P’

avec _P7

= (1

_+w).

Nous _pouvons alors citer le théorème suivant

[C,F] :

THÉORÈME

1. Pour _que l’anneau

_possède

une base de

puissances

sur

Ak

il faut et il suffit que

l’équation diophantienne

y2

+ 27 =

4(1

₊

possède

une solution

première

à 3 dans

Ak .

D’où l’étude de la courbe

_{E ;}

le résultat démontré avec J.

_Cougnard

s’énonce alors sous la forme :

THÉORÈME

2. L’anneau des entiers du corps des classes de rayon

n’admet _pas de base de

_puissance

sur l’anneau des entiers de k.

Ce

_qui

fournit ainsi une obstruction à la

généralisation

des résultats obtenus sur la

monogénéité.

Plan de

_{l’exposé :}

-

Dans la

_première

_partie

on détermine la fonction

L(E/k, s)

-

Dans la deuxième

_partie

on détermine

l’équation

fonctionnelle de la fonc-tion

_{L(E/k, s).}

-

Dans la troisième

_partie

on fait une 3-descente _pour calculer le _rang de

cette courbe

_elliptique

sur k. On montre _que, sous la

_conjecture

de Birch

et Swinnerton

_Dyer,

ce _rang est 1 .

1. Détermination de la fonction

_{L(E/k, s)}

Il nous faut donc calculer le nombre de

_points

de la courbe réduite

en

chaque

place

finie v de k.

Soit p

un idéal

_premier

de k,

Il _y a

plusieurs

cas à consi dérer :

-

Si p

est un idéal

_premier

ne divisant _pas

6( 1-f- c~),

alors la courbe réduite

admet _pour modèle :

-

Si p

divise

₃₍₁

+

_w)

alors le

_changement

de variable _y =

2y’

₊

9(1

₊

w),

x = x’ donne :

Ce

_qui

_permet

de calculer la valuation du conducteur de cette courbe en

3 et 1 + w en utilisant les résultats de

([N]).

On retrouve aussi que la réduction

_y’2

= x~3

est additive _pour chacune de ces deux

places,

ce

_qui

n’est _pas étonnant

_puisque

la courbe est à

_{multiplication complexe}

_([Si]).

- Enfin

si p

=

_2,

le

changement

de variable

précédent

_montre

que la courbe

Ces considérations

_permettent

d’affirmer _que le conducteur de la courbe

est

₉₍₁

_+W)2.

Soit alors q =

NklQ(p),

un calcul

classique

sur les _corps finis

donne les résultats suivant :

avec

où _{x2 et X3}

_désigne

des caractères non triviaux de

_J~~

d’ordre

_respectifs

2

et

_3,

_prolongés

en 0 _par 0.

On obtient ainsi une

première

expression

_pour la fonction L :

Pour mettre en évidence le

_{groCencharacter}

associé à cette

_fonction,

on considère les

_qualités

suivantes définies _{pour tout} idéal

_{premier p}

de

_{Z j,}

premier

avec 3 :

° ’

-

X3 est le caractère

cubique

défini pour tout élément de

Q[j]

premier

à p par

-

La fonction

_{p X3(X)X3(l -}

_x),

_prolongée

_par

multiplicativité

à l’ensemble des idéaux

_premier

avec 3 . On _remarque

On pose K =

k(j).

Le

grof3encharacter p

est alors défini _pour les idéaux

de li

_premier

à

₃₍₁

+

_w)

par

où

_~~g~

_désigne

le

_symbole

de

_puissance

3 ième sur K. On obtient ainsi

une autre

_expression

pour la fonction

L(E/k, s)

Mais

_k(j)

est

_principal

et l’unité

_principale

f = 3 ₊

10j

₊ 4v est de norme

relative 1 sur

Q(j).

Si

À0152

est un

générateur

de 2 alors on a :

où

_X(x)

est la racine de l’unité définie _par

_X(x)

=

x-1

mod 3.

La loi de

_{réciprocité cubique}

_permet

encore d’écrire _pour

(A,3(l+~))

= 1 :

où

_W3

est l’idéal

_engendré

_par

_{(1- j)}

dans

_K,

et

_{( . ,}

_.)~3

le

_symbole

local de reste

_normique

associé.

2.

_Equation

fonctionnelle de la fonction

_L(E/k,s)

On vient de voir _que

_{L(E/k, s)}

=

L(s, p)

où _cp est un caractère de Hecke de

_K,

de

_{conducteur 8}

divisant

₉₍₁

+

_w).

Nous utilisons maintenant les

travaux de J. Tate

_[T]

_pour déterminer

_{l’équation}

fonctionnelle.

Soit S =

{ool,

002, V3, ’P7,

l’ensemble des

places

infinies et des

places

divisant 8

dans

_K,

la

_place

_ool

_{correspondant}

au

plongements

{id, id},

la

_place

002

correspondant

aux

générateurs

respectifs

_r,T

de

et

_Gal(K/k).

Déterminons les caractères locaux associés au caractère de Hecke _cp

_d’exposant

_1/2.

Pour

_cela,

on _{pose pour} 2(

_premier

avec

3(1

₊

c~)

dans K :

0

est alors un caractère

d’exposant

0. La formule du

produit

donne,

si c

désigne

le caractère sur le groupe des idèles dé K associé

à 0

et

où

_(a)S

_désigne

l’idéal de K

_engendré

par la

partie

de a

première

avec

3(1

+

_w).

Posons e

=

x-i,

soit pour x _E

Q(j), (x,3)

= 1 : modulo 3. On obtient alors les caractères aux

places

de S:

La détermination du

_symbole

local

_{( . ,}

est faite dans

_{l’appendice}

1. On obtient

_qu’il

est de conducteur

_3,

donc déterminé _par les valeurs

Sachant que

(wk,

1+w)~3

=

(-w,

1+W)k

=

_1,

il suffit _en fait de connaître

ce

symbole

_pour les unités

_principales

locales _Ek = 1 De même

on

_{a ik}

(-1)k,

il suffit donc de connaître les valeurs du

On obtient alors tableau suivant :

Il reste à déterminer les réels

_t1,

_t2

_{et t3,}

cela se fait en utilisant la formule du

_produit

_pour les éléments

_2j

+ ce,

2j2

+w et

_{1 - j.}

soit encore :

Les facteurs locaux

_provenant

des

_places

à l’infini dans

_{l’équation}

fonction-nelle sont alors avec les notations de

_{[T] :}

-

Le facteur

_provenant

des

_places

ramifiées de

_K,

ne divisant _pas le con-ducteur

_,

c’est à dire des deux

_places

_fl319,

au dessus de

_201319,

soit :

d’où une contribution totale de

192s-l.

-

Le facteur

_provenant

des

_places

infinies :

d’où une contribution totale de

-

Le facteur

_provenant

des deux

_places

On remarque que l’on

peut

prendre

a entier modulo 7 dans les deux _cas, et

donc _que le facteur

_exponentiel

est le même et est

_égal

Les sommes de _gauss intervenant

correspondent

à des caractères

conjugués,

leur

_produit

vaut donc

_{7c~(-l) =}

_7,

de

_plus

=

_1,

d’où _une contribution totale :

72s-l.

- Le facteur

provenant

de la

_place

_{~3 :}

Pour calculer cette somme on la

paramètre

à l’aide des unités locales

@ pour 0 k

8,

0 1 8. On vérifie alors les

égalités :

ce

_qui

_permet

d’affirmer _que la somme de Gauss vaut -9. La contribution finale de la

_place

_~3

est donc :

938+3it3-3/2 = 93~-3/2.

.

Ceci nous donne

l’équation

fonctionnelle suivante :

On

peut

donc obtenir le

_prolongement

_analytique

de la fonction

en

_posant

3. La descente

Remarquons

d’abord _que les

_points

d’ordre 2 ou 3 de E ne _{sont pas}

ra-tionnels sur k. Une

conséquence

du tableau donnant les fonctions est

que le nombre de

points

de la courbe réduite en 2 est 3. Ce

_qui

_permet

d’affirmer que le sous _{groupe de torsion de}

E(k)

est trivial. Le même raisonnement montre _que la torsion de

_E(k(j»

est d’ordre 3

_engendrée

par

le

_point

T =

(0,3j(1 - j)(1 + w))

dont l’annulateur est 1 -

j.

Pour

_majorer

le _rang de

_E(k),

on utilise la

multiplication

_par

_{1- j,}

définie sur le _corps K =

k(j~.

Le

groupe

E(K)

est un et nous avons

l’égalité

suivante :

Or le _sous-groupe de torsion _par

_{~1 - j]}

de

_E,

_{E(1 -}

_j]

est contenu dans

E(K),

ce

_qui

_permet

d’écrire :

De la suite exacte

on déduit la suite exacte de 3-descente :

On _{remarque que}

_{Sll -il (EIK)}

est un _sous-groupe de

j]),

et

que l’action de

GK

sur

E[1 - j] )

étant

triviale,

on

_peut

identifier

Déterminons maintenant les

_{applications 6}

et

_0.

De la formule de

multipli-cation _par

_{~1 - j]}

on déduit :

de

_plus

la translation

_{par le point}

d’ordre

_3,

T =

(0,3j(l -j)(l+û~))

s’écrit:

on déduit l’identité suivante :

où

_Ti

=

(3(1

₊

w)2/3,9(1

₊

~))

vérifie

[1 - j]Tl

= T.

L’application b

_est alors définie _{par :}

Pour

_{l’application 0}

il faut associer à tout À E un _espace

homogène

pour la courbe E. En utilisant les

équations

(1)

on associe à tout élément

À de la courbe :

avec :

D’où la définition de

_{l’application 0 :}

L’étude du _groupe de Selmer

_{S~1-~~ (E~K) :}

On sait _{que le groupe de Selmer}

_correspond

à des extensions non ramifiées en dehors des

places qui

ne divisent _pas

₃₍₁

₊

_ca)

donc en fait

(,E~K)

C

_{(_ j,}

E, 1-

j, 2j

+ w,

2j2 -~- c"~~

dans De

plus

si A

est un élément du groupe de

Selmer,

alors

l’espace

homogène

correspondant

avec :

admet des

_points

rationnels dans en toute

_place

de K. Un raisonnement élémentaire sur les

valuations,

montre _que À doit être

premier

avec

_{1 - j .}

De

_plus

le

_symbole

local de reste

_{normique ( . , . )11}

associé aux extensions

cubiques

est trivial sur les

couples

dont la somme est un cube soit

_ici,

puisque

U et W ne

_peuvent

être nuls :

pour toute

place

de K. Posons À =

jafb(2j

~-GJ)~(2~2

+W)d

alors on obtient

en utilisant

_{respectivement}

les

symboles

en

~3, ~7

et le

_système

suivant

(voir

appendice

2):

qui

admet _pour ensemble de solutions un _espace vectoriel de dimension 3

sur

F3

correspondant

au _sous-groupe

Mais on sait que 1 _{+ w} =

b(T)

_est un élément du groupe de

_Selmer,

donc

il suffit _{d’examiner les éléments du groupe}

ou

plus simplement

j2f ,

_{j(2j + ), c(2j +c.~),}

et

_{+ w).}

Ces calculs

sont fait dans

_{l’appendice}

2. On obtient finalement

₍₁

+

~,~6’(2j+a;)).

Remarque :

Sous la

_conjecture

de Birch et Swinnerton

_Dyer,

le _rang de

Conclusion sous la

conjecture

précédente

rang, E(k)

= 1.

Pour aborder l’existence. des

_{points entiers,}

il faut soit

trouver

un

généra-teur de

_E(k),

soit utiliser la méthode de

_Baker.

C’est cette dernière solution

que

nous avons retenue. Les calculs nécessitaient au

départ l’emploi

d’un

système

de calcul

_{multiprécision,}

nous avons utilisé le

système

PARI que

nous ont

_procuré

leurs auteurs H.

_Cohen,

M.

_Olivier,

C. Batut à Bordeaux

et D. Bernardi à Paris.

_Depuis

M. Waldschmidt et

_M.Mignotte

_([M,W])

nous ont

_communiqué

des nouvelles constantes _pour la méthode de Baker. Ces dernières

_permettent

de travailler avec une

_{précision beaucoup}

moins

importante

de l’ordre de

10-13

au lieu de

lO-212.

Appendice

1. Détermination du

symbole

local

_{( .}

_,1

-~ sur les unités Pour déterminer ce

symbole,

on calcul d’abord le conducteur de

l’ex-tension locale

_{-~- w)/K,~3.}

On _{remarque que}

_v((1

_{+ ú) )8 -}

₁₎

= 2 _ce

qui

montre _que le défaut de l’unité locale 1 + w est 2. On en déduit _que le

conducteur de l’extension est 3

_([W]).

Soit =

f x

_e

1)

=

~}

et U =

U~°~.

_Puisque

_{est un}

représentant

modulo 3 d’un

Teichmüller,

_on

peut

décrire le groupe

U/U(2)

=

U /U(l)

_X

U(1)/U(2)

_sous la forme

Mais

_(-1,1

+ =

1,

donc

(w,1

₊

ú.I)~3

=

(-c.~,1

₊

ú.I)~3 ~

1 Il reste à déterminer les

_symboles

_{(l+o/(l2013~),l+~)pg.}

Or

_U(1)IU(2)

est un _espace vectoriel sur

F3

de base

_{((1 + (1- j), (1-+-c.(1- j))}

il suffit donc de calculer les deux

_{symboles correspondants.}

Les deux calculs sont

_analogues,

nous donnons ici

_uniquement

le

_premier.

le calcul se ramène donc _par utilisation de la loi de

_{réciprocité}

_{(voir 1)}

aux calculs des

_symboles

_{cubiques .}

-Ce

_qui

donne

On obtient

donc~

2. Résolution locale des

_équations

pour d

Changeons

U en

U/6,

il vient

Puisque

l’indice de ramification absolu est

_2,

une unité de est un cube si et seulement c’est un cube modulo 9. D’autre

_part

_j,

et 1 _{+ w}

ne _{sont pas} des cubes dans donc on

_peut

_{supposer que} U et W sont

des unités locales. En

_particulier,

on

_peut

_supposer U = 1. L’existence de solution _pour cette

_équation

dans lé localisé en la

_place

’93

de

K,

est donc

équivalente

à l’existence de solution modulo 9. Pour faciliter les calculs modulo

_9,

on choisit un Teichmüller _p de

K1331

_par

exemple

_{p -} 4w modulo 9 alors on obtient le tableau suivant dans

_{AK /(9):}

Un cube modulo 9 est alors de la forme :

d’autre

part

on a :

On vérifie alors que la seule valeur de d pour

laquelle

il y a une solution

possible

est

_{d = j2E2(2j}

_{+ w)}

avec _par

_exemple

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