Contrôle d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2015-16

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre 2

durée : 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

(10 points)

On considère l’endomorphisme f de R3 _{définie par :}

∀



x, y, z

_{ ∈ R}3 _:

_f

_

_{x, y, z}

_{  }

_x

 2y − 2z, 3x  y − 3z, 3x  2y − 4z

_.

1) Déterminer la matrice A de f par rapport à la base canonique B  e1, e2, e3 de R3.

2) On considère les vecteurs e1′  0, 1, 1, e2′  1, 0, 1 et e3′  1, 1, 0.

Montrer que le système B′  e₁′, e2′, e3′ est une base de R3.

3) Donner la matrice de passage P de B à B′.

4) Calculer P2 _{− P.}

5) En déduire a) l’inverse de P

b) la matrice A′ de f par rapport à la base B′.

Exercice 2 :

(10 points)

Soient E  x, y, z, t ∈ R4_╱ x y  3z  t  0 x− 2y − 3t  0 x− y  z − 2t  0 ,

∑

le système d’équations linéaires défini par :

∑

x y  3z  t  0

x− 2y − 3t  0

x− y  z − 2t  0

.

et F le sous-espace vectoriel de R4 _{défini par F} _{ x, y, z, t ∈ R}4_{╱2x  6y  7z − t  0.}

1)

Donner la matrice A du système



.

2) Déterminer (en utilisant les opérations élémentaires) la matrice échelonnée réduite canonique équivalente à A (ou bien une matrice échelonnée équivalente à A). 3) En déduire

a) la résolution du système

∑

.

b) que E est un sous-espace vectoriel de R4 _{et une base de E.}

4) Déterminer E∩ F.

5) Déterminer une base de F et la dimension de F.

6) E et F sont-ils supplémentaires dans R4?