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Structure algébrique pour des environnements à entités
interactionnelles et mobiles
Abdelkader Gouaich, Yves Guiraud, Fabien Michel
To cite this version:
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X YZ[\]^_`[a]Z
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§
lkgodgpoln ¦bcd klmrldgnpd lxokocd dlnp cifkhpfd jgnd hn cnoelnncmcnp jfomopf¨
TUVVWVXYZUVZ[\X]^_`UaXV b cdefghaV]iYjUaX[aVWVXYZUghZk[X_X]haaU\ ghZZU[a_`jl`_XghmljUaX inUaX]XlVh[ o
pqrstu o
vw
a_`UaXUVX[aUUaX]Xl_[XhahZUx[]_gghZk\]UVUVy[XVkjhkjUVUa]aXUj_`]VV_aX_zUg in_[XjUV_`UaXVUX Vha Uaz]jhaaUZUaX{|}~
v
h[j\UV_`UaXVi]XVgh`a]X]V\UV]aXUj_gX]haVVhaXghai[]XUV
Xj_zUjV iUV ZUVV_`UV VlZ_aX]x[UV in]aXUj_gX]ha ghZZU e eT { ~_ h[ dT {e~ v TU ghaXUa[iUgUVZUVV_`UVkU[XXjUila] _zUgiUVhaXh\h`]UVx[]UaX\_VlZ_aX]x[UiUVghagUkXVlgm_a`lV i[j_aX\n]aXUj_gX]ha
v
Uk\[V\UVcde haXila][aUghaX]a[]XlghmljUaXUiUV]aXUj_gX]haVVh[VhjZUin[a i]_\h`[UUaXjU_`UaXV
v
Ui]_\h`[UkU[XXjUVklg]l_zUgiUVkjhXhgh\UVin]aXUj_gX]haXU\x[U\UVkjhXhgh\UV e { ~y v
d_\`jl VUVghaXj]y[X]haVaha al`\]`U_y\UV kh[j ila]j\UV ]aXUj_gX]haVUaXjU ghZkhV_aXV ]ahjZ_X]x[UV \_kkjhgmU cde _ i[ Z_\ ghaz_]agjU [aU `j_aiU lgmU\\U
v
a UUX kh[j \_ k\[k_jX iUV VWVXYZUV ]ahjZ_X]x[UV h \nUaz]jhaaUZUaX jUVXU V]Zk\U\UV k_j_i]`ZUV g\_VV]x[UV ghZZU \nhj]UaXl hyUX V[VUaX \_j`UZUaX UX VhaX y]Ua _iZ]V
v
UkUai_aX \UV Uaz]jhaaUZUaXV Zhy]\UV UX iWa_Z]x[UV XU\ x[U\UV Uaz]jhaaUZUaXV[y]x[]VXUV kU[zUaX ghaVX]X[Uj [aU jhaX]YjU jlU\\UUaXjU\UV k_j_i]`ZUV g\_VV]x[UV UX \U k_j_i]`ZUcde kh[j \n]a`la]Uj]U iUV VWVXYZUV ]ahjZ_X]x[UV
v
nUVX kh[jx[h] ah[V kUaVhaV x[U \UV VWVXYZUV [y]x[]VXUV iUzj_]UaX XjU ghaV]iljlV ghZZU iU zj_]V g_V inlX[iU UX inUklj]ZUaX_X]ha kh[j \UV cde
v
CDC G LONG
TU ghiUZhy]\UlX[i]U\UV VWVXYZUV]ahjZ_X]x[UV h iUV ghZkhV_aXV \h`]g]U\V gm_a`UaX inUaz]jhaaU^ ZUaX inUlg[X]ha i[j_aX\U[j gWg\U iUz]U
v
hZZUi_aV\UV cde \UV ghZkhV_aXVZhy]\UV]aXUj_`]VVUaX kh[j _gghZk\]j \U[jV y[XV
v
T_ ghZZ[a_[Xl i[ ghiU Zhy]\U VnUVX mU[jXlU j_k]iUZUaX \_ `UVX]ha iUV ]a^ XUj_gX]haVUaXjU\UVghZkhV_aXV
vw
aUiUVVh\[X]haV _kkhjXlU gUkjhy\YZUUVX\n]iUaX]g_X]ha in[aUUaX]Xl ahZZlU nZli]_ iUghhji]a_X]hanx[] ghaXj\UUXghagjlX]VU\UV ]aXUj_gX]haVUaXjU\UVUaX]XlV{T_Ty
v
_jZ]\UVZli]_ViUghhji]a_X]hahakU[Xg]XUjT]ZU {
d~~[Vgha {~ UXdec { Ty v
TUZli]_ iU ghhji]a_X]ha UVX ihag [aU UaX]Xl UXUjaU _[ VWVXYZU _kk\]g_X] ¡ ]\ _]X k_jX]U iU gU x[U ah[V _zhaV ila] ghZZU \nUaz]jhaaUZUaX iU ilk\h]UZUaX
v ¢
h[V kjhkhVhaViU `lalj_\]VUj gUXXU UaX]Xl Ua ila]VV_aX [a ZhiY\U inUaz]jhaaUZUaX x[] ila]X aha VU[\UZUaX \UV ]aXUj_gX]haV UaXjU \UV UaX]XlV Z_]V l`_\UZUaX \U[j Zhy]\]XlUX \UVhyVUjz_X]haV z_\]iUV UX ihag V[jUVi[ jlV[\X_X iU \U[j g_\g[\ ]aXUjaU
v CD£ QN¤MN LONG ¥¦LGN
TUV ZhiY\UV hjZU\V iU g_\g[\ ilgj]zUaX [a \_a`_`U iU kjh`j_ZZ_X]ha nhjZU\n v
TU
λ
^g_\g[\ {dhj UVX kjhy_y\UZUaX \U k\[V ghaa[ UX lX[i]l iU gUV ZhiY\UV v
d_\mU[jU[VUZUaX ]\ VU \]Z]XU VU[\UZUaX _[ _\`hj]XmZUVVlx[UaX]U\V UX VX_X]x[UV
v
Ug] _ZUa_ \n_kk_j]X]ha in_[XjUV ZhiY\UV iUg_\g[\ x[] ]ag\[UaX iUV ghagUkXViU\n]ahjZ_X]x[UZhiUjaUghZZU\_Zhy]\]Xl\_i]VXj]y[X]ha UX\_Vlg[j]Xl
v
_jZ]gUVZhiY\UViU g_\g[\hakU[Xg]XUj\U
π
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π
{e¨~ UX\_Vlg[j]Xlc
π
{d©~ ªeZy]UaX { _j~~UX\U|h]a g_\g[\[V {h[~ vd
∗
_ihkXU[aU_kkjhgmUi]ljUaXUUa ila]VV_aX \UV ghagUkXV iU Zhy]\]Xli]VXj]y[X]ha UX ]aXUj_gX]ha ghZZU iUV kjhkj]lXlV Uaz]jhaaUZUaX_\UV UX aha g_\g[\_Xh]jUVv
« ¬®¯°±® ²³´µ¶¯®±
UXXU VUgX]ha ]aXjhi[]X \UV ghagUkXV hai_ZUaX_[ i[ ZhiY\U d
∗
=>?@>@A B?CAD?A EFGDHIAJJFJ
i
K LM MNOPO
(I×J)
QR PMSPTU Q P VPS WXTY QQ PS(a
i,j
)
(i,j)∈I×J
V R Z Q ZTPMOS VPO
OP QQ PS [\P ON\S Q PSa
i,j
SNMO M\ Q S SX\W\M MNTU]P ^MY K _ P T`TPa NM MNOPL
QR PMSPTU Q P VPS WXTY QQ PS(m
i
)
i∈I
a XbPcm
i
∈ L
i
aOP QQ PS [\Pm
i
= 0
SX\W dN\]\M MNTU]P^MY K LMdNSP PM^M eA = O
(I×J)
× O
(I×J)
× L
VNMO Q PS Z Q ZTPMOSSNMOXddP Q ZS >@A?CJ fEAM IC
∗
g K LM MNOPout, in : A −→ O
(I×J)
POmem : A −→ L
QPS O]NYS d]NhPcOYNMS POa dN\]
A ∈ A
a NM XddP QQ PoutA
i ]PSd KinA
j Q X kHlCA Em no BJJBH? i ]PSd K EA DnIAGCBH? j VPA
POmemA
Q X ono HBDA VPA
K LM dP\OPMcN]P d]NhPOP] eout = (out
i,j
)
(i,j)∈I×J
a
in = (in
i,j
)
(i,j)∈I×J
PO
mem = (mem
i
)
i∈I
K pY
A ∈ A
a NM XddP QQ Pout
i,j
A
i ]PSd Kin
i,j
A
j Q X kHlCA EmnoBJJBH? i ]PSd K EADnIAGCBH? j EFGDHIAJJFJi
EAA
E>?J =mAJG>IAj
aPOmem
i
A
Q X ono HBDA EFGDHIAJJFJi
EAA
K qrs tuvwxy z{ |}~w~ zxM I C
∗
cYaMN\S X QQ NMS cX]XcOZ]YSP] Q PS ZbN Q \OYNMS VPS XPMOS K MP D@=A EA oHFAoA?C PSO \MPXdd Q YcXOYNM
µ : A −→ A
bZ]Y^XMO e µ
MP TNVY^P dXS Q PS UNOPS VP ]ZcPdOYNM MY Q PSTZTNY]PS ein ◦ µ = in
POmem ◦ µ = mem
µ
d]ZSP]bP Q NUX Q PTPMO Q PSUNOPS V R ZTYSSYNM V R \M d]NcPSS\S VNMMZ e∀i ∈ I,
X
j∈J
out
i,j
◦ µ =
X
j∈J
out
i,j
Q PSUNOPS VP]ZcPdOYNM >GDJ oHFAoA?C V R \Md]NcPSS\S VNMMZMP VZdPMVPMO [\PVPS UNOPSVP ]ZcPd OYNM >>?C oHFAoA?C V\ T`TPd]NcPSS\S e∀i ∈ I,
(out
i,j
)
j∈J
◦ µ = (out
i,j
)
j∈J
◦ µ ◦ (out
i,j
)
j∈J
Q X ] Q PVPTN\bPTPMO PSO Q X T`TPdN\] ON\S Q PS d]NcPSS\S e
∀A ∈ A, ∀i, i
0
∈ I, (out
i,j
A)
j∈J
= (out
i
0
,j
A)
j∈J
⇒ (out
i,j
µ(A))
j∈J
= (out
i
0
,j
µ(A))
j∈J
.
X d]Nd]YZOZ S\YbXMOP PSO X Q N]S YTTZVYXOP e Q
P YSOP \MP cN]]PSdNMVXMcP UYhPcOYbP PMO]P Q PS ] Q PS VP TN\bPTPMO PO Q PS Xdd Q YcXOYNMS
O
(J)
−→ O
(J)
K ¡ Q \S d]ZcYSZTPMOa\MP ] Q PVPTN\bPTPMOµ
PSO PMOY]PTPMO cX]XcOZ]YSZP dX] \MP Xdd QY cXOYNM
˜
µ
PO eµ
(a
i,j
)
i,j
, (b
i,j
)
i,j
, (m
i
)
i
)
=
µ((a
˜
i
, j)
j
)
i
, (b
i,j
)
i,j
, (m
i
)
i
)
.
¡ X]TY Q PSTN\bPTPMOSaY QPM P YSOPVPSdX]OYc\ Q
YP]Sa Q
PSTN\bPTPMOS n=noA?C>BDAJ Y Q S SNMOcX]XcOZ]YSZS dX] Q X VNMMZP VP
i, i
0
∈ I
PO VPa ∈ O
PO bZ]Y^PMO e dN\] ON\O XPMO§¨©ª©«¬¬©®¯ °±²³´±²´ µ±²¶·µ·¸´
µ
·´´±²´ ¹º·¸´A
»¼½ ·¾ ¼¿ ´·²¸· ¿ ² ¼ ´·ÀÁÂÃ(µ
1
, . . . , µ
n
)
Ä ·µ±²¶·Å µ·¸´ ¿ Æ½Æ µ·¸´¹ ¼ ³· ¿ ¶ Æ ³ ¼Ç ¹¸´ ȵ(A) = µ
n
◦ · · · ◦ µ
1
(A)
É Ê¯Ë¯Ë Ì®Í¨ÎϬ©® и· ÑÒ ÓÔ Ã ÕÖÂÁ×ÃÑØÙ×ÂÚÁ · ¿ ´²¸· ¹ÛÛ ½¼Ü ¹´ ¼ ±¸ϕ : A −→ A
Ý ² ¼ ¶ Æ ³ ¼Ç · È Þßϕ
¸· µ± Ä¼Ç ·Û¹ ¿ ½ · ¿ à ±á´· ¿ ÄâÆ µ ¼¿¿¼ ±¸ ¸ ¼ ½ · ¿ µ Æ µ± ¼ ³· ¿ Èout ◦ ϕ = out
·´mem ◦ ϕ = mem
ã Ëß ²¸ Û³± Ü · ¿¿ ² ¿Ý ² ¼ ¸ â · ¿ ´ Û¹ ¿ Û³ Æ¿ ·¸´ Ä ¹¸ ¿ ²¸ · ¿ Û¹ Ü · Äâ¼ ¸´·³¹ Ü ´ ¼ ±¸ Ä ±¸¸ Æ ¸·³·ä± ¼ ´³ ¼ ·¸ Ä ¹¸ ¿ Ü ·´· ¿ Û¹ Ü · È∀A ∈ A, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,
out
i,j
A = 0 ⇒ in
i,j
ϕ(A) = in
i,j
A
ãåß ½ ¹ à ±á´· Ä · ³ ÆÜ ·Û´ ¼ ±¸ Ø æ ÑÒç ÂÁ×ÃÑØÙ×ÂÚÁ Äâ ²¸ Û³± Ü · ¿¿ ² ¿ Ä ±¸¸ Æ Ä ¹¸ ¿ ²¸ · ¿ Û¹ Ü · Äâ¼ ¸´·³¹ Ü ´ ¼ ±¸ Ç ¾ Æ ¸· ÄÆ Û·¸ Ä Ý ²· Ä · ¿ ¹ ¶¹ ½ ·²³ ØèØÁ× ÂÁ×ÃÑØÙ×ÂÚÁ ·´ Ä · ¿ à ±á´· ¿ ÄâÆ µ ¼¿¿¼ ±¸ Ä · ¿ Û³± Ü · ¿¿ ² ¿ Ä ¹¸ ¿ ½ · µéµ· · ¿ Û¹ Ü · Äâ¼ ¸´·³¹ Ü ´ ¼ ±¸ È
∀i ∈ I, ∀j ∈ J,
in
i,j
◦ ϕ = in
i,j
◦ ϕ ◦
(out
k,j
)
j∈J
, in
i,j
.
ê¸ ¹ ¹ ½ ±³ ¿ ½ ¹ Ä · ¿Ü ³ ¼ Û´ ¼ ±¸ ¿ ² ¼ ¶¹¸´· È §¨©ª©«¬¬©®¯ и· ¼ ¸´·³¹ Ü ´ ¼ ±¸ϕ
· ¿ ´ ·¸´ ¼ë ³·µ·¸´ ÄÆ ´·³µ ¼ ¸ Æ · Û¹³ ²¸· ì¹µ ¼½½ · Äâ ¹ÛÛ ½¼Ü ¹´ ¼ ±¸ ¿(ϕ
i,j
: O
(I)
× O −→ O)
i,j
Ä· ½ ¹ µ¹¸ ¼ë ³· ¿ ² ¼ ¶¹¸´· È
ϕ
(a
i,j
)
i,j
, (b
i,j
)
i,j
, (m
i
)
i
=
(a
i,j
)
i,j
, ϕ
i,j
((a
k,j
)
k
, b
i,j
)
i,j
, m
i
.
í· Û ½ ² ¿» Û±²³ ´±²´ ¹º·¸´A ∈ A
» ¼½ ·¾ ¼¿ ´· Ä · ¿ ¿ ±² ¿ Å·¸ ¿ ·µ འ· ¿ ÀÁÂçI
0
⊆ I
·´J
0
⊆ J
´· ½¿ Ý ²·ϕ(A)
¿ · Ü ¹ ½Ü ² ½ ·Û¹³ ¹ÛÛ ½¼Ü ¹´ ¼ ±¸ ¿ ² ÜÜ · ¿¿¼ ¶· Ä · ¿ϕ
i,j
Û±²³i ∈ I
0
·´j ∈ J
0
» ·´ Ü · Ä ¹¸ ¿ ¸ â¼ µÛ±³´· Ý ²· ½ ±³ Ä ³· É Ê¯Ë¯å îÎïÏðï и· ÑÒ ÓÔ Ã ÕÃ ÙØ Ô Ùñ Ô · ¿ ´ ²¸· ¹ÛÛ ½¼Ü ¹´ ¼ ±¸γ : A −→ A
Ý ² ¼ ¶ Æ ³ ¼Ç · È Þß ¿¼ ²¸ Û³± Ü · ¿¿ ² ¿ · ¿ ´ µ± Ä¼ÇÆ Û¹³ ½ · Ü ¹ ½Ü ² ½ ò ²¸· Ä · ¿ · ¿ à ±á´· ¿ ÄâÆ µ ¼¿¿¼ ±¸ ±² ¿ ¹ µ Æ µ± ¼ ³·ó » ¿ · ¿ à ±á´· ¿ Ä · ³ ÆÜ ·Û´ ¼ ±¸ ¿ ±¸´³·µ ¼¿ · ¿ ô0
È∀A ∈ A, ∀i ∈ I,
∃j ∈ J, out
i,j
γ(A) 6= out
i,j
A
±²
mem
i
γ(A) 6= mem
i
A
⇒ (in
i,j
γ(A))
j
= 0
ãËß ½ · ¿ ¶¹ ½ ·²³ ¿ Ä · ¿ à ±á´· ¿ ÄâÆ µ ¼¿¿¼ ±¸ ·´ Ä · ½ ¹ µ Æ µ± ¼ ³· Ø æ ÑÒç ÙØ Ô Ùñ Ô Äâ ²¸ Û³± Ü · ¿¿ ² ¿ Ä ±¸¸ Æ ¸· ÄÆ Û·¸ Ä ·¸´ Ý ²· Ä · ¿ ¶¹ ½ ·²³ ¿ Ä · ¿ à ±á´· ¿ ÄâÆ µ ¼¿¿¼ ±¸ » Ä · ³ ÆÜ ·Û´ ¼ ±¸ ·´ Ä · ½ ¹ µ Æ µ± ¼ ³· ØèØÁ× ÙØ Ô Ùñ Ô Ä · Ü · Û³± Ü · ¿¿ ² ¿ È
∀i ∈ I,
(out
i,j
)
j
◦ γ
= (out
i,j
)
j
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(out
i,j
)
j
× (out
i,j
)
j
× mem
i
mem
i
◦ γ
= mem
i
◦ γ ◦
(out
i,j
)
j
× (out
i,j
)
j
× mem
i
ö÷øùøúûüûøýþ ÿ
γ
γ
i
: O
(J)
× O
(J)
× L
i
−→ O
(J)
× O
(J)
× L
i
i
γ
(a
i,j
)
i,j
, (b
i,j
)
i,j
, (m
i
)
i
=
γ
i
(a
i,j
)
j
, (b
i,j
)
j
, m
i
,
γ
i
A ∈ A
!"I
0
⊆ I
γ(A)
γ
i
#A
i ∈ I
0
$%& '()*+(*), -,M I C
∗
ÿ ./012/103 43M IC
∗
O
5I
J
E
# 6M IC
∗
7β
λ
8π
9:;<ù=; >þ ?O = 0
I = {1, . . . , n}
J = {∗}
i ∈ {1, . . . , n}
L
i
= Λ
`{0}
Λ
λ
α
ÿn
@0
λ
8 AA
B 8 7β
C 3 D /EF./GF1/30EF./HE
IA
A
ˆ
@β
λ
9:;<ù=; Jþ IN
!FE.π
BO
Z
/2Z
N
II = N
J = N
Hi
L
i
P ∈ L
i
::= 0
¯
xy.P
x(y).P
x, y ∈ N .
Bϕ
x
i,i
0
x ∈ N
i 6= i
0
∈ I
ϕ
x
OPQRPSTUQUVT OWXYYZ[\UUV
π
]OXWO\W^ _XS U`UQRWU a
¯
xy.(P |Q) ≡ ¯
xy.z(t).z(t).0
¯
zt.P
¯
zt.Q
Pb WUYcXSZXdWUYz
UTt
YPVT OePZYZUYf\gZOZU\YUQUVTYUWPV WUOPVTU`TU hZW VUiX\TRXY[\jUWWUY YPZUVT\TZWZYkUY XZWWU\SYl^ mV cX XWPSY TSXg\ZSU OeX[\UP
l
OPQQU((x
y
), 0, Q)
YZP
l
= ¯
yx.Q
UT OPQQU((−x
y
), 0, Q)
YZP
l
= y(x).Q
^mV VPTU[P ]
WjXnUVT gUM IC
∗
XZVYZ PdTUV\ o RXSTZS gUP ∈ Π
0
^ pWPSYqTP\TUY WUY kcPW\TZPVY RPYYZdWUY gU
[P ]
QrVUVT o gUY iPSQUY VPSQXWUYq [\Z YPVT WUY[ ˆ
P
p
]
Pb
ˆ
P
p
RXSOP\ST WjUVYUQdWU gUY iPSQUY VPSQXWUY gU
P
RP\SWX Skg\OTZPV g\π
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