blanc2011-1

Université Lyon 1 Master EADM 20102011

Capes blanc du 25/02/2011.

Exercice 1

Dans cet exercice on ne suppose connues que les propriétés de base des suites réelles, le théorème de la valeur intermédiaire, et la dénition d'une dérivée, mais pas la notion d'intégrale. Pour tout entier n ≥ 1, x 7→ xⁿ est une bijection croissante de [0, +∞[ sur lui-même. On note √ⁿ

ou encore x 7→ x^1/n la bijection réciproque.

Le logarithme

Pour x > 0 et n entier, n ≥ 1, on note un(x) = n(√ⁿ x − 1).

1. Soit a la racine n(n + 1)^ème de x. En exprimant un(x) et un+1(x) au moyen de a, montrer que la suite (un(x))n≥1 est décroissante, et qu'elle est convergente si x ≥ 1.

2. Montrer que, pour tout x, y > 0, un(xy) = u_n(x) + u_n(y) + u_n(x)u_n(y)

n .

3. En déduire que la suite (un(x))_n≥1 est convegente pour tout x > 0. Soit f(x) sa limite.

4. Démontrer que, ∀x, y > 0 f (xy) = f (x) + f (y).

5. Démontrer que, pour tout x > 0, x − 1

x ≤ f (x) ≤ x − 1.

6. Démontrer que la fonction f est dérivable en 1 avec f⁰(1) = 1, puis partout dérivable avec f⁰(x) = 1/x.

7. Démontrer que limx→+∞f (x) = +∞, et que limx→+∞f (x)

x = lim_x→0xf (x) = 0. La fonction exponentielle

On note dorénavant ln la fonction f construite au paragraphe 1.

1. Démontrer que ln est une application bijective de ]0, +∞[ sur R. On note exp la bijection réciproque exp : R 7→]0, +∞[.

2. Montrer que pour tous x, y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

3. Montrer que exp est dérivable, et que exp⁰ = exp.

Exercice 2

Etant donnée une suite réelle (an) on associe à tout couple (u0, u1) ∈ R² la suite (un) dénie par ses 2 premiers termes, u0 et u1, et, pour n ≥ 1,

u_n+1 = u_n+ a_n−1u_n−1

1. On suppose dans cette question que u0, u1 et les an (n ≥ 0) sont positifs ou nuls.

Capes blanc du 25 février 2011 1 M. Deléglise

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(a) Etudier le sens de variation de la suite (un)_n≥1. (b) Montrer que, pour n ≥ 2, on a un+1≤ u_nexp(a_n−1).

(c) En déduire que si la série P^+∞_n=0an est convergente alors la suite (un) est une suite convergente.

(d) Réciproquement, montrer que si la suite (un) est une suite convergente, et si u₁> 0, alors la série P^+∞_n=0a_n est une série convergente.

2. Dans cette question les (an) ne sont pas supposés ≥ 0, mais on suppose que la série P+∞

n=0an est absolument convergente. On dénit alors la suite (vn) par v0 = |u0|, v₁ = |u₁|et, pour n ≥ 1, vn+1= v_n+ |a_n−1| v_n−1.

(a) Comparer |un|et vn.

(b) Etudier la convergence absolue de la série

+∞

X

n=1

(un− u_n−1) (c) Etudier la convergence de la suite (un).

3. Dans cette question et la suivante on suppose que an= 1

(n + 1)(n + 2). Démontrer que la suite un est convergente.

4. On suppose que la limite L de la suite (un) est non nulle.

(a) Donner un équivalent de uk+1− u_ket en déduire que L − unest équivalent à L n. (b) On dénit la suite (εn)n≥1 en posant un= L −L

n + εn. Déterminer un équiva- lent de εn+1− ε_n et en déduire le développement limité à l'ordre 2 de un par rapport à 1/n.

Exercice 3

On considère l'équation diérentielle

xy⁰⁰+ y⁰+ y = 0. (1)

1. Déterminer les suites (an)telles que la série entière

a0+ a1x + a2x²+ . . . + anxⁿ+ . . .

soit solution de l'équation (1) à l'intérieur de l'intervalle de convergence. Quel est le rayon de convergence des séries obtenues ?

2. On appelle h la solution de (1), développable en série entière au voisinage de 0, qui prend la valeur 1 pour x = 0.

(a) Étudier le sens des variations de h sur [0, 2].

(b) Prouver qu'il existe une unique racine r1 de h dans ]0, 2[.

(c) Prouver que 1.4 < r1< 1.5.

3. Montrer que la solution générale de l'équation diérentielle (1) sur l'intervalle ]0, r1[, est donnée par

∀x ∈]0, c[, y(x) = h(x)

 A + B

Z x 1

dt t.h²(t)

 ,

avec A et B deux réels arbitraires. Discuter selon les valeurs de A et B l'existence de limx→0y(x).

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Exercice 4

Dans cet exercice, α représente un réel, α > 1 et β = 1/α.

1. Démontrez que pour tout tout entier n ≥ 1 l'intégrale impropre Z +∞

0

dt (1 + t^α)ⁿ est convergente.

2. Pour n ≥ 1 on dénit la fonction un sur l'intervalle ]1, +∞[ par

un(α) = Z +∞

0

dt (1 + t^α)ⁿ·

(a) Démontrer que, pour chaque valeur de α, la suite n 7→ un(α) est une suite décroissante, et que la suite des fonctions (un)_n≥1 est simplement convergente sur ]1, +∞[.

(b) En partageant l'intervalle ]0, +∞[ en trois parties démontrer que pour tout réel a, 0 < a < 1, on a

u_n(α) ≤ a + 1

(1 + a^α)ⁿ + 1 nα − 1· (c) En déduire que un(α) tend vers 0 quand n → +∞.

3. (a) A l'aide d'une intégration par parties, établir une relation de récurrence reliant u_n+1(α)et un(α).

(b) Démontrez que pour tout n ≥ 1,

un+1(α) = u1(α)(1 − β)(2 − β) · · · (n − β)

n! ·

4. On note wn(α) = ln(un) + β ln n.

(a) En étudiant la série de terme général (wn+1(α) − wn(α))n≥1, montrer que la suite (wn(α))_n≥1 est convergente.

(b) En déduire qu'il existe un réel K(α) tel que un(α)soit équivalent lorsque n tend vers l'inni à K(α)

n^β 5. (a) En écrivant

u1(α) − 1 = Z 1

0

 1

1 + t^α − 1

 dt +

Z +∞

1

1 1 + t^α dt montrer que limα→+∞u1(α) = 1.

(b) En déduire, pour tout n ≥ 1, la limite de un(α)quand α → +∞.

(c) La suite de fonction (un)n≥1 est elle uniformément convergente sur ]1, +∞[ ?

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