1 ECP (2a) Math
Optimisation discrète : Séance 3 (exercices)
PROGRAMMATION LINÉAIRE
Objectifs Initiation à la programmation linéaire.
1 Engrais chimiques
Une usine chimique produit deux sortes d’engrais minéraux complexes par mélange de plusieurs composants.
1. Le produitA, vendu 3 euros, est composé de : – 1 kg de nitrates
– 2 kg de sel de potassium
2. Le produitB, vendu 5 euros, est composé de : – 1 kg de nitrates,
– 1 kg de phosphates – 3 kg de sel de potassium.
Sachant que les quantités disponibles en stock sont : – 8 kg de nitrates,
– 4 kg de phosphates – 19 kg de sel de potassium.
déterminer les quantités (x1, x2) de chaque produit à fabriquer pour maximiser le bénéficeΦ.
1.1 Méthode géométrique
Ex 1 Résoudre géométriquement ce problème.
Ex 2 Ecrire la formulation algébrique de ce problème.
Déf 1 On introduit des variables d’écart (y1, y2, y3), représentant les quantités résiduelles de composants :forme standard.
Ex 3 On convient de représenter un point du domaine admissible au moyen de 5 composantes (x1, x2, y1, y2, y3).
Caractériser les sommetsO, M, T, P, N (en tournant dans le sens trigonométrique) de ce do- maine polygonal.
Ex 4 Si on chemine le long deON, montrer qu’on parvient à : Φ(0,4,4,0,7) = 20 + 3x1−5y2
Ex 5 Qu’obtient-on par un calcul analogue le long deOM? Ex 6 Continuer les itérations jusqu’à obtenir l’optimum.
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1.2 Méthode des tableaux
Déf 2 Tableau du simplexe: on ajoute au système des contraintes une ligne suppémentaire re- présentant la fonction objectif :
– coefficients (changés de signe), à gauche ; – valeur initiale, à droite.
Le résultat d’un certain programme se trouve ci-dessous.
1 2 3 4 5
1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 8.0 3 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 4.0 4 2.0 3.0 0.0 0.0 1.0 19.0 5 -3.0 -5.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1 4 3 4 5
1.0 0.0 1.0 -1.0 0.0 4.0 3
0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 4.0 2
2.0 0.0 0.0 -3.0 1.0 7.0 5 -3.0 0.0 0.0 5.0 0.0 20.0
5 4 3 4 5
0.0 0.0 1.0 0.5 -0.5 0.5 3
0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 4.0 2
1.0 0.0 0.0 -1.5 0.5 3.5 1 0.0 0.0 0.0 0.5 1.5 30.5
Ex 7 Vérifier que chaque tableau est relatif à une étape des itérations de l’un des cheminements décrits précédemment (lequel ?).
Ex 8 Comment passe-t-on d’un tableau au suivant ? Ex 9 Pourquoi le dernier tableau est-il . . . bien le dernier ?
1.3 Perturbation des données
Ex 10 On dispose désormais de 10 kg de nitrates (au lieu de 8). Quel est la nouvelle solution ? Ex 11 Même question avec 6 kg de nitrates ? et. . . c’est normal, tout ça ?
1.4 Autre point de vue
Une coopérative agricole négocie le prix unitaire de chaque composant pour acheter la totalité du stock. On veut déterminer les prix pour que cette vente en vrac rapporte au moins autant que la vente des mélanges.
Ex 12 Caractériser ce problème par rapport au précédent.
Ex 13 Que peut-on dire de sa résolution ?
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2 Approximation du problème du profil d’une route
Rappels (de la séance 2 d’Optimisation) :
– La fonctionget les scalairesh,αsont des données.
– La fonctionφsera choisie plus loin.
– Expression à minimiser :
J(u) =
n
X
1
Ji(u) Ji(u) =
Z xi
xi−1
φ³
u(x)−g(x)´ dx
– Méthode d’approximation : Ji(u)≈ h
2
³ φ¡
u(xi−1)−g(xi−1)¢ +φ¡
u(xi)−g(xi)¢´ – Expression numérique à minimiser :
I(U) =h µ1
2φ(u0−g0) +φ(u1−g1) +· · ·+φ(un−2−gn−2) +1
2φ(un−1−gn−1)
¶
– Contraintes à vérifier :
|ui−ui−1| ≤αh 1≤i≤n−1
Ex 14 On choisit φ(y) = |y|. Montrer que ce problème d’optimisation est équivalent au pro- blème :
minui,zi
1
2z0+z1+· · ·+zn−2+1 2zn−1
|ui−ui−1| ≤ αh
zi ≥ h|ui−gi| 1≤i≤n−1
Ex 15 Poser précisément ce problème de programmation linéaire (en prenantn= 4pour fixer les idées).
Ex 16 Sait-on le résoudre ? (comme précédemment).
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