Quelques aspects théoriques de l'émission électronique secondaire du cuivre, produite par bombardement d'électrons de faible énergie

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Submitted on 1 Jan 1972

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Quelques aspects théoriques de l’émission électronique secondaire du cuivre, produite par bombardement

d’électrons de faible énergie

M. Cailler, J.P. Ganachaud

To cite this version:

M. Cailler, J.P. Ganachaud. Quelques aspects théoriques de l’émission électronique secondaire du

cuivre, produite par bombardement d’électrons de faible énergie. Journal de Physique, 1972, 33 (10),

pp.903-913. �10.1051/jphys:019720033010090300�. �jpa-00207321�

QUELQUES ^ASPECTS THÉORIQUES

DE L’ÉMISSION ÉLECTRONIQUE SECONDAIRE DU CUIVRE,

PRODUITE PAR BOMBARDEMENT D’ÉLECTRONS DE FAIBLE ÉNERGIE

M. CAILLER et

J.

P. GANACHAUD Laboratoire de

physique

^{du métal}

Ecole nationale

supérieure

^de

mécanique

^{de Nantes}

(Reçu

^{le 6 mars}

1972,

^{révisé le 19 mai}

1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ L’émission

électronique

secondaire de cibles

métalliques polycristallines épaisses

par bombardement

électronique,

^est étudiée du

point

^{de vue}

théorique

pour ^une

énergie

^{du fais-}

ceau

primaire

de 200 eV. Cette

analyse distingue

^les processus de création, ^de transport ^{et de fran-} chissement de l’interface métal-vide _par les électrons excités. Le cuivre a été choisi pour tester les différentes

hypothèses.

^{Le terme source utilise une fonction}

diélectrique

^{issue de mesures}

optiques.

Un

premier

traitement rend compte des divers _processus au travers de

l’équation

de Boltzmann.

Lorsque

^la

profondeur

maximale de

pénétration

des électrons

primaires

^ne peut

plus

être consi- dérée comme

grande

vis-à-vis du libre parcours moyen des électrons

excités,

la méthode

précédente

peut être contestable. Dans ces conditions, l’utilisation d’une méthode de simulation de Monte Carlo permet de s’affranchir

partiellement

^{de ces} difficultés. Les résultats obtenus _par les deux méthodes sont très voisins. Il est ainsi

permis

^de penser que l’utilisation de

l’équation

de Boltzmann peut donner des indications

appréciables

^{même en dehors de son} strict domaine de validité. L’ac- cord avec

l’expérience

^{est bon en}

général.

^On étudie l’influence de divers

paramètres

^{en vue d’un}

ajustement plus quantitatif.

Abstract. ²⁰¹⁴

Secondary

electron emission from thick metallic targets ^{in a}

polycristalline

^{state is}

studied from a theoretical

point

^{of view as}

they

^{are bombarded}

by

^an electron beam of 200 eV energy. This

analysis

^treats

separately

^the processes of

creation,

transport and metal-vacuum interface

crossing by

excited electrons.

Copper

has been chosen as a check for our various assump- tions. The source term makes use of a dielectric function

given by optical

measurements. A first treatment takes account of the different _processes

through

^{a Boltzmann}

equation.

When the maxi-

mum

depth

^of

penetration

^of

primary

^{electrons can no}

longer

be considered as

large

^{as the excited}

electron mean free

path,

the former method _may be doubtful. In such a case,

by using

^{a Monte}

Carlo simulation

method,

^{one can}

partially

get rid of these difficulties. Results obtained

by

^both

methods are very similar. Thus one is allowed to think that a Boltzmann

equation

^can

give

^valuable

information even

beyond

the domain of its

validity. Agreement

^with

experimental

^{data is}

generally good.

Influence of various parameters ^is studied in view of a more

quantitative fitting.

PHYSIQUE 33, 1972,

Classification : Physics ^Abstracts

17 .10, 17 . 52

1. Introduction. ^- Dans l’étude du

phénomène

d’émission

électronique

secondaire

(EES)

^on

distingue

habituellement trois

aspects physiques

essentiels :

a)

l’excitation des électrons de la cible par le faisceau

électronique primaire (il s’agira

^ici d’une cible métal-

lique) ;

b)

^le

transport

des électrons excités ^vers la surface libre du

métal ;

c)

^les conditions de sortie des électrons

ayant

^atteint l’interface métal-vide.

Nous ne discuterons _pas ici de cette

séparation fréquemment

retenue et dont la nécessité résulte

principalement

de la recherche d’une

simplification

dans une

approche analytique.

^{Dans une méthode de}

Monte

Carlo,

^nous

pourrions

^{aisément nous libérer}

de cette contrainte. L’un des

objectifs principaux

^de

l’étude

présente

^reste

cependant

de contrôler la validité

d’application

de la théorie de Puff

[1 ] et plus précisé-

ment de l’utilisation de

l’équation

^{de Boltzmann.}

Ainsi dans l’un et l’autre des traitements _que nous

proposerons dans cet article nous serons amenés à

conserver des

hypothèses physiques identiques.

^Dans

une étude

ultérieure,

^nous

présenterons

^une

approche

de

type

Monte Carlo s’affranchissant de telles restric- tions.

Quant

^{à son}

équivalent analytique,

^un

exposé plus global

^du

problème,

^dans

l’esprit

^de la théorie de la

photoémission

^{de Mahan}

[2]

^{reste à}

imaginer.

Pour des échantillons

polycristallins ^massifs,

^le

libre _parcours moyen ^entre deux collisions électron- électron est en

général

^{considéré comme} faible vis-à- vis des dimensions de la cible. Dans ces

conditions,

^il devient

légitime

^{de rendre}

compte

^du processus d’EES

en

invoquant

^les

arguments

d’une théorie macrosco-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019720033010090300

pique,

c’est-à-dire en résolvant

l’équation

^{de Boltzmann}

appropriée.

Nous considérons dans toute la suite de cet article

un faisceau

électronique primaire pénétrant

^{dans le}

métal sous une incidence normale. On

peut

^{alors carac-} tériser le

phénomène

^{d’EES en} étudiant la distribution

angulaire

^et

énergétique

^des électrons excités à la

profondeur x’

de la cible.

Entre deux

collisions,

^les

particules

^{excitées seront}

supposées

^se

comporter

^{comme des} électrons libres.

Il est en

général

^admis que l’EES est un

phénomène

essentiellement

volumique.

^Par

ailleurs,

^{le milieu}

polycristallin peut

^{être considéré comme}

isotrope.

Compte

^tenu de la contribution restreinte des couches

superficielles

^à

l’EES,

^{il est donc}

légitime

^{de retenir}

pour décrire le

phénomène

^de

transport,

^{un libre} parcours moyen

s’adaptant

^aux

caractéristiques

^volu-

miques, négligeant

par suite toute altération de l’iso-

tropie

^au

voisinage

^{de la surface. Ainsi} décrirons-nous les collisions dans l’ensemble du métal au travers d’un libre parcours moyen

Â(E)

fonction seulement de

l’énergie E

de l’électron excitateur avant le choc.

On admettra en outre que dans la gamme considérée

d’énergies primaires,

et pour les métaux

choisis,

^les

collisions

inélastiques

électron-électron constituent le processus de diffusion

prépondérant.

II.

Equation

de Boltzmann.

Hypothèses simplifi-

catrices. ^- L’utilisation de

l’équation

de Boltzmann pour décrire le

transport

des électrons excités est

désormais

classique ([3]

^à

[5]).

^{La fonction}

représente

le nombre de

particules

secondaires dans

une couche

x’, x’

^{+ dx’ du}

métal,

^{dans la} gamme

d’énergie E’, E’

^{+ dE’ et de direction}

£2’, SI’

^{+ dll’.}

La

figure

¹

précise

^la

géométrie

^du

problème.

La variation _par unité de

temps

^{de cette fonction}

correspond

^à

FIG. 1. ^- Données géométriques relatives à l’émission électro-

nique secondaire _par bombardement électronique. Le faisceau

primaire excite à la profondeur ^{z un} électron de paramètres (E, 0) qui participe ^au phénomène de cascade. A la surface, ^les électrons excités sont émis ou réfléchis selon leur énergie ^{et leur}

angle d’incidence.

La

population

^{des électrons excités}

d’énergie

^{E’ et}

de vitesse v’ ⁼⁼

(v’, £2’)

diminue à l’intérieur du métal

au travers des collisions dont la

fréquence

^est

v’ / À(E’)

pour ^un

Ipm Â(E’).

^Ainsi par unité de

temps

et par unité de volume de

l’espace

^des

phases, -

v’

Ni(x’, E’, 03A9’)

03BB(E’) particules quittent

l’état considéré.

À(E’)

Par contre, ^{au cours d’un}

choc,

^{un électron}

d’énergie

^{E" et} de vitesse

(v", 03A9")

^{a une}

probabilité p[E’, 03A9 ; E", n"]

^{de se retrouver}

après

^{collision dans}

l’état

(E’, 03A9’).

^Ceci

équivaut

^{à une}

augmentation

^{de la}

population précédente

^de

Par

ailleurs,

le faisceau

primaire

^{contribue à un}

accroissement de cette

population

^rendu par ^{un terme}

source

S(x’, E’, n’).

En faisant le bilan de cette évolution et en notant que la relation

dN/dt

⁼

(ôN/ôt)

^{+ v.ON se}

simplifie

^pour

un

phénomène

stationnaire où donc

DNIDT

⁼

0,

^nous

sommes conduits à décrire le processus de

transport

^à l’intérieur du métal par

l’équation :

A

l’extérieur,

^{en l’absence de tout}

phénomène

^de

création ou de

dispersion,

^{il vient} par ^{contre :}

Notons _que

l’isotropie

^{du milieu entraîne} que la fonction dite de

dispersion p[E’, n’ ; E", Q"]

^ne

dépend

pour ^sa

partie angulaire

que de

l’angle (!l’, 03A9").

Les conditions aux limites seront

précisées

^{en décri-}

vant l’effet de surface par l’introduction d’un travail de sortie W. Cette

simplification

^du

problème

^s’accom-

pagnera de

l’hypothèse

de la conservation de _{la compo-} sante

tangentielle

^de

l’impulsion électronique

^{lors de}

la traversée de l’interface

métal-vide,

^{et de la conser-} vation de

l’énergie.

^{Dans ces}

conditions,

^les

paramètres

internes

(E’, n’)

^{et externes}

(E, 12)

que l’on

peut

mesurer

expérimentalement

pour l’EES observée en

retour, ^sont liés _par les relations :

Par suite un électron excité ^ne pourra ^traverser l’interface x’ ⁼ 0 _que s’il a une

énergie

E’ > W et si

cos’

0’ >

W/E’.

L’étude du

phénomène

^{d’EES nous}

limite d’emblée à ne considérer _que les électrons excités

d’énergie

suffisante _pour

quitter

^{le métal.}

Lorsque

^la

seconde condition

d’émergence

n’est pas

satisfaite,

nous supposerons alors que la

particule

^{est réfléchie}

de

façon spéculaire (simple changement

^de

signe

^{de la}

composante

normale de

l’impulsion).

Faisons à ^ce stade

quelques hypothèses simplifica-

trices. Nous supposerons que la fonction source

S(x’, E’, Il’)

⁼⁼

S(x’, E’)

^est

isotrope.

^Nous retiendrons cette même

hypothèse

pour la fonction de

dispersion

p[E’, E" ; (n’, 03A9")] == p(E’, E").

Cette attitude se

jus-

tifie _par la

prise

^en considération d’échantillons

poly-

cristallins pour

lesquels

la distribution externe des électrons secondaires est sensiblement

cosinusoïdale,

en accord avec une

hypothèse d’isotropie

^interne.

Dans ^un souci de

concision,

^nous renvoyons le lecteur à

l’exposé

^{de Puff}

[1] ]

^{en ce}

qui

^{concerne les}

phases

intermédiaires du traitement

analytique,

^ne

retenant ici _que son

aspect

^{élaboré et}

qui peut

^être considéré comme un

point

^de

départ

^{de nos} propres calculs.

Compte

^tenu des conditions aux limites

indiquées précédemment

^et pour ^une

épaisseur

infinie de l’échan-

tillon, l’équation

de Boltzmann affecte la forme suivante _{pour la} densité de courant

particulaire :

où le _noyau de cette

équation intégrale

^{se compose de trois termes}

dont le sens est

précisé

par la

figure

^2.

FIG. 2. ^- Interprétation des trois termes contribuant au

noyau de l’éq. (5). ^{Les labels} 1, ^{2 et 3 sont associés aux différents} modes de propagation ^{vers un} point ^x’ d’un électron excité en

un point ^x".

Nous remarquons par ailleurs _que

l’intégration

^sur

l’énergie

^dans

l’éq. (4)

^rend

compte

par ^sa borne inférieure du fait _que la collision électron-électron ne

peut s’accompagner

^{que d’une}

^perte d’énergie

^{de la}

particule

excitatrice. La borne

supérieure

^{doit dans}

cet

esprit

^{être limitée} à la valeur

Ep

^de

l’énergie pri-

maire. Notons _que la fonction

0(u)

^est la fonction saut usuelle :

III. Fonction source. ^- Dans la gamme

d’énergie

considérée

(énergie primaire Ep

^de

^quelques

^centaines

d’eV),

^on supposera que la

perte d’énergie

du faisceau

primaire

par unité de

longueur

^est

indépendante

^{de la}

profondeur.

^Cette

hypothèse

^{est en accord avec les}

mesures en

particulier

^de

Young [6].

^{Le taux d’excita-}

tion étant

supposé proportionnel

^{à cette}

perte

^d’éner-

gie primaire,

la fonction source

dépendra

^{de x’ de}

façon

^très

simple :

où

R(Ep) représente

^la

portée

maximale des électrons

primaires

^telle

qu’elle

^{est rendue} par

exemple

par la formule de Kanter

[7]

p étant la masse

volumique

^de la substance

considérée.

Il convient de _{remarquer que} ces différentes

hypo-

thèses

(isotropie

de la fonction _source,

indépendance-

du taux d’excitation vis-à-vis de la

profondeur)

^{ne se}

conçoivent

^bien que par la contribution au processus d’excitation des électrons rétrodiffusés.

En

effet,

^les

précédentes

conditions semblent appro- ximativement vérifiées dans les mesures

expérimentales

où il n’est _pas

possible

de dissocier l’action des

pri-

maires

pénétrants

de celle des rétrodiffusés. Alors que le second

aspect

^n’est pas à

proprement parler pris

^en

compte

^{dans notre}

modèle,

^les

hypothèses phénoménologiques

^{retenues le}

rapprochent

^{de la}

réalité

expérimentale.

L’écrantage

^de l’interaction

électronique

^{est rendu}

par l’introduction d’une constante

diélectrique e(q, m).

Pour le cuivre où la

plupart

des électrons sont excités à

partir

de niveaux

d,

^la conservation du vecteur k ne

semble _pas constituer une

règle

de sélection

véri-

table

[8].

^{Il est dès lors}

possible

d’utiliser une fonc- tion

e(0, w)

^et

pratiquement

^{de se} reporter ^{à des} données ^«

optiques »

pour

approcher

^{la constante}

diélectrique

^{du métal.}

Le choix de la fonction source

S(E’ ; Ep)

^{suit alors}

l’analyse

de l’EES selon Frohlich

[9].

Nous supposerons à titre de

premier

^essai que ^tous les électrons sont excités à

partir

d’un niveau

unique Ed correspondant

^au maximum de la densité des états

occupés.

^{Ce niveau} pour le cuivre est situé à 2 eV environ au-dessous du niveau

EF

^{de Fermi}

(toutes

^les

énergies

^sont

comptées

^à

partir

du bas de la bande de

conduction).

^Les valeurs des

paramètres

^{utilisés sont}

ainsi

EF

⁼

8,68

^{eV et}

Ed

⁼

6,68

^eV.

Soit W le transfert

d’énergie

^{au cours de}

l’excitation,

E’

= Ed

^{+ a) est ainsi}

l’énergie

de l’électron excité et selon

[9]

avec s ⁼

(w. r min)/2 ao N/E, Ep

^où

^{Er’ énergie}

^de

Rydberg

^vaut

13,6 eV,

ao ⁼

0,529 15 Á

et rm;n ^est la valeur minimum du

paramètre d’impact [10]

^c’est-à-

dire la

plus petite

distance dont un électron incident

s’approche

^{d’un centre} diffuseur lors de sa

pénétration (supposée rectiligne).

L’essentiel de nos calculs a été réalisé en

prenant

pour r min la valeur

acceptable

^de

1,4 À.

La fonction

diélectrique G( w)

^{est celle obtenue} par

Beaglehole [11].

^{Cette fonction}

diélectrique

^rend

compte

des excitations tant individuelles _que collec- tives. Dans le ^cas du

cuivre,

^{le «}

pic »

^de

plasmon

^est

noyé

dans le continuum des excitations individuelles

et ne

peut

^{être nettement}

séparé.

Ko(s) et Kl(s)

^sont les fonctions de Bessel modifiées d’ordre 0 et 1

respectivement.

La

figure

3 donne l’allure de Im

(- 1/G(w))

^ainsi

que celle de la fonction source évaluée _pour diverses

énergies primaires.

^La

figure

^{4 résume les}

^différents paramètres énergétiques

^retenus pour le cuivre. Le transfert

d’énergie W

^{se situe entre les limites 2 eV et}

100 eV. La limite inférieure

correspond

^au fait que tous les électrons sont nécessairement excités à un

niveau

supérieur

^{au niveau de Fermi. La limite}

supé-

rieure est de nature

purement empirique

^{et n’a en fait}

FIG. 3a. ^- Fonction diélectrique ^{- Im}

(1/e(W))

^{pour le cuivre}

selon l’étude réalisée _par Beaglehole. ^Le prolongement ^au-delà

des valeurs expérimentales ^a été réalisé en accord avec les indi- cations données par cet auteur dans son article.

FIG. 3b. ^- Allure de la fonction source déduite de ^- Im

(1/e(W))

suivant Beaglehole, ^en utilisant la théorie de Frohlich. Les diffé- rentes courbes correspondent ^{à des} énergies primaires ^de 200,

400, 600, 800 ^eV.

qu’une importance

^réduite

compte

^{tenu de la décrois-}

sance

rapide

^{de la fonction source.}

IV.

Transport

des électrons excités. ^- Dans son

transport

^{vers la surface libre du}

métal,

l’électron subit

un

grand

nombre de collisions. Nous avons admis

qu’en première approximation,

seules les collisions

inélastiques

électron-électron contribuaient à la dissi-

pation d’énergie.

Le choix d’un libre _parcours moyen ^est l’un des

aspects

^les

plus

délicats du traitement. En

effet,

les données

théoriques

^et

expérimentales

^{dans le}

domaine

d’énergie

^{étudié sont} assez rares et souvent peu ^concor- dantes. Nous avons pour notre part,

adopté

^une solu- tion

empirique.

^{Ce libre} parcours moyen,

représenté

en

figure

^{5 constitue un}

compromis

^entre différentes données et n’a été retenu

qu’à

^titre

provisoire.

^En

bref,

disons _que ce

lpm empirique

^{se veut une} amélioration du

lpm

^constant habituellement retenu. L’introduction d’une

dépendante

^{en E’ du}

lpm 03BB(E’) s’accompagne

par ailleurs de nouvelles difficultés d’ordre mathéma-

tique qu’il

^est intéressant de résoudre.

FIG. 4. ^- Signification ^des différents paramètres énergétiques.

L’énergie EB du bas de la bande de conduction est le zéro de référence. Un électron excitateur d’énergie ^{initiale Ei transfère}

une énergie ^{(ù à un} électron du niveau d.

Le transfert

d’énergie s’accompagne

d’un processus de cascade

puisque, après collision,

^{tant l’électron}

excitateur que l’électron excité se trouvent dans un

état

d’énergie supérieure

^à

l’énergie

^{de Fermi et}

peuvent

ainsi

participer

à l’EES. En dehors d’un modèle

plus approprié,

^{on fait}

l’hypothèse

que les deux électrons diffusent de

façon isotrope.

^{On admet de}

plus qu’après collision,

^{ils ne}

possèdent

^entre eux aucune corrélation

angulaire.

^Cette

hypothèse ignore donc,

^{comme le} faisait la fonction source, ^toute conservation du vecteur k. Seule est retenue la conservation

globale

^de

l’énergie.

L’électron excitateur

perd

^de

l’énergie

^{selon une}

loi de

probabilité

que ^nous supposerons uniforme.

Cette

hypothèse

^{est en}

particulier

^retenue par Puff

qui

propose ^une loi de

dispersion

^en

1/2

^{rcE". Cette}

formule ne tient

cependant

^pas

compte

^{du fait} que la relation

physique

^E’ >

EF

^doit

toujours

^{être vérifiée.}

Tout en lui conservant une forme

simple,

^{nous avons}

donc modifié cette

expression

^afin de satisfaire au

principe

d’exclusion. Ainsi nous

adopterons plutôt :

qui

^reste normée à 2 _pour tenir

compte

^du processus de cascade.

Cette modification a d’ailleurs des

conséquences importantes.

Des essais

préliminaires,

^sans

prise

^en

considération du

principe

d’exclusion de Pauli nous

avaient en effet conduits à des résultats

qualitative-

ment

inacceptables.

^Notons

qu’un

^{tel désaccord ne}

se fait sentir _que dans la mesure où l’on

s’éloigne

^de

l’hypothèse R(EP) » À(E’)

^admise

pratiquement

par Puff.

V. Traitement

numérique.

^-

1)

RÉSOLUTION ANA- LYTIQUE. ^- Dans ^cette

première

^méthode nous serons

conduits,

afin d’en

alléger

^le traitement

numérique,

à introduire

quelques

^nouvelles

approximations

^dont

nous tenterons de donner

l’interprétation physique.

Tout d’abord nous réduirons _{le noyau}

K(x’, E’, x", E",

^cos

0")

^de

l’éq. intégrale (4)

^{à ses deux}

premiers

termes.

Physiquement,

^cela

signifie

que ^nous

négli-

geons la contribution ^au

phénomène

^de

transport

des électrons réfléchis sur l’interface. Cette

hypothèse

reste

plausible lorsque

^le

lpm

^est

petit,

^donc

l’absorp-

tion

grande,

^ce

qui

défavorise les électrons assez peu

énergétiques (conditions d’émergence)

^{et dont le tra-}

jet

^s’accroît par réflexion. Nous ^verrons par ailleurs que

l’analyse

^des résultats obtenus par la méthode de Monte

Carlo,

^{où cette} restriction n’est

plus

^néces-

saire,

^{conduit à admettre} que

l’approximation précé-

dente est

numériquement légitime.

Quelques étapes

de la résolution

pratique

^de

l’éq. (4)

méritent d’être mises en évidence. Réalisons tout d’abord

l’intégration angulaire

il vient :

où l’on remarque ^en

particulier

que

J(x’, E’, n’)

devient

J(x’, E’)

^fonction

isotrope.

Si l’on admet avec Puff _que la densité de

particules

secondaires _{varie peu} sur une distance de l’ordre du

soit

(12) :

Ipm,

^nous pouvons,

compte

^{tenu de la forte décrois-}

sance de la fonction

exponentielle intégrale Ei(- z)

substituer à

l’éq. (10)

Le

problème mathématique

^{se trouve dès lors consi-}

dérablement

simplifié

^{du fait}

qu’il

^{a été réduit à la}

résolution d’une

équation intégrale portant

^{sur une} seule variable

E’, x’

^faisant

figure

^de

paramètre.

Au stade de

l’éq. (12)

^les

simplifications

ultérieures

présentes

^dans

[1]

^et

qui

traduisent _pour l’essentiel la condition R »

À(E")

^{ne nous semblent}

plus

^néces-

saires. En

conséquence

^notre traitement diffère désor- mais de celui de Puff.

Une

conséquence

du formalisme

apparaît plus

^nette-

ment

lorsque

^nous

adoptons

pour

(12)

^{la forme}

équi-

valente

[12]

Nous constatons que dans une telle

expression J(x’, E’)

^{est nul}

lorsque x’

> R. On

néglige

^{donc la}

contribution des secondaires

qui participent

^{au trans-}

port

^{à des}

profondeurs supérieures

^{à R.}

Lorsque

^R

est

grand

vis-à-vis de la

profondeur

^{de sortie des élec-}

trons, les

conséquences

ultérieures ne

peuvent

^être que

négligeables.

^Même

lorsque R

^{est de} l’ordre de

grandeur

^du

lpm,

^nous n’avons pas constaté dans un

traitement de Monte Carlo s’affranchissant de cette

hypothèse

^de

divergences imputables

^{à cette restric-}

tion.

Selon que ^{nous retenons un} libre parcours moyen constant ou non, il nous semble

plus adapté

^d’avoir

recours

respectivement

^{aux deux}

techniques qui

suivent :

a)

^Si

Â(E") = îo,

valeur constante, ^{il est} alors facile d’évaluer la fonction

A(E’, ^{E" ;} x’) qui

^intervient

dans

(13).

On trouve aisément :

d’où

b)

^{Si par contre nous tenons}

^compte

^d’une

dépen-

dance en

l’énergie

^du

lpm Â(E)

^nous pouvons

partir

de

l’éq. (12).

En « discrétisant »

l’intégration

^sur

l’énergie

^{et en}

notant que la borne

supérieure

^{de cette}

intégrale

^est

en fait celle de la fonction source donc

E...,

^nous

sommes ramenés à la résolution d’un

système d’équa-

tions linéaires en nombre fini et cela _pour

chaque

valeur de x’. Un tel

système

^se

présente

^de

plus

^sous

une forme

particulièrement simple :

où

P(Ei, EJ)

^{est une}

pondération dépendant

^{de la}

méthode

d’intégration

utilisée. Pour une méthode à _pas constant, la matrice des coefficients

prend

^une

forme

triangulaire.

^{Il est donc aisé} d’en déduire les valeurs discrètes de

J(x’, E,).

Il convient _pour cela de

disposer

^des valeurs initiales

J(x’, Ej) pour Ej ~ ^EmaX.

Ce but

peut

^être atteint soit _{par la} méthode

a) puisque

pour ^ces valeurs

À(Ej) ~ ^Âo,

^{soit encore}

^{plus simplement}

à

partir

^{de valeurs initiales}

petites

^mais

arbitraires,

sans altérer la

qualité

des résultats

numériques

^ulté-

rieurs.

A

partir

de la densité

électronique

^à l’intérieur du métal ainsi

déterminée,

^nous pouvons évaluer la dis- tribution

énergétique

des électrons émis. Elle s’ex-

prime

par la double

intégration

d’où l’on déduit la distribution externe

correspondante.

2° RÉSOLUTION PAR UNE MÉTHODE DE SIMULATION DE TYPE MONTE CARLO. - Nous avons vu comment le choix d’une méthode

analytique nécessitait,

pour

en arriver à la

phase numérique,

^un

grand

^nombre

d’hypothèses.

^D’un

point

^{de vue}

plus fondamental,

il est

important

^de

souligner

que le formalisme même de

l’équation

^de

Boltzmann,

^bien

adapté lorsqu’il s’agit

de traiter des

propriétés volumiques peut

^tom- ber en défaut

lorsque

l’électron excité

s’approche

^de

la surface libre. En

effet,

la notion de libre _parcours moyen

perd

^alors

beaucoup

^{de son sens. Pour toutes}

ces

raisons,

^{il est} intéressant de _comparer les résultats d’un traitement

analytique

^{à ceux} d’une méthode de Monte Carlo.

Dans cette seconde

approche

^{nous nous sommes}

efforcés dans

l’esprit

^d’une

comparaison,

^{de conser-}

ver les

hypothèses physiques

^{de la méthode}

précé-

dente.

Toutefois,

^{dans ce nouveau} traitement un cer-

tain nombre de contraintes

mathématiques

^{avec les}

hypothèses physiques qu’elles

contiennent ne sont

plus

nécessaires.

L’utilisation

pratique

de la méthode de

simulation

nécessite une

technique permettant d’engendrer

^des

nombres aléatoires _y de

répartition

^{uniforme entre}

0 et 1. Nous avons utilisé à cet effet un programme Fortran de la librairie

IBM,

à savoir le sous-programme Randu.

a)

Détermination d’une

profondeur

de création d’un électron excité. ^- La relation :

où y1,

^{est un nombre} aléatoire fourni par

Randu,

donc

compris

^{entre 0 et}

1, permet

^de décrire l’excita- tion d’un électron à une

profondeur

^{variant entre 0}

et

R(EP)

^{selon une loi de}

probabilité

^{uniforme tra-}

duisant la relation :

b)

^{Calcul du}

transfert d’énergie

^{co. -} Pour passer d’une

séquence

^{aléatoire à}

répartition

uniforme à la loi de

probabilité qui régit

le transfert

d’énergie,

^nous

écrirons :

soit

9(co)

⁼ y, ^avec

et

D’un

point

^{de vue}

pratique,

la fonction

qJ(01)

^a

été

préalablement

^{tabulée par}

intégration numérique

pour des valeurs de W variant entre wmin ⁼ 2 eV et O1max ⁼ 100 eV avec un pas de

0,5

^eV.

S(W’)

étant par essence une

quantité positive, qJ(01)

est monotone

croissante,

^ce

qui

rend aisée la déter- mination de W ⁼

qJ-1(Y2)

par

interpolation

^inverse

entre deux valeurs encadrantes.

c)

Paramètres

angulaires

^de l’électron excité. ^- La fonction source

ayant

^été

supposée isotrope,

^l’élec-

tron excité se propage

après

^sa création dans une

direction faisant avec la normale à la surface libre

un

angle

^{0 tel que :}

ce

qui correspond

^{à une} loi de distribution uniforme pour ^cos 0 ^{entre -} 1 et + 1.

d)

Libre parcours ^entre deux collisions. ^- Entre deux

collisions,

l’électron

d’énergie

^E

parcourt

^en

ligne

^{droite et sans}

perdre d’énergie

^{une distance}

Lo(E) qui

^{suit une loi de}

probabilité exponentielle :

En

égalant

^cette

probabilité

^{à un} nombre aléatoire

y4

^ou

plus

exactement à _y4 ⁼ 1 ^-

y4

^{on en tire :}

La notion de libre parcours

remplace

^{ainsi celle}

de

lpm.

e)

Paramètres liés à la collision. ^- La

perte

^d’éner-

gie

^{m de} l’électron excitateur

d’énergie Ei

^{suivant dans}

nos

hypothèses

^{une loi de}

probabilité

^{uniforme sera}

rendue _{par :}

en accord avec le

principe

d’exclusion de

Pauli,

m variant ainsi uniformément entre les limites úJmin ⁼

EF - Ed

^et

Ei - EF.

Les deux électrons

ayant participé

^{à cette collision}

ont ainsi _pour

énergies respectives Ei -

^{w et}

Ed

+ m, toutes deux

supérieures

^à

EF.

^{Ils seront dans la suite}

caractérisés

respectivement

^{par les}

paramètres

angu- laires :

ce

qui

^traduit

l’isotropie

^du processus ^et l’absence de corrélation

angulaire

inhérentes à nos

hypothèses.

f)

^Tests

d’émergence.

^{- Un ensemble de tests} per- met de vérifier _que

chaque

^électron

participant

^au

processus de cascade :

e n’a _pas été absorbé et dans ce cas

e a éventuellement atteint la surface dans des conditions favorables à

l’émergence (il

^est

compté

alors au nombre des électrons secondaires émis et son

énergie

à la sortie est

repérée) ;

0 satisfait au contraire aux conditions de réflexion et continue ainsi à

participer

^au processus de trans-

port.

V. Résultats et discussion. ^- Notre

analyse

^du

phénomène

^{de l’EES a}

porté

essentiellement sur la distribution

énergétique

des électrons secondaires. Les résultats

expérimentaux auxquels

^nous

pourrions

confronter nos conclusions sont rares.

Cependant,

les mesures effectuées _par Scheibner et

Tharp [13]

correspondent

^pour l’essentiel aux conditions retenues dans cette étude. Elles nous ont donc servi de réfé-

rence et le choix de certains

paramètres s’inspire

^direc-

tement d’un souci de traduire les

principaux

aspects de ces mesures. Dans cet

esprit,

nous avons tenté de mettre en évidence comment

l’ajustement

^{de tel ou}

tel

paramètre pouvait

^{modeler nos valeurs aux don-}

nées

expérimentales.

Nous

présentons

^en

figure

^{6 les résultats obtenus}

par la méthode

analytique.

^{A titre de}

comparaison,

nous y incluons la courbe

expérimentale

^{de Scheibner}

et

Tharp

^ainsi que les conclusions de la méthode de Monte Carlo. Les

pics

^{de ces} différentes courbes

ont été amenés en coïncidence.

Nous

rappelons

que les valeurs obtenues sont rela- tives au choix des

paramètres

^{suivants :}

r - 1") fBfB -X T w - 0 t::. 0 "m

rmin ⁼

1,4 Á

^{et R N}

16,2 Á

^{selon la loi de}

pénétra-

tion

exprimée

par

(7).

^Le

lpm employé

^{est soit le}

lpm

FIG. 5. ^- Allure du libre parcours moyen « empirique » ^retenu

dans la majeure partie ^{de cette} étude. La limite aux hautes

énergies ^a été fixée à 27

Â.

empirique

^{de la}

figure 5,

^{soit une valeur constante} de 27

Â.

Pour

juger

^{de la}

qualité

^des

résultats,

nous serons

amenés à retenir 4 critères

essentiels,

à savoir :

a) position

du maximum de la courbe réduite de distribution

énergétique (hauteur

^du

pic

^normalisée

à

l’unité) ;

b) largeur

^{de cette courbe à}

mi-hauteur ;

c) comportement

de la décroissance à moyennes

énergies ;

d) présence

d’un renflement

expérimentalement

observé dans la courbe au

voisinage

^{de 13 eV.}

La

figure

⁷

reprend séparément

^les résultats obte-

nus dans les conditions

précédentes

^{au travers d’une}

simulation de

type

^{Monte Carlo.}

FIG. 6. ^-- Courbes de distribution énergétique ^{relative des} secondaires selon ^la méthode analytique ^{et un libre} parcours moyen empirique ^{conforme à la} figure ⁵ C6J ^{ou un libre} parcours moyen constant de 27 A

(*)

^{ainsi que} par Monte Carlo (*).

Les résultats sont confrontés avec les valeurs mesurées _par Scheibner et Tharp (0). Les maxima des différentes courbes

ont été amenés en coïncidence.

Cette seconde

méthode,

^de

programmation simple,

se caractérise

cependant

par ^un

temps

^{de calcul consi-} dérable. Il est en effet

nécessaire,

pour obtenir ^une

« courbe » suflîsamment

lisse,

de suivre un

grand

nombre de

particules.

^Nous

présentons

ici les valeurs relatives à ^un échantillon

statistique

^{de 300}

000,

500 000 et 800 000 électrons

respectivement

^créés

par le faisceau

primaire,

^{en accord}

avec

la fonction

source

(8).

^{La courbe}

représentée

^en

figure

^{7 corres-}

pond

^{à des effectifs} associés à des classes

d’ampli-

tude 2 eV. Cela

correspond

^{à un certain}

lissage

^{de la}

courbe,

^tel

qu’il apparaît

^{sur la}

figure

⁸

opposé

^aux

points

^obtenus pour des classes

d’amplitude

^{1 eV.}

Nous constatons

ainsi,

^{en nous référant aux courbes}

lissées de la

figure

⁷ que le _passage d’un échantillon

statistique

de 500 000 électrons à un échantillon de 800 000 électrons

apporte

peu de modifications alors que la bosse

caractéristique

à 11 eV environ n’est mise

en évidence _que

lorsqu’on

^a

dépassé

le stade de 300 000 électrons.

FIG. 7. ^- Distributions énergétiques relatives des électrons secondaires obtenues _par Monte Carlo selon l’importance ^de

l’échantillon statistique. ^La courbe tracée correspond ^{à 800 000} trajectoires électroniques. Les classes d’amplitude ^{sont de 2 eV.}

Les valeurs sont indiquées ^{aux centres} des classes. Une conver- gence est obtenue dès la prise ^en compte de 500 000 électrons

environ.

Il est

particulièrement encourageant

^{de constater}

une telle

forme,

^même

globale,

^de convergence. En

effet,

^la

longueur

des calculs _par une méthode de Monte Carlo

pourrait

^devenir

prohibitive

^{s’il n’était}

pas

possible

^de

dégager

^les

caractéristiques

essentielles de la distribution en

énergie

des électrons secondaires

au travers d’un échantillon

statistique

^{de taille raison-}

nable.

Les résultats _que nous avons obtenus permettent de conclure à un accord

qualitatif

satisfaisant. Le tableau

récapitulatif

^{suivant des} résultats provenant de chacune des méthodes

permet

^une

comparaison

avec

l’expérience.

TABLEAU 1

Le renflement des courbes

théoriques

^{vers 11 eV}

est lié à l’existence d’un

maximum,

pour ^une valeur

correspondante

de la fonction Im

(- 1 /e(w))

^ce

^qui

se traduit _par un

pic

^dans la fonction source. Sa

posi-

tion diffère de 2 eV de celle observée

expérimentale-

ment par Scheibner et

Tharp.

^Les

interprétations

que l’on

peut

donner de ce renflement

expérimental

^à

13 eV ne sont pas unanimes. Il est toutefois

possible

de le lier à un effet de

plasmon

^comme le laisseraient

prévoir

les calculs de Joshi

[14].

^{On se}

reportera

pour

plus

de détails à la discussion

qu’en

^{fait Seah}

[15].

FIG. 8. ^- Influence du regroupement ^{en classes} d’amplitude ^des

électrons secondaires émis. Pour une amplitude ^{de 1 eV subsis-}

tent des fluctuations inhérentes à la méthode de Monte-Carlo.

Un lissage ^est nécessaire _pour atténuer ces anomalies qui ^n’ont

aucun sens physique. ^{L’accord avec la méthode} analytique

devient alors satisfaisant.

Disons _pour résumer que cette bosse

apparaît

dans les courbes que ^nous

présentons

^{et cela dans}

chacun des traitements

proposés

^tant

analytiques

^que

Monte Carlo. Elle n’est donc pas liée à ^une méthode mais

plutôt

^au choix des valeurs de

Beaglehole

^pour

évaluer Im

(- 1/a(w)).

Il serait à cet

égard

intéressant

d’essayer

de même les fonctions obtenues par d’autres auteurs. Son

interprétation

^{en termes de}

plasmon

nous situe par ailleurs dans un cadre où notre

méthode,

mal

adaptée

^{à la}

prise

^en

compte

^{des effets}

collectifs, peut comporter

^{une certaine}

imprécision.

En ce

qui

^{concerne la}

largeur

de la courbe à mi-hau- teur, ^la

simple comparaison

des résultats obtenus

avec un libre parcours moyen constant montre combien

le choix d’un tel

paramètre

^est déterminant. Nous

verrons dans la suite de cette étude _que ce n’est pas le seul

paramètre

^{influant sur cette}

caractéristique.

Jusque

^{vers 25}

eV,

les courbes

théoriques

^et

expéri-

mentales

présentent

^des décroissances

comparables.

Au-delà,

la courbe

expérimentale

^décroît

beaucoup

moins

rapidement

que ^ne le font les courbes théo-

riques.

^{Il est alors}

probable

que ^ce désaccord _pro- vienne en

majeure partie

^{du fait que} la contribution des électrons rétrodiffusés ^au

phénomène

^d’EES

« vraie » n’est

plus négligeable.

^Il

apparaît

^donc

nécessaire de traiter la rétrodiffusion de manière

rigou-

reuse. Dans ^nos calculs elle ne s’introduit _que d’une manière

phénoménologique

^{dans les}

hypothèses

^rela-

tives à l’excitation.

Un dernier désaccord se manifeste

quand

^{à l’acuité}

de la courbe de distribution

énergétique

^au

voisinage

^de

son maximum. Les courbes

théoriques

^{sont alors}

nettement

plus larges.

^{Nous verrons} par la suite comment le choix du

paramètre

r.in ^en

particulier permet

^{de se}

rapprocher

^{de l’allure}

expérimentale.

En conclusion de cette

première étude,

^{en nous}

référant aux résultats

expérimentaux

de Scheibner et

Tharp

nous avons pu mettre ^en évidence un accord

encourageant

^{entre nos} conclusions et

l’expérience.

Certains écarts subsistent mais un choix

approprié

de

paramètres permet

de modeler la théorie à

l’expé-

rience. Une

légère

^{cause de} désaccord réside _{par ail-} leurs dans le fait _que nous n’avons de

points

de compa- raison

qu’avec

^{des mesures} effectuées dans des condi- tions

quelque

peu différentes.

En tout état de cause, ^nous pouvons constater que les méthodes

analytique

^ou de simulation conduisent à des résultats

comparables.

^Ce

type

de vérification constituait l’un des

objectifs principaux

^{de notre}

présente

^{étude. Un} tel accord constitue donc un test sérieux de la validité d’un traitement utilisant

l’équa-

tion de Boltzmann. Il semble

acquis

que

(sous

^réserve

d’un

phénomène

^de

compensation

^non

décelable)

^les

approximations

introduites dans la méthode

analy- tique

^ne sont pas

trop contraignantes.

^{Cette dernière}

méthode se caractérisant _par un

temps

^{de calcul}

réduit,

^nous

disposons

^{là d’un outil}

d’investigation

satisfaisant. Il est enfin

encourageant

^d’avoir pu s’affranchir de

l’hypothèse R > Â(E) pratiquement

retenue par Puff

(et qui

^{aurait dans le contexte}

présent perdu beaucoup

^{de sa}

signification)

^{tout en obtenant}

un accord

qualitatif

^avec

l’expérience.

Pour les raisons que nous venons

d’invoquer,

^nous

avons donc retenu la méthode

analytique

afin d’étudier