HAL Id: jpa-00220792
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Submitted on 1 Jan 1981
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CALCULATIONS OF TRANSPORT PROPERTIES IN a-Si : H
W. Pickett, D. Papaconstantopoulos, E. Economou
To cite this version:
W. Pickett, D. Papaconstantopoulos, E. Economou. CALCULATIONS OF TRANSPORT PROPERTIES IN a-Si : H. Journal de Physique Colloques, 1981, 42 (C4), pp.C4-769-C4-772.
�10.1051/jphyscol:19814168�. �jpa-00220792�
ColZoque C4, suppZ4ment au nO1O, Tome 4 2 , octobre 1981 page C 4 - 7 6 5 ,
CALCULATIONS OF TRANSPORT PROPEETIES I N a-Si:H
W.E. Pickett, D.A. Papaconstantopoulos and E.N. Econornou Naval Research Laboratory, Washington, DC 20375, U.S.A.
A b s t r a c t . - We h a v e u s e d t h e c o h e r e n t p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n t o c a l c u l a t e t h e d.c. c o n d u c t i v i t y f o r a m o d e l o f h y d r o g e n a t e d a m o r p h o u s s i l i c o n . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e m o b i l i t y o f e l e c t r o n s i s g r e a t e r t h a n t h a t o f h o l e s . T h i s a p p e a r s t o b e r e l a t e d t o t h e s t r o n g h y d r o g e n c o m p o n e n t o f t h e d e n s i t y o f s t a t e s j u s t a b o v e t h e g a p .
T h e i n c o r p o r a t i o n o f h y d r o g e n i n t o a m o r p h o u s S i h a s b e e n f o u n d t o c h a n g e i t s e l e c t r o n i c s t r u c t u r e a n d t r a n s p o r t p r o p e r t i e s d r a s t i c - a l l y . T h e d e n s i t y o f s t a t e s i n t h e b a n d g a p i s r e d u c e d b y s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e ( I ) , t h e r e b y a l l o w i n g t h e " a d j u s t m e n t " , b y d o p i n g ( 2 ) w i t h i m p u r i t i e s , o f t h e F e r m i l e v e l EF w h i c h i s o t h e r w i s e p i n n e d n e a r t h e c e n t e r o f t h e g a p i n a - S i . S p e c t r a l f e a t u r e s r e l a t e d t o h y d r o g e n a t i o n , s u c h a s t h e r e m o v a l o f s t a t e s ( 1 ) f r o m t h e g a p , t h e w i d e n i n g o f t h e o p t i c a l g a p ( 1 , 3 ) , a n d t h e a l t e r a t i o n o f b o t h t h e v a l e n c e ( 4 ) a n d c o n d u c t i o n d e n s i t i e s o f s t a t e s , h a v e b e e n s t u d i e d b y a v a r i e t y o f t h e o r e t i c a l m e t h o d s ( 5 - 8 ) .
T h e m o d e l p r o p o s e d b y t w o o f t h e a u t h o r s ( 6 , 7 ) a c c o u n t s f o r t h e d a t a m e n t i o n e d a b o v e a s w e l l a s s h o w i n g s u b s t a n t i a l a g r e e m e n t ( 7 ) w i t h t h e o p t i c a l a b s o r p t i o n d a t a o f Cody e t a 1 ( 2 ) . I n t h i s p a p e r we b e g i n a t h e o r e t i c a l s t u d y o f t h e t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f a - S i : H b y c a l c u l a t i n g t h e d.c. c o n d u c t i v i t y f o r t h i s m o d e l s y s t e m .
T h e m o d e l c o n s i s t s o f a n e f f e c t i v e l a t t i c e w h o s e s i t e s h a v e a p r o b a b i l i t y c o f b e i n g v a c a n t a n d p r o b a b i l i t y 1 - c o f b e i n g o c c u p i e d b y a S i a t o m . T h i s S i - v a c a n c y a l l o y p r o v i d e s a m o d e l w h i c h e x h i b i t s many o f t h e p r o p e r t i e s ( 6 , 7 ) o f a - S i . I n a d d i t i o n , h y d r o g e n a t o m s ( o n e , t w o , t h r e e , o r f o u r ) a r e i n c o r p o r a t e d a r o u n d t h e v a c a n t s i t e s u c h a s t o b o n d w i t h n e i g h b o r i n g S i d a n g l i n g b o n d s , a n d t h e r e s u l t i n g s p e c t r a l p r o p e r t i e s r e p r o d u c e many t r e n d s e v i d e n t i n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a o n h y d r o g e n a t i o n o f a - S i . T h e m o d e l i s b a s e d o n a S l a t e r - K o s t e r ( S K ) H a m i l t o n i a n f i t ( 8 ) t o t h e p s e u d o p o t e n t i a l b a n d s t r u c t u r e o f S i , a n d t h e C o h e r e n t P o t e n t i a l A p p r o x i m a t i o n ( C P A ) i s i n v o k e d t o t r e a t t h e d i s o r d e r . T h e c a l c u l a t i o n a l d e t a i l s h a v e b e e n g i v e n e l s e w h e r e ( 6 9 7 ) .
I n t h e p r e s e n t w o r k we t r e a t o n l y t h e f u l l y h y d r o g e n a t e d c a s e o f f o u r h y d r o g e n s p e r v a c a n t S i s i t e . T h e r e s u l t i n g s y s t e m s h o w s a v e r y l o w d e n s i t y o f s t a t e s i n t h e b a n d g a p , s i m i l a r t o d a t a o n a - S i : H . T o e v a l u a t e t h e c o n d u c t i v i t y u we b e g i n w i t h t h e z e r o f r e q u e n c y K u b o - G r e e n w o o d f o r m u l a
w h e r e
<...>
d e n o t e s t h e c o n f i g u r a t i o n a v e r a g e a n d f i s t h e F e r m i f u n c t i o n . T h e e v a l u a t i o n o f t h i s e x p r e s s i o n i n a m a n n e r c o n s i s t e n tArticle published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19814168
C4-770 JOURNAL DE PHYSIQUE
w i t h t h e CPA h a s b e e n d i s c u s s e d i n d e t a i l e l s e w h e r e ( 9 ) . By i g n o r i n g t h e v e r t e x c o r r e c t i o n s a r i s i n g f r o m c o r r e l a t i o n s i n i n t e r m e d i a t e s c a t t e r i n g s , t h e G r e e n ' s f u n c t i o n s G c a n b_e a v e r a g e d s e p a r a t e l y , r e s u l t i n g i n t h e e f f e c t i v e m e d i u m f u n c t i o n G. The t r a c e o p e r a t o r T r i n Eq. ( 1 ) i n c l u d e s a sum o v e r t h e B r i l l o u i n z o n e as w e l l a s a m a t r i x t r a c e o v e r t h e b a s i s s t a t e s , w h i c h we h a v e t a k e n as t h e B l o c h sum o f s - and p - o r b i t a l s w h i c h p r o v i d e t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e SK H a m i l t o n i a n ( 8 ) o f s i l i c o n . I n t h i s b a s i s t h e momentum ( p x ) m a t r i x e l e m e n t s a r e g i v e n b y
w h i c h we h a v e e v a l u a t e d n u m e r i c a l l y b y u s i n g a f i n i t e w a v e v e c t o r d i s p l a c e m e n t 6 k
.
I f a t r a n s f o r m a t i o n i s made t o b a n d s t a t e s w h i c h d i a g o n a l i z e H 3 n d g i v e e i g e n v a l u e s E k , t h e d i a g o n a l e l e m e n t s o f p x / m b e c o m e t h e b a n d v e l o c i t y d E k / d ( i k ) . H o w e v e r , p r e l i m i n a r y e v a l u a t i o n o f a r e t a i n i n g o n l y b a n d - d i a g o n a l c o m p o n e n t s o f p x / m h a s shown t h a t t h e f u l l m a t r i x n a t u r e o f t h i s o p e r a t o r m u s t b e r e t a i n e d . As o p p o s e d t o p r e v i o u s CPA e v a l u a t i o n s ( 1 0 ) o f u w h i c h r e l i e d o n s i n g l e b a n d m o d e l s , we e m p h a s i z e t h a t t h e p r e s e n t c a l c u l a t i o n r e t a i n s t h e f u l l m u l t i b a n d c h a r a c t e r o f o u r m o d e l o f a - S i : H .The z o n e i n t e g r a t i o n o f o u r e x p r e s s i o n f o r o ( E ) ,
a ( E ) = i i: P ~ , ~ ~ ( I ~ ~ ~ ~ ) P ~ , ~ ~ ( I ~ ~ ~ ~ )
n Qm k i j m n
was d o n e b y a n a n a l y t i c t e t r a h e d r o n a p p r o a c h ( 1 1 ) . The i r r e d u c i b l e z o n e ( 1 1 4 8 t h ) was d i v i d e d i n t o 4 0 0 0 e q u a l v o l u m e t e t r a h e d r a ( c o m p r i s - i n g 9 1 6 d i s t i n c t v e r t i c e s ) , w i t h t h e i n t e g r a n d b e i n g assumed l i n e a r w i t h i n e a c h t e t r a h e d r o n . T h e i n t e g r a t i o n w i t h i n e a c h t e t r a h e d r o n c a n b e e v a l u a t e d a n a l y t i c a l l y , a n d t h e r e s u l t i s summed o v e r a l l 4 0 0 0 t e t r a h e d r a . The same mesh was u s e d t o s o l v e f o r t h e CPA G r e e n ' s f u n c t i o n
F
a n d t h e r e l a t e d d e n s i t y o f s t a t e s N ( E ) . A t z e r o t e m p e r a - t u r e t h e t h e r m a l r e d i s t r i b u t i o n ( - a f / a E ) r e d u c e s t o a 6 - f u n c t i o n l o c a t e d a t E F , a n d Eq. ( 1 ) r e d u c e s t o Eq. ( 3 ) .The r e s u l t s f o r N ( E ) a n d o ( E ) n e a r t h e g a p r e g i o n a r e shown i n F i g . 1. We f i n d t h a t s t a t e s v e r y n e a r t h e t o p o f t h e v a l e n c e b a n d a t E
=
- 0 . 5 e V ) a r e o n l y p o o r l y c o n d u c t i n g , a s t h e i n i t i a l i n c r e a s e i n a ( E ) f o r n e g a t i v e e n e r g i e s o c c u r s b e l o w t h a t o f N ( E ) . A t t h e t o p o f t h e gap, h o w e v e r , b o t h o ( E ) a n d N ( E ) show t h e same " o n s e t " a t-
0.85 eV. ( T h e e n e r g y z e r o h a s b e e n s e t a t t h e b o t t o m o f t h e g a p o f t h e r e f e r e n c e c r y s t a l l i n e S i s y s t e m ( 8 ) . )T h e c o m p a r i s o n o f t h e c o n t r i b u t i o n o f e l e c t r o n and h o l e s t a t e s t o c o n d u c t i v i t y c a n b e made i f we d e f i n e
o ( E ) = c o n s t . X < ~ ~ ( E ) > N ~ ( E ) 2
w h i c h i s s u g g e s t e d b y t h e r e l a t i o n N ( E ) a 1 m c ( ~ + i 6 ) . T h e m e a n
A
s q u a r e m a t r i x e l e m e n t < p : ( ~ ) > , w h i c h d e s c r i b e s e v e r y t h i n g e x c e p t d e n s i t y o f s t a t e s e f f e c t s , i s 5 t o 1 5 t i m e s l a r g e r f o r e l e c t r o n s t a t e s t h a n f o r h o l e s t a t e s . T h i s d i f f e r e n c e r e f l e c t s t h e c h a r a c t e r o f t h e s t a t e s w h i c h a r e i n v o l v e d : h o l e s t a t e s d e r i v e d f r o m b o n d i n g c o m b i n a t i o n s o f S i - S i a n d S i - H o r b i t a l s , a n d e l e c t r o n s t a t e s d e r i v e d
F i g .
Energy (eV)
e z e r o t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y o ( E ) ( f u l l 1 a t e s N E ) ( d a s h e d l i n e ) n e a r t h e ga r e g i o n
o f f u l l y h y d r o g e n a t e d a m o r p h o u s s i l i c o n .
i n e ) a n d d e n s i t y f o r t h e p r e s e n t f r o m a n t i - b o n d i n g c o m b i n a t i o n s o f t h e s e o r b i t a l s . B o t h S i - H c o m b i - n a t i o n s a r e p u l l e d down i n e n e r g y r e l a t i v e t o t h e i r S i - S i c o u n t e r - p a r t s , and t h i s i s r e f l e c t e d i n t h e r a t i o N H ( E ) / N t ( E ) o f H l o c a l d e n s i t y o f s t a t e s N,, t o t h e t o t a l N t b e i n g t h r e e t i m e s l a r g e r f o r e l e c t r o n s t a t e s t h a n f o r h o l e s t a t e s ( - 7 % t o 2 . 5 % ) .
The f i n i t e t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y ( i g n o r i n g t h e r m a l l a t t i c e d i s o r d e r ) c a n b e c a l c u l a t e d f r o m t h e r e l a t i o n
The r e s u l t s a r e shown i n F i g . 2 f o r v a r i o u s v a l u e s o f E F w i t h i n t h e g a p , c o r r e s p o n d i n g p h y s i c a l l y t o d i f f e r e n t d o p i n g l e v e l s . The c a l c u - l a t e d v a l u e s o f l o g 0 v s . 1 / T r e p r o d u c e t h e a p p r o x i m a t e l y l i n e a r b e h a v i o r f o u n d i n i n t r i n s i c a n d d o p e d s a m p l e s o f a - S i : H ( 2 , 1 2 ) .
F i g . 2 - $ o g a r i t h m o f u ( p a
c m ) v s i n v e r s e t e m p e r a t u r e f o r v a r i o u s p l a c e m e n t s o f EF., c o r r e s p o n d i n g t o d i f f e r e n t d o p i n g l e v e l s . S o l i d l i n e s d e n o t e v a l u e s o f
E F
i n t h e l o w e r h a l f o f t h e g a p ( - 0 . 4 , - 0 . 2 , 0 . 0 e V ) , w h i l e d a s h e d l i n e s a r e u s e d f o r v a l u e s o f E i n t h e u p p e r p a r t o f t h e g a p ( 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 e V ) .C4-772 JOURNAL DE PHYSIQUE
T h i s w o r k was s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e S o l a r E n e r g y R e s e a r c h I n s t i t u t e v i a a n i n t e r a g e n c y a g r e e m e n t b e t w e e n t h e US N a v a l R e s e a r c h L a b o r a t o r y and t h e US D e p a r t m e n t o f E n e r g y .
R e f e r e n c e s
1. M o u s t a k a s T.D., A n d e r s o n D.A., a n d P a u l W., S o l i d S t a t e Commun.
2 3 ( 1 9 7 7 ) 1 5 5 .
2. - S p e a r W.E. a n d L e C o m b e r P.G., S o l i d S t a t e Commun. 1 7 ( 1 9 7 5 ) 1 1 9 3 ; C a r l s o n D.E. a n d W r o n s k i C.R. A p p l . P h y s . L e t t .
28
( 1 9 7 6 ) 6 7 1 ; S p e a r W.E., Adv. P h y s . 2 6 ( 1 9 7 7 ) 8 1 1 .
3. M o u s t a k a s T.D., W r o n s k i C.R., a n F ~ o r e l D.L., J. N o n - C r y s t . S o l i d s 3 5 - 3 6 ( 1 9 8 0 ) 7 1 9 ; C o d y G.D., W r o n s k i C.R., A b e l e s B., S t e p h e n s R.B., a n d B r o o k s B., S o l a r C e l l s ,
2
( 1 9 8 0 ) 2 2 7 .4. v o n R o e d e r n B., L e y L., a n d C a r d o n a M., P h y s . Rev. L e t t .
2
( 1 9 7 7 ) 1 5 7 6 ; v o n R o e d e r n B., L e y L., C a r d o n a M.,and S m i t h F.W., P h i l . Mag. B g (1 9 7 9 ) 433.
5. C h i n g W.Y., Lam D.J., a n d L i n C.C., P h y s . Rev. L e t t . 4 2 ( 1 9 7 9 ) 8 0 5 ; A1 l a n D.C. a n d J o a n n o p o u l o s J . D . , P h y s . R e v . T e t t .
44
( 1 9 8 0 ) 4 3 ; J o h n s o n K . J . , K o l a r i H.J., d e N e u f v i l l e J . P . , a n d M o r e l D.L., P h y s Rev. B G ( 1 9 8 0 ) 6 4 3 ; P i c k e t t W.E., P h y s . Rev.
8% ( 1 9 8 1 , i n p r e s s ) ; D i V i n c e n z o D.P., B e r n h o l c J., B r o d s k y M.H., L i p a r i N.O., a n d P a n t e l i d e s S.T., A I P P r o c . T e t r a h e d r a l l y B o n d e d A m o r p h o u s S e m i c o n d u c t o r s C o n f . ( 1 9 8 1 , i n p r e s s ) .
6. E c o n o m o u E.N. a n d P a p a c o n s t a n t o p o u l o s D.A., P h y s . R e v . 8 2 3 ( 1 9 8 1 ) 2 0 4 2 .
7. P a p a c o n s t a n t o p o u l o s D.A. a n d Economou E.N., A I P P r o c . , T e t r a - h e d r a l l y B o n d e d A m o r p h o u s S e m i c o n d u c t o r s C o n f . ( 1 9 8 1 , i n p r e s s ) . 8 . P a p a c o n s t a n t o p o u l o s D.A. a n d E c o n o m o u E.N., P h y s . R e v .
8 2 2
( 1 9 8 0 ) 2 9 0 1 .
9. V e l i c k y B., P h y s . Rev. 1 8 4 ( 1 9 6 9 ) 6 1 4 ; C h e n A. B., W e i s z G., a n d S h e r A., P h y s . R e v . ~ 5 1 9 7 2 ) , 2 9 8 7 .
10. M o r i t a T., H o r i g u c h i T., a n d C h e n C.C., J . P h y s . Soc. J a p a n 3 8 ( 1 9 7 5 ) 9 8 1 ; T a r a n k o E., T a r a n k o R., W y s o k i n s k i K . I . , a n d
-
P i l a t M., Z. P h y s i k B B ( 1 9 8 0 ) 1 8 7 .11. N o t e t h a t t h i s i n t e g r a t i o n i s
not
c o n f i n e d t o a n e n e r g y s u r f a c e i n t h e B r i l l o u i n z o n e a s w o u l d b e t h e c a s e f o r a c r y s t a l l i n e s y s t e m .12. A n d e r s o n D.A., M o u s t a k a s T.D., a n d P a u l W . , P r o c . o f t h e 7 t h I n t . C o n f . o n A m o r p h o u s a n d L i q u i d S e m i c o n d u c t o r s ( 1 9 7 7 ) , ed.
b y S p e a r W.E. ( C I C L U n i v e r s i t y o f E d i n b u r g h ) 467.
