MPSI 2 Semaine 14
Exercice 1 Espaces vectoriels
Déterminer si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels. Si oui, en donner dimension et base.
1. E1={(x, y)∈R2|(x+y)2+ (x−y)2= 0}
2. E2={(x, y)∈R2|(x+y)2−(x−y)2= 0}
3. E3={(x, y)∈R2|exey= 0}
4. E4={(x, y)∈R2| sin2(x) + sin(y) = 0}
5. E5={(x, y)∈R3|(x−y)2−(y−z)2−(z−x)2= 2(x−z)(z−y)}
6. E6={(x, y)∈R3|xz+y2=x+ 2y−z= 0}
7. E7={(x, y)∈R4|x+y+z+t=x−y−z−t= 0}
Exercice 2 Anneau de matrices
SoitAl’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels de la forme
a−b 0 0
0 a b
0 b a
avec aetb réels.
1. Montrer que c’est un espace vectoriel et donner sa dimension.
2. Montrer que(I, U)en est une base avecU =
0 0 0 0 1 1 0 1 1
.
3. Montrer queAest stable par multiplication et forme un anneau commutatif.
4. Déterminer les éléments inversibles deAet calculer l’inverse deM lorsqu’elle est inversible.
Exercice 3 Quaternions
Soit, pour p et q dans K∗, Hp,q l’ensemble des matrices carrées d’ordre 4 à coefficients dans K de la forme
x py qz −pqt y x qt −qz z −pt x py
t −z y x
avecx, y, z et t dans K. On note e =M(1,0,0,0), i =M(0,1,0,0), j=M(0,0,1,0)et k=M(0,0,0,1).
1. Montrer queHp,q est unK-espace vectoriel.
2. Montreri2=pe,j2=qe,k2=−pqe,jk=−kj=−qi,ki=−ik=−pj,ij=−ji=k. En déduire queHp,q est un anneau.
3. Siu=M(x, y, z, t), on noteu¯=M(x,−y,−z,−t)etN(u) =x2−py2−qz2+pqt2. Montrer qu’on a, pour tout uet vdansHp,q,uv= ¯vu,¯ u¯u= ¯uu=N(u)eetN(uv) =N(u)N(v).
4. En déduire queHp,q est un corps si et seulement si, pour toutudansHp,q,N(u) = 0⇔u= 0.
5. Lorsque K=R, montrer queHp,q est un corps si et seulement si pet qsont négatifs et que tous les corps ainsi obtenus sont isomorphes, i.e. qu’il existe un isomorphisme linéaire entre eux, en tant queR-espaces vectoriels, qui préserve également la multiplication, le passage à l’inverse ete.
6. Toujours pourK=R, montrer que siHp,qn’est pas un corps, c’est un anneau isomorphe àM2(R), i.e. qu’il existe un isomorphisme linéaire entre eux, en tant que R-espaces vectoriels, qui préserve également la multiplication ete.
7. Enfin lorsqueK =C, montrer queHp,q n’est jamais un corps, et que c’est un anneau isomorphe à M2(C)
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MPSI 2 Semaine 14
Exercice 4 Polynômes trigonométriques (bis)
On se place dans l’espace vectorielE des fonctions continues deRdansR.
1. SoitEn l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur àn, i.e. des fonctions de la forme x(t) = a0+Pn
k=1(akcos(kt) +bksin(kt))avec des coefficients ai et bj réels. Montrer que En est un espace vectoriel.
2. Soit Tn l’application qui à un vecteur de En associe la fonction x” +n2x. Montrer que c’est une application linéaire surjective de En dansEn−1.
3. En effectuant une démonstration par récurrence, montrer que si xest la fonction nulle, alors tous les coefficientsaietbj sont nuls. Pour démontrer l’hérédité, on pourra commencer par montrer que si xest nulle, alors Tn(x)aussi puis, pour montrer que an et bn sont nuls on pourra prendre des valeurs particulières det.
4. Donner la dimension deEn ainsi qu’une base.
5. On désigne parτ l’application deRdansRqui àtassociet+π/3, etUn l’application deEn dans En qui àxassociex◦τ. Montrer que Un est une application linéaire et écrire U1 dans la base de E1 trouvée précédemment.
6. Montrer queUn3 est l’application identique.
7. Déterminer le noyau et l’image deUn. Exercice 5 Intégration et dérivation
SoitEl’espace vectorielC∞(R,R),S et Dles applications deE dans lui-même définies parS(u)(x) = Rx
0 u(t)dtetD(u)(x) =u0(x).
1. Montrer queS et D sont linéaires et comparerS◦D etD◦S.
2. DéterminerKer(Id−S)et Ker(Id−D).
3. Pour gdansE, déterminer(Id−D)−1(g)et (Id−S)−1(g).
Exercice 6 Endomorphismes nilpotents
SoitEunK-espace vectoriel etudansEnd(E). On dit queuest nilpotent s’il existe un entierpsupérieur à 2 tel queup= 0(i.e.u◦u◦ · · · ◦u= 0). On dit qu’il est nilpotent d’indicepsipest le plus petit entier tel queup= 0. Dans la suite on fixe un endomorphismeunilpotent d’indicep.
1. SoitxdansE, montrer que(x, u(x), u2(x),· · ·, up−1(x))est libre si et seulement siup−1(x)6= 0.
2. Montrer qu’on a une suite d’inclusions strictes
{0} ⊂Ker(u)⊂Ker(u2)⊂ · · · ⊂Ker(up). 3. En déduirep≤dim(E).
4. Sip= dim(E), montrer qu’il existe une base de E telle que la matrice de urelativement à cette base admet des coefficients égaux à 1 juste au-dessus de la diagonale et des 0 ailleurs. Donner l’expression de la matrice deuk dans cette base, pour tout entierk.
Exercice 7 Matrices par blocs
SoitAune matrice décomposée en blocs, c’est-à-dire qu’on écrit
A=
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
... . .. Am1 Am2 · · · Amn
où les Aij sont des matrices de taillepi×qj pour des entiers (p1,· · ·, pm) et (q1,· · ·, qn). Soit B une matrice décomposée en blocsBjkde taillesqj×r`. Montrer queC=ABse décompose en blocs de tailles pi×r` avecCik=P
jAijBjk.
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