PHYSIQUE I
Les deux problèmes suivants sont indépendants. Ils portent respectivement, sur la Mécanique et la Thermodynamique.
Partie I - Forces centrales. Forces intermoléculaires
I.A - Forces centrales
Une particule de masse est soumise à la force centrale dérivant de l’énergie potentielle :
où .
On désigne par la constante de l’énergie et par le moment cinétique à l’ori- gine , dans le référentiel galiléen d’étude.
I.A.1) Rappeler les propriétés essentielles :
• du vecteur ,
• de la trajectoire,
• de l’aire balayée par le rayon vecteur pendant le temps . I.A.2)
a) et représentent les coordonnées polaires de la particule . Exprimer en fonction de , et .
b) Que peut-on dire de la nature du mouvement dans les deux cas : et ?
I.A.3)
a) Montrer que la constante énergie est reliée simplement à une fonction des paramètres ou variables : , , , et .
b) En déduire « l’équation radiale » :
où « l’énergie potentielle » dite « effective » sera exprimée en fonction de , de , et .
c) À quelle condition l’équation radiale présente-t-elle une solution physique ? d) Exprimer enfin et en fonction de et des constantes.
M µ
U
F r( ) F r( )⋅er dU ---dr ⋅er
–
= = er = r r⁄
E L0
O
L0
dA r dt
r θ M L0
µ r θ˙ dθ
---dt
=
L0 = 0 L0≠0
E µ L0 r r˙ U r( )
1
2---µr˙2 = E–Ueff
Ueff U r( ) L0 µ r
r˙ θ˙ r
Filière TSI
I.A.4) Le terme en qui s’ajoute à dans l’expression de est généralement appelé « énergie potentielle centrifuge ».
a) Montrer que le mouvement radial de la particule se produit dans un réfé- rentiel tournant dont on précisera la vitesse angulaire de rotation .
b) Exprimer la force associée à l’énergie potentielle centrifuge. Elle représente la force d’inertie centrifuge associée au mouvement radial lorsque l’étude est menée dans le référentiel précédent. En déduire l’équation différentielle du mouvement radial sous la forme : . Expliciter la fonction
.
I.B - Forces intramoléculaires
Dans le cas d’un gaz suffisamment dilué, la force d’interaction entre deux molécules voisines neutres et dénuées de moment dipolaire est appelée force de Van der Waals. Lennard-Jones en 1929, étudiant la liaison chimique à partir des orbitales moléculaires, la considère comme dérivant de l’énergie potentielle
, où représente la distance entre les deux molécules.
Ce modèle est appliqué ici à un gaz formé de molécules de dioxyde de carbone , pour lesquelles :
et où :
avec et
mètre.
I.B.1) Exprimer la force d’interaction . Dans quel domaine de distances la force d’interaction est-elle, attractive, répulsive, nulle ? Déterminer les posi- tions d’équilibre.
I.B.2) L’étude du mouvement d’un tel système formé de deux particules iso- lées s’effectue dans le référentiel barycentrique .
a) Rappeler la définition de ce référentiel.
b) Est-il galiléen ?
I.B.3) Soit une particule fictive de masse telle que , où désigne la masse d’une molécule de :
1⁄r2 U r( ) Ueff
M
ω
µr˙˙= G r( , U,E,µ,L0) G
F M1 M2
U r( ) a r12
--- b
r6 --- –
= r
CO2
a = ε σ⋅ 12 b = ε σ⋅ 6
ε = 9 10⋅ –2 eV 1eV = 1 6 10, ⋅ –19 J σ = 3 7 10, ⋅ –10
F
B
M µ
1⁄µ = 1⁄m+1⁄m = 2⁄m m CO2
. Sa position est définie dans le référentiel barycentrique par le vecteur , représentant le centre de masse des deux molécules.
a) Exprimer les positions et des deux molécules en fonction de .
b) Par quelle transformation mathématique passe-t-on de la trajectoire de à celles de et dans le repère barycentrique ? Que peut-on conclure quant aux formes de ces trajectoires ?
I.B.4) Montrer que la quantité de mouvement barycentrique de s’exprime très simplement en fonction de celle de .
I.B.5) En appliquant le principe fondamental à dans le référentiel bary- centrique, montrer que tout se passe comme si était soumise à la force cal- culée au I.B.1. On est donc ramené à l’étude du cas simple à une particule de masse soumise à la force centrale de pôle , dérivant de l’énergie poten- tielle d’interaction .
I.B.6)
a) Montrer, par un changement de variable linéaire approprié, que peut s’exprimer en unité de sous la forme :
.
Exprimer la nouvelle variable en fonction de et . b) Exprimer .
c) Vérifier que est une fonction simple de , , et . d) Calculer pour et .
Le premier graphique ci-après représente la variation de en fonction de (ou de ). On rappelle que . Le second graphique représente les variations de (on utilise en fait la variable ) en fonction de . Sur chaque graphique, les courbes en noir correspondent à et les courbes en pointillés à .
Le candidat admettra que, pour une telle forme d’énergie potentielle (Lennard- Jones, 1929), et dans l’intervalle d’énergie considéré, les trajectoires ne sont géné- ralement pas fermées.
Dans la discussion suivante, on distinguera clairement les états liés et les états de diffusion de par rapport au pôle .
I.B.7) DISCUSSION. Dans le cas on désigne par le premier extre- mum (minimum) et par le second extremum (maximum) de l’énergie de .
(voir second graphique).
m = 7 31 10, ⋅ –26 kg B
r = GM = M1M2 = r e⋅ r G r1 = GM1 r2 = GM2 r
M M1 M2
M2 M
M2
M F
M
µ F G
U r( )
Ueff ε
Ueff( )x ---ε 1
x---
12 1 ---x
6 p x2 --- + –
=
x r σ
r˙( )x
p L0 µ ε σ
L0 p = 0 2, p = 0 8,
Ueff x
r r = GM = M1M2
r˙ y = µ⋅r˙ x
p = 0 2, p = 0 8,
M G
p = 0 2, E0
E3 M
E3 = 0 0348,
0 0.2 0.4 0.6 0.8
E3
E0
r3
r0
p=0,2
p=0,8
1 2 3 4 5
x
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 y
1 2 3 4 5
E=-0,05
E=0
x E=0,0348
E=0,1 E=0,2
x3
x0 x
Ueff ---ε
E=0 2,
E=0 2, E=0 1,
E=0 1, E= 0 0348,
x y
a) Que se passe-t-il pour ? En particulier que vaut ? Quelle est la nature du mouvement de (trajectoire, vitesse angulaire …) ? Quelle est la nature de « l’équilibre » pour la variable ?
b) On étudie maintenant la nature du mouvement de pour une valeur de telle que .
• Tracer, d’une manière qualitative, l’allure des mouvements de dans le référentiel .
• Donner dans ce cas, sous la forme d’une intégrale, l’avance du périgée (distance angulaire entre deux maxima successifs de ).
• Donner un exemple de potentiel (hors problèmes intramoléculaires) pouvant conduire à des trajectoires fermées.
c) On choisit une valeur de telle que . Quels sont les états pos- sibles de ?
d) Montrer que correspond à quatre états possibles. Donner l’allure des trajectoires de .
e) Étudier de même la situation . Représenter graphiquement cette situation. Peut-on représenter, sous la forme d’une intégrale dont on notera les bornes, un angle caractéristique de ce mouvement ?
f) Décrire la situation relative à .
I.B.8) Commenter ces résultats, de façon précise, au moyen du graphe , comparé au graphe . À quelle valeur de , en unité de , correspond la courbe « noire » (trait plein) d’allure parabolique ?
I.B.9) Comment déduire les trajectoires barycentriques des deux molécules de l’étude précédente ? Comment définissez-vous alors les notions d’état lié et d’état de diffusion dans le cas de deux particules isolées ?
Partie II - Étude thermodynamique d’une mole d’eau
Ce problème analyse l’évolution des fonctions thermodynamiques d’une mole d’eau au cours de deux transformations réversibles indépendantes. L’attention des candidats est attirée sur l’importance des valeurs numériques (y compris leurs signes).
II.A - Rappels
Notations : les variables directement mesurables sont la pression , le volume et la température .
On considère une transformation élémentaire réversible d’un système. On admettra que les deux premiers principes de la thermodynamique s’expriment
E = E0 r˙
M ω
r
M E1
E E0<E1≤0
M
B
θ δ r
E2 E 0<E2<E3 M
E = E3 M
E = E4>E3
p = 0 8,
y x( )
Ueff( )x E ε
P
V T
alors en écrivant que les variations et des fonctions d’état — énergie interne et entropie — sont des différentielles totales.
II.A.1) La différentielle totale d’une fonction dépendant des deux variables indépendantes et , soit , s’écrira sous la forme : , où :
et .
Quelle condition doivent satisfaire les « dérivées partielles » et ?
II.A.2) Montrer que l’énergie interne d’un corps pur peut-être considérée comme fonction des deux variables, et , soit .
II.A.3) Exprimer la température et la pression en fonction de dérivées partielles de clairement établies.
II.A.4) En déduire une relation entre une certaine dérivée partielle de et une autre dérivée partielle de . (Première relation dite « de Maxwell »).
II.A.5) La « fonction enthalpie » joue le rôle d’une fonction ther- modynamique adaptée à un couple de variables que l’on précisera. Exprimer et en fonction de dérivées partielles de .
II.A.6) En déduire une relation entre une certaine dérivée partielle de et une autre dérivée partielle de (deuxième « relation de Maxwell »).
II.A.7) Répondre à la même série de questions :
a) pour l’énergie libre de Helmholtz définie par , b) pour l’enthalpie libre de Gibbs définie par .
Établir en particulier les deux relations : et . II.B - Première application
On comprime réversiblement une mole d’eau depuis une atmosphère jusqu’à la pression de 100 atmosphères. Pendant cette compres- sion la température demeure constante et égale à . À cette tempéra- ture le coefficient de dilatation
vaut , et le volume massique .
On admettra que la variation de volume est négligeable pendant la compression.
II.B.1) Exprimer en fonction de , , et . dU dS
U S
A
x y A = A x y( , ) dA = Bdx+Cdy B ∂A
∂x ---
y
= C ∂A
∂y ---
x
=
B C
U
S V U = U S V( , )
T P
U
T P
H = U+PV
T
V H
T V
F = U–TS G = H–TS
∂S
∂V ---
T
∂P
∂T ---
V
= ∂S
∂P ---
–
T
∂V
∂T ---
P
=
= 1,013 10⋅ 5 Pa
T 323 2 K,
α 1
V---- ∂V
∂T ---
P
= 4 65 10, ⋅ –4⋅K–1 v = 1 012 10, ⋅ –3 m3⋅kg–1
dH
---dP V T dS
dP---
II.B.2) Justifier l’égalité .
Exprimer cette grandeur en fonction de et de .
II.B.3) En déduire la variation d’enthalpie lors de la compression, en fonc- tion de , , et .
II.B.4) Application numérique. Calculer pour une mole d’eau. On prendra comme masse molaire de l’eau .
II.B.5) En déduire , littéralement et numériquement.
II.B.6) Exprimer en fonction de , et .
Application numérique : calculer pour la compression envisagée.
II.B.7) Que peut-on dire, sans calcul numérique, sur la variation d’énergie libre de Helmholtz ?
II.B.8) Déterminer enfin . Faire l’application numérique.
II.B.9) Montrer que la connaissance de permet de remonter à une solution plus brève pour les autres variations.
II.C - Deuxième application
II.C.1) On considère d’abord, à , la vaporisation d’une mole d’eau.
a) Exprimer les variations d’enthalpie et d’entropie correspondantes en fonc- tion de la chaleur latente molaire de vaporisation
b) En déduire, au cours de ce passage de la phase liquide à la phase vapeur, la variation de l’enthalpie libre. Quelle généralisation pouvez-vous en déduire ?
II.C.2) Lors du refroidissement d’un liquide, on n’observe généralement pas la solidification au moment où l’on atteint la température de fusion. On obtient alors un liquide surfondu, qui se trouve dans un état d’équilibre métastable. Il suffit de le toucher avec une parcelle du cristal du même corps pur pour provo- quer le passage à la phase solide.
a) La courbe de surfusion dans un diagramme traduisant l’équilibre entre le liquide surfondu et la vapeur saturante n’est que le prolongement de la courbe de vaporisation dans le domaine solide.
Tracer schématiquement l’allure du diagramme des changements d’états de l’eau, en y indiquant les états physiques de l’eau. Ajouter en pointillés la courbe de surfusion de l’eau.
b) À la température de la pression de vapeur de l’eau surfondue vaut millimètres de mercure, tandis que celle de la glace en équilibre vaut . On s’intéresse à la variation d’enthalpie libre, correspon- dS
dP--- ∂S
∂P ---
T
=
α V
∆H V α T ∆P
∆H M = 18 02 10, ⋅ –3 kg
∆U
∆S α V ∆P
∆S
∆F
∆G
∆G
100°C
Lvm(100°C)
∆G
P T,
( )
P T,
( )
3°C – P1 = 3 669,
P2 = 3 566 mm Hg, ∆G
dant à la transformation d’une mole d’eau surfondue à en une mole de glace à .
Au moyen d’un « chemin » approprié, dont on donnera le diagramme et dont on justifiera la légitimité, montrer que le calcul de peut, dans le problème con- sidéré, se décomposer simplement en une somme de trois termes : , , dont un seul est non nul. En considérant la vapeur d’eau comme un gaz par- fait, exprimer en fonction de , , et de la constante
. Faire l’application numérique.
Au moyen d’un raisonnement qualitatif sur et , montrer que ce processus dégage de la chaleur (soit ). Montrer qu’un signe opposé au signe obtenu pour
violerait le second principe de la thermodynamique.
II.C.3) Imaginer un dispositif expérimental qui puisse permettre soit de visualiser, soit de mesurer le dégagement de chaleur lié à la transition liquide surfondu à → glace à (le candidat a le choix entre les deux métho- des).
••• FIN •••
3°C – 3°C
–
∆G
∆G1 ∆G2
∆G3
∆G T P1 P2
R = 8 314 J K, ⋅ –1⋅mol–1
∆H ∆S
Q
∆G
3 °C
– –3 °C
