A-polygones réguliers étoilés

Soitdle diamètre d’une bouteille.

La hauteur de la pyramide est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté (n−1)daugmenté de deux rayons.

Donch(d) =d+ (n−1)d

√3

2 = 8,4×(1 + (n−1)

√3 2 ).

h(20) = 146,6. . .cm eth(14) = 103cm

Donc les nouvelles pyramides ne remplissent pas la condition imposée.

Exercice n ^o 3

Enoncé

A-polygones réguliers étoilés

Dans tout cet exercice, on considère un cercle(C)de rayon 5 cm et on noteA un point de ce cercle.

Soitnun entier naturel tel que n>5.

En partant deA, on partage ce cercle enn arcs de longueurs égales. Ces arcs sont délimités parnpoints régulièrement répartis (dont fait partieA), qui dé- crivent un polygone régulier. Parmi les polygones qu’on peut former à l’aide de cesn points le polygone convexe, est le seul dont les côtés ne se coupent pas.

Les autres sont dits « croisés ».

On considère dans toute la suite de l’exercice un polygone croisé formé sur ces npoints. On parcourt chacun de ses côtés dans le sens trigo- nométrique en partant deA. Le passage de chaque sommet au sommet suivant parcourt un certain nombre d’arcs. Dans cet exercice, on s’intéresse au cas où le nombre d’arcs parcourus est le même pour chaque côté, notép. Un tel polygone est appelé A-polygone régulier étoilé à n banches d’indice p et noté P(n;p).

Ainsi, il existe seulement deux A-polygones réguliers étoilés à 7 branches :

A A

P_A (7 , 2) P_A (7 , 3)

1. Combien y a-t-il de A-polygones réguliers étoilés à 5 branches ? Expliquer soigneusement la réponse. Le(s) tracer avec des instruments de géométrie adaptés.

2. Existe-t-il des A-polygones réguliers étoilés à 6 branches ?

3. Déterminer le nombre de A-polygones réguliers étoilés à 8 branches, à 33 branches, à 41 branches.

4. On suppose quenest un nombre premier et on appelleE(n)l’ensemble des A-polygones réguliers étoilés à n branches. Quelle est la probabilité qu’un polygone choisi au hasard dansE(n)ait un indice pair ?

Solution

1.L’indicepexplicite complètement la construction en partant deA. Ainsi, à chaque indiceppossible correspond un unique A-polygone régulier étoilé.

Dans cette questionn= 5. Or 26p(car on veut que le polygone soit croisé) etp <5.

Il y a donc au plus ici 3 A-polygones réguliers étoilés à 5 branches correspon- dant aux casp= 2; p= 3et p= 4.

• Si p= 2, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivantAA1A2A3A4 : PA(5; 2)

A A₁

A₄

A₂ A₃

• Si p= 3, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivantAA⁰₁A⁰₂A⁰₃A⁰₄ : P_A(5; 3)

A A'₄

A'₁

A'₃ A'₂

Ce polygone est aussiAA⁰₄A⁰₃A⁰₂A⁰₁, et en faisant la correspondance,A1↔A⁰₄; A2 ↔ A⁰₃; A3 ↔ A⁰₂ et A4 ↔ A⁰₁, on obtient le même A-polygone régulier étoilé. Autrement ditPA(5; 3) n’est pas nouveau, c’est en réalité le polygone PA(5; 2).

Plus généralement, en faisant un raisonnement analogue, on peut remarquer que lorsqu’on parcourt le polygone dans le sens trigonométrique, le passage d’un sommet au suivant ne peut pas excéder un demi-tour.

Ainsi, on ne considérera désormais que les indicesptel que : 462p6n, soit encore26p6E³n

2

´

•Le casp= 4n’est pas à envisager d’après l’étude précédente.

Conclusion: Il y a un seul A-polygone régulier étoilé à 5 branches :PA(5; 2).

On peut le construire en utilisant la règle et le compas uniquement, puisque cela revient à déterminer les 5 sommets d’un pentagone régulier. On peut le tracer en utilisant le rapporteur puisque l’angle au centre doit mesurer 72^o. 2.Dans cette question,n= 6. D’après la question 1, on ne doit considérer que les casp= 2et p= 3.

• Si p = 2, tous les sommets ne sont pas atteints : seuls trois d’entre eux le sont (car 6

2 = 3) et on obtient un triangle équilatéralAA1A2. Il n’existe donc pas de A-polygone régulier étoilé à 6 branches d’indice 2.

A₁

A₂

A

•Sip= 3, seuls deux sommets sont atteints (car 6

3 = 2), on obtient un diamètre [AA1]du disque. Il n’existe donc pas de A-polygone étoilé à 6 branches d’indice 3.

A₁ A

Conclusion: Il n’existe pas de A-polygone régulier étoilé à 6 branches.

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5 et p un entier tel que : 2 6 p 6 E

³n 2

´

. Les questions précédentes invitent à démontrer qu’un A- polygone régulier étoilé à n branches d’indice p existe si et seulement si PGCD(n;p) = 1.

On pose PGCD (n;p) = d, où d est un entier naturel. On a alors PPCM(n;p) =np

d .

- Sid= 1, alors PPCM(n;p) =npdonc quel que soitk∈N ,16k6n−1, kpn’est pas un multiple denpuisqu’il est déjà multiple dep. Cela signifie que quel que soit le sommet choisi au départ, il faudra bien tracer exactement n cordes pour retrouver ce point. DoncPA(n;p)existe.

- Sid6= 1, alors np

d étant un multiple de n, seuls n

d sommets seront atteints.

Ord6= 1, donc il n’y a pas de A-polygone régulier étoilé correspondant.

Par suite, un A-polygone régulier étoilé à n branches d’indice p existe si et seulement si PGCD(n;p) = 1, où n > 5 et 2 6 p 6 E

³n 2

´

. Dénombrer les A-polygones réguliers étoilés ànbranches d’indiceprevient donc désormais à déterminer le nombre depnombres étrangers ànvérifiant26p6E³n

2

´ . Il n’y a qu’un seul nombre étranger à 8 compris entre 2 etE

µ8 2

¶

= 4 : c’est 3.

Conclusion: Il y a donc un unique A-polygone régulier étoilé à 8 branches : PA(8; 3).

Les nombres étrangers à 33 compris entre 2 etE µ33

2

¶

= 16sont : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 13 ; 14 ; 15 et 16.

Conclusion: Il y a donc 10 A-polygones réguliers étoilés à 33 branches.

41 étant un nombre premier, tous les nombres entiers qui lui sont strictement inférieurs lui sont également étrangers. Entre 2 etE

µ41 2

¶

= 20, il y en a pré- cisément 19.

Conclusion: Il y a donc 19 A-polygones réguliers étoilés à 41 branches.

4. Soit n un nombre premier. On appelle q(n) la probabilité de choisir un polygone dansE(n)ayant un indice pair. Etant dans une situation d’équipro- babilité, nous allons d’abord déterminer le nombre d’éléments deE(n). Il s’agit (voir question 3) de dénombrer les entiers compris entre 2 etE³n

2

´

. Ornest premier etn>5donc n est impair. Par suiteE

³n 2

´

=n−1 2 . Entre 2 et n−1

2 , il y a n−1

2 −1nombres entiers soit n−3

2 indicesppossibles.

Par suite CardE(n) =n−3 2

On a choisi au hasard un polygone régulier étoilé dans E(n) =

½

PA(n; 2), PA(n; 3), . . . , PA

µ

n;n−1 2

¶¾

Combien y a-t-il de nombres pairs dans l’ensembleN =

½

2,3, . . . ,n−1 2

¾

? On sait que n est impair. Il faut distinguer deux cas : n−1

2 est impair ou n−1

2 est pair.

• Si n−1

2 est impair, alors cela signifie qu’il existe un entier k tel que : n−1 = 2(2k+ 1) donc n = 4k+ 3. Alors il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs doncq(n) =1

2.

• Si n−1

2 est pair, alors il existe un entier m tel que : n−1 = 4m donc n= 4m+ 1. Le plus grand nombre pair deN est n−1

2 soit encore2×n−1 4 . Tous les nombres pairs deN sont donc de la forme 2k, avec 1 6k6 n−1

4 . Par conséquent il y en a n−1

et : 4

q(n) =

n−1 4 n−3

2

soit enfin :q(n) = n−1 2n−6. Conclusion: Lorsquenest premier (n>5)

• sinest de la forme4k+ 1, oùkest un entier, alorsq(n) = n−1 2n−6.

• Sinest de la forme4k+ 3, oùk est un entier, alorsq(n) =1 2.

Exercice n ^o 4

Enoncé

Dissection polygonale

Étant donné un polygoneA, une dissection deAest l’action de découperAen polygones plus petits et, dans la mesure du possible, de regrouper les morceaux pour former un nouveau polygoneB:

- sans que les morceaux ne se chevauchent

- sans retourner les morceaux (c’est-à-dire, en n’employant que des rota- tions et des translations).

Pour illustrer cette opération, on montre ci-dessous une dissection permettant de passer d’un triangle équilatéral à un carré. Cette dissection ne sera pas utilisée par la suite.

2

2 1

1

3

3

4

4

Remarque : par construction, le triangle et le carré de la figure ont la même aire.

1. On montre ci-dessous la dissection d’un triangle équilatéral de côté 2 en un rectangle dont un des côtés mesure 1, ainsi que la dissection d’un triangle isocèle particulierT en le même rectangle.

a

a

c

c

b b

2 2

1

3

3 1 d