Devoir surveillé n°2

TS - DS2 1/3 Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir surveillé n°2

Exercice 1 (Nlle Calédonie Novembre 2006) 10 points Soit la suite

( )

^un définie pour tout entier naturel n par u₀=1

2 et un+1=1 2

 u_n+ ²

u_n . 1. a. Soit la fonction f définie sur ]0;+õ[ par f(x)=1

2

 x+²

x . Etudions le sens de variation de f :

Les fonctions x→x et x→2

x sont dérivables sur ]0;+õ[ . Ainsi f est dérivable sur ]0;+õ[ et ┐x☻]0;+õ[, f′(x)=1

2

 1−²

x² =1 2



x²−2 x² = 1

2x²

(

^{x+ 2}

) (

^{x− 2}

)

^.

Or ┐x☻]0;+õ[ , x²>0 et x+ 2>0 donc f′(x) est du signe de x− 2.

Ainsi



 

^{f′(x)>0ñx☻}

]

^2;+õ

^[

f′(x)<0ñx☻

]

^{0; 2}

^[

f′

(

²

)

⁼⁰

.

Donc f est strictement décroissante sur

]

^{0; 2}

^]

et strictement croissante sur

[

^2;+õ

^[

.(1.5 points) Traçons sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(

O; Åi; Åj

)

(unité 2cm)(1 point)

b. Utilisons le graphique précédent pour construire les points A₀, A₁, A₂ et A₃ de l’axe

(

^{O; Åi}

)

d’abscisses respectives u₀, u₁, u₂ et u₃.(1 point)

2. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul unà 2 :

• Initialisation : u1=f

( )

^{u0 =1}_2^1₂⁺⁴_^=₄^{9 > 2} donc la propriété est vraie au rang n=1.

• Montrons que la propriété est héréditaire :

Supposons que la propriété soit vraie à un rang pÃ1 cad upà 2

Alors f

( )

^{up Ãf}

(

²

)

car f est strictement croissante sur

[

^2;+õ

^[

^{. Or up+1=f}

( )

^{up donc up+1Ã 2.}

Donc la propriété est héréditaire.

• Conclusion : La propriété est vraie au rang n=1 est elle est héréditaire donc ┐nÃ1 , u_nà 2 .(2 points)

2 3 4

2 3

0 1

1

x y

A₀ A3 AA₂2 A₁

TS - DS2 2/3 b. Montrons que, pour tout xà 2, f(x)Âx :

┐xà 2, f(x)−x=1 2

 x+²

x −x=1 2x+1

x−x=-1 2x+1

x=2−x²

2x =

(

^2+x

) (

^2−x

)

2x .

Or ┐xà 2 , 2x>0, x+ 2>0 et x− 2 Ã0 cad 2−xÂ0.

Donc ┐xà 2 ,

(

^2+x

) (

^2−x

)

2x Â0 donc f(x)−xÂ0 donc f(x)Âx .(1 point) c. Déduisons en que la suite

( )

^un est décroissante à partir du rang 1.

D’après 2a. et b. , ┐nÃ1 , u_nà 2 et ┐xà 2 f(x)Âx, donc f

( )

^{un Âun d’où ┐nÃ1 , un+1Âun.}

Donc par définition,

( )

^un nÃ1 est décroissante .(1 point) d. Prouvons que

( )

^un converge :

( )

^un est minorée par 2 et elle est décroissante donc

( )

^un converge vers l avec là 2 . (0.5 point) 2. Soit l la limite de la suite

( )

^un . Montrons que l est solution de l’équation x=1

2

 x+²

x :

( )

^un est définie par un+1=f

( )

^un et f est dérivable donc continue sur ]0;+õ[ donc elle est continue en l.

Or

( )

^un converge vers l donc l est solution de l’équation f(x)=x cad x=1 2

 x+²

x .(1 point) Déduisons en sa valeur en résolvant l’équation :

Sur

[

^2;+õ

^[

^{, x=}₂¹_^x+2_x^{ ñ 1}₂^x+1_x^{−x=0 ñ -1}₂^x+1_x^{=0 ñ –x+2}_x^{=0 ñ -x2}_x⁺²⁼⁰

ñ 2−x²=0 ñ

(

^2−x

) (

^2+x

)

^{=0 ñ x= 2 ou x=- 2 ñ x= 2}

Donc

( )

^un converge vers 2 .(1 point)

Exercice 2 (Nlle Calédonie Novembre 2004) 10 points

On considère les deux suites

( )

^{un et}

( )

^vn définies pour tout entier n par



^u0=3 un+1=^un+vn

2 et



^v0=4

vn+1=^un+1+vn 2

; 1- Calculer u₁, v₁, u₂ et v₂. (1 point)

u₁=u0+v0

2 =3+4

2 =7

2 et v₁=u1+v0

2 =

7 2+4

2 =15 4 u2=u₁+v₁

2 =

7 2+¹⁵

4

2 =29

8 et v2=u₂+v₁

2 =

29 8 +¹⁵

4

2 =59

16 2- Soit la suite

( )

^wn définie pour tout entier naturel n par w_n=vn−un.

a. Montrer que la suite

( )

^wn est une suite géométrique de raison 1

4. (2 points)

┐nÃ0, wn+1=vn+1−un+1=un+1+vn

2 −un+vn

2 =un+1−un

2 =

u_n+v_n 2 −un

2 =

v_n−u_n 2

2 =1

4w_n. Donc la suite

( )

^wn est géométrique de raison 1

4 et de premier terme w0=v0−u0=4−3=1

b. Exprimer w_n en fonction de n et préciser la limite de la suite

( )

^{wn . (1 point)}

La suite

( )

^wn est géométrique de raison 1

4 et de premier terme w₀=1 donc ┐nÃ0, w_n=



1 4

n×1=



1 4

n

. 0<1

4<1 donc lim

n↔+õw_n=0

TS - DS2 3/3 3- Après avoir étudié le sens de variation des suites

( )

^{un et}

( )

^vn , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que

peut-on en déduire ? (3 points)

┐nÃ0, un+1−un= un+vn

2 −un=vn−un

2 =wn

2 Or, ┐nÃ0, wn=



1 4

n>0 donc un+1−un=wn

2 >0 donc

( )

^un est strictement croissante .

┐nÃ0, vn+1−vn=un+1+vn

2 −vn=1 2

un+vn

2 −1

2vn=1

4

(

^un+vn

)

^−2v₄ⁿ⁼¹₄

(

^un−vn

)

^=-1₄^wn<0.

Donc la suite

( )

^vn est strictement décroissante .

lim

n↔+õwn=0 donc lim

n↔+õvn−un=0

Donc la suite

( )

^un est strictement croissante, la suite

( )

^vn est strictement décroissante et lim

n↔+õvn−un=0 donc les suites

( )

^{un et}

( )

^vn sont des suites adjacentes et donc elles convergent vers une même limite l .

4- On considère la suite

( )

^tn définie, pour tout entier naturel n, par t_n=u_n+2v_n 3 . a. Démontrer que la suite

( )

^tn est constante. (1.5 points)

┐nÃ0, t_n+1=un+1+2vn+1

3 =un+1+²

(

^un+1+v_n

)

2

3 = 2un+1+vn

3 =un+2vn

3 =t_n Donc

( )

^tn est constante et ┐nÃ0, tn=t0=u0+2v0

3 =3+2×4

3 = 11

3

b. En déduire la limite des suites

( )

^{un et}

( )

^{vn .} (1.5 points) Les suites

( )

^{un et}

( )

^vn convergent vers un même réel l alors lim

n↔+õtn=l+2l 3 =l Or,

( )

^tn est constante donc lim

n↔+õtn=11

3 donc l=11

3 La limite commune aux suites

( )

^{un et}

( )

^{vn est 11}₃ ^.

Exercice 3 (Extrait Pondichéry Avril 2006) bonus : 2 points

Quatre affirmations sont proposées ci-dessous. Dire pour chacune d’entre elles si elle est VRAIE ou FAUSSE.

Chaque réponse correcte rapporte 0.5 point. Une réponse incorrecte enlève 0.5 point et l’absence de réponse n’enlève pas de point. Un total négatif sera ramené à 0 pour l’exercice. Aucune justification n’est demandée.

On considére deux suites

( )

^{un et}

( )

^vn définies sur É. VRAI FAUX

Si lim

n↔+õun=+õ et si lim

n↔+õvn=-õ, alors lim

n↔+õ

(

^un+vn

)

⁼⁰

Contre-exemple : les suites ( )^{un et} ( )^vn définient par un=3n et vn=-2n a l o r s l i m

n↔+unõ= +õ e t l i m

n↔+õvn=-õ e t l i m

n↔+(õun+vn)= l i m n↔+nõ= +õ

X

Si

( )

^un converge vers un réel non nul et si lim

n↔+õvn=+õ, alors la suite

(

^un×vn

)

ne converge pas.

D’a p r è s l e s r è g l e s o p é r a t o i r e s s u r l e s l i m i t e s , l a s u i t e a p o u r l i m i t e ±õ

X Si

( )

^un converge vers un réel non nul, si

( )

^vn est positive et si lim

n↔+õv_n=0, alors la suite





u_n v_n ne converge pas.

D ’ a p r è s l e s r è g l e s o p é r a t o i r e s , l a suite 



un

vn a pour limite ±õ

X

Si

( )

^{un et}

( )

^vn convergent, alors la suite 



u_n

v_n converge. Contre-exemple : voir l’exemple ci-dessus X