Devoir surveillé n°2

TS – DS2 1/1 Terminale S2 & 3. – Lycée Desfontaines – Melle NOM : ………; Prénom : ………

Devoir surveillé n°2

Exercice 1 (Nlle Calédonie Novembre 2006) 10 points Soit la suite

( )

^un définie pour tout entier naturel n par u₀=1

2 et u_n+1=1 2

 u_n+ ²

u_n . 1. a. Soit la fonction f définie sur ]0;+õ[ par f(x)=1

2

 x+²

x .

Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(

O; Åi; Åj

)

. On prendra comme unité 2cm.

b. Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l’axe

(

^{O; Å}i

)

d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul unà 2. b. Montrer que, pour tout xà 2, f(x)Âx.

c. En déduire que la suite

( )

^un est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouver qu’elle converge.

3. Soit l la limite de la suite

( )

^un . Montrer que l est solution de l’équation x=1 2

 x+²

x . En déduire sa valeur.

Exercice 2 (Nlle Calédonie Novembre 2004) 10 points

On considère les deux suites

( )

^{un et}

( )

^vn définies pour tout entier n par



^u0=3 un+1=^un+vn

2 et



^v0=4

vn+1=^un+1+vn 2

; 1- Calculer u1, v1, u2 et v2.

2- Soit la suite

( )

^wn définie pour tout entier naturel n par w_n=v_n−u_n. a. Montrer que la suite

( )

^wn est une suite géométrique de raison 1

4. b. Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite

( )

^{wn .}

3- Après avoir étudié le sens de variation des suites

( )

^{un et}

( )

^vn , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4- On considère la suite

( )

^tn définie, pour tout entier naturel n, par tn=un+2vn

3 . a. Démontrer que la suite

( )

^tn est constante.

b. En déduire la limite des suites

( )

^{un et}

( )

^{vn .}

Exercice 3 (Extrait Pondichéry Avril 2006) bonus : 2 points

Quatre affirmations sont proposées ci-dessous. Dire pour chacune d’entre elles si elle est VRAIE ou FAUSSE.

Chaque réponse correcte rapporte 0.5 point. Une réponse incorrecte enlève 0.5 point et l’absence de réponse n’enlève pas de point. Un total négatif sera ramené à 0 pour l’exercice. Aucune justification n’est demandée.

On considère deux suites

( )

^{un et}

( )

^vn définies sur É. VRAI FAUX

Si lim

n↔+õun=+õ et si lim

n↔+õvn=-õ, alors lim

n↔+õ

(

^un+vn

)

⁼⁰

Si

( )

^un converge vers un réel non nul et si lim

n↔+õvn=+õ, alors la suite

(

^un×vn

)

ne converge pas.

Si

( )

^un converge vers un réel non nul, si

( )

^vn est positive et si lim

n↔+õvn=0, alors la suite





u_n v_n ne converge pas.

Si

( )

^{un et}

( )

^vn convergent, alors la suite 



u_n

v_n converge.