Astérosismologie ; Oiseau carillonneur ; Mascaret
Durée : 3h Samedi 19 septembre
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être uneerreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérifier que l’erreur ne vient pas de lui.
Les CALCULATRICES sont autorisées Le sujet comporte 3 exercices indépendants.
1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile
La surface d’une étoile est animée d’un mouvement de vibration qui renseigne sur sa composition. La fréquence de vibration d’une étoile dépend de plusieurs paramètres.
La cohésion d’une étoile étant assurée par les forces de gravitation, Lord Rayleigh pro- pose donc, dans son article publié en mars 1915 dans Nature, que la fréquence de réso- nance de l’étoile dépende de :
• R, le rayon de l’étoile ;
• ρ, la masse volumique l’étoile ;
• G, la constante de gravitation universelle.
1.1 On rappelle l’expression de l’interaction gravitationnelle
~F= −Gm1·m2 r2 ~ur
avecm1etm2les masses respectives de deux corps séparés d’une distancer. Déterminer les dimensions de la constante de gravitation universelleG.
1.2 Déterminer les réelsa,betcdans l’expression de la fréquence de vibrationf en fonction deR,ρetG: f =kRaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk).
Le résultat trouvé est-il en accord avec cette citation de Lord Rayleigh, extraite de son article de 1915
1.3 Sachant que la valeur deGest connue, quelles données peut-on obtenir à partir de la fréquence de vibra- tion ?
1.4 À partir du spectre acoustique de gauche, réalisé sur le Soleil, déterminer la constante sans dimensionkà un chiffre significatif près.
En déduire la masse volumique de l’étoile alpha du Centaure, dont le spectre acoustique est donné à droite.
Puissance
f(mHz) f(mHz)
Données : Constante de gravitation universelle :G=6, 67.10−11unités S.I. ; masse du Soleil, déterminée ici à partir des lois de Kepler :MS=2, 0 · 1030kg ; rayon du SoleilRS=7, 0 · 105km.
2 Oiseau carillonneur
On étudie le mouvement d’un jouet appelé oiseau carillonneur. Le jouet est représenté ci- dessous à gauche et est constitué d’un oiseau qui peut se déplacer horizontalement et venir frapper une sonnette.
Afin de simplifier le problème, on se propose d’adopter la modélisation représentée ci-dessous à droite : l’oiseau sera remplacé par un point matérielMde massem, repéré par son abscissex. Ce point est attaché à un ressort de raideurk et de longueur à videl0. Le point d’attache de ce ressort est le pointHd’abscissel0pour simplifier les calculs.
Pour modéliser le choc du nez de l’oiseau contre la sonnette, on introduit un deuxième ressort (beaucoup plus raide que le premier) de raideurk0et de longueur à videl00. Ce deuxième ressort se termine par une plaque ver- ticale contre laquelle viendra taper la masse. Cette plaque est bloquée enx=0 par deux murs et l’abscisse de la plaque est donc nécessairement négative. Le deuxième ressort est fixé enH0d’abscisse−l00.
On suppose que le support horizontal sur lequel l’oiseau glisse selonOxest bien lubrifié de façon à pouvoir nég- liger les frottements.
Dans un premier temps, on enlève la partie sonnette et le problème peut se schématiser plus simplement (voir ci-dessous à gauche). La mesure dex(t) donne la courbe représentée ci-dessous à droite.
2.1 Établissement de l’équation différentielle.
2.1.1 Exprimer la force de rappel du ressort s’exerçant sur l’oiseau, en fonction des données du problème.
Vérifier le signe.
2.1.2 Faire un bilan des forces s’exerçant sur l’oiseau. Faire un schéma.
2.1.3 Montrer que l’équation différentielle du mouvement de l’oiseau estmd2x
d t2 +kx=0 et préciser la pul- sation propreω0.
2.1.4 Donner une forme générale des solutions.
2.2 Utilisation du graphique.
2.2.1 Donner l’amplitudeXmdes oscillations et la période propreT0. Calculer la pulsation propreω0. 2.2.2 Déterminer graphiquement la phase à l’origine du signalx(t). En déduire les conditions initiales du
mouvementx0etv0. 2.3 Utilisation de l’énergie.
2.3.1 Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique du système, en fonction des données du prob- lème.
2.3.2 Vérifier que l’énergie mécanique du système est égale à une constante (on prendra l’énergie potentielle de pesanteur nulle).
2.3.3 Sachant que l’énergie mécanique du système est égale à 0, 2 J, déterminer la constante de raideurkdu ressort.
2.3.4 Quelle est la massemde l’oiseau ?
2.4 À quel instantt1l’oiseau passe-t-il pour la première fois enO? Exprimert1en fonction deT0. Quelle est sa vitessev1àt1? Faire l’application numérique et vérifier la cohérence avec le graphique. Pour la suite, on prendra comme première partie du mouvement, l’équationx(t) trouvée valable entre l’instant initial ett1.
Choc avec la sonnette
On ajoute maintenant la sonnette enx=0. Lorsquex<0, le point M est donc soumis à l’action des deux ressorts. La masse de la plaque fixée au deuxième ressort sera supposée négligeable par rapport à la masse de l’oiseau.
Le système est donc équivalent à un pointMrelié à deux ressorts, avec la contraintex<0.
2.5 Exprimer les forces de rappel exercées par le ressort de droite~Fdet le ressort de gauche~Fg.
2.6 Montrer que la nouvelle équation différentielle régissant le mouvement du pointMlorsquex<0 est :
md2x
d t2+(k+k0)x=0.
2.7 En déduire la nouvelle pulsation propreω00et la nouvelle périodeT00. A-t-onT00<T0ouT00>T0? 2.8 Les conditions initiales pour cette partie du mouvement sont :x(t1)=0 et
µd x d t
¶
(t1)=v1. Résoudre l’équation différentielle compte tenu de ces conditions initiales. Attention, les conditions initiales sont ici ent=t1et non pas ent=0 comme d’habitude.
2.9 À partir de quel instantt2cette solution n’est-elle plus valide ? 2.10 À l’aide de la conservation de l’énergie mécanique, exprimer
µd x d t
¶
(t2) en fonction dev1.
2.11 Tracer sur un graphique la courbex(t) entret=0 ett =t2. Laisser de la place sur la droite pour pouvoir compléter ce graphique (laisser les deux tiers de la page libre).
Mouvement complet
2.12 Une fois quexredevient positif, quelle est l’équation du mouvement ?
2.13 Compte tenu de la conservation de l’énergie mécanique, quelle sera la plus grande valeur dexatteinte ? On pourra exprimer l’énergie mécanique au moment où l’oiseau passe par 0 puis au moment où le ressort est le plus comprimé.
2.14 En déduire sans calcul la forme du mouvement ultérieur et compléter le graphique précédent sur deux péri- odes complètes du mouvement.
2.15 Quelle est la périodeT du mouvement en fonction deT0etT00? 2.16 Ce système est-il un oscillateur harmonique ? Pourquoi ?
3 Propagation d’un mascaret
Un mascaret est une vague solitaire remontant un fleuve au voisinage de son estuaire, et provoquée par une inter- action entre son écoulement et la marée montante.
On considère ici un mascaret se déplaçant à la vitessec=20 km.h−1le long d’un fleuve rectiligne, et on définit un axe (Ox) dans la direction et le sens de propagation.
À l’instantt0=0, le profil de niveau de l’eau du fleuve a l’allure suivante :
O
y(x,t=0)
100 m x
=⇒
3.1 Sur le schéma ci-dessus, représenter le profil de niveau du fleuve àt=3, 0 min, en supposant que l’onde se propage sans déformation. La réponse devra être justifiée.
3.2 Un surfeur attend avec sa planche de surf à l’abscissexS=3, 0 km.
À quel instant va-t-il recevoir la vague ?
Quelle est la durée de la vague qu’il va ressentir ?
3.3 Un détecteur fixe, enregistrant la hauteur du fleuve en fonction du temps, est placé à l’abscissexS=3, 0 km.
Dessiner l’allure des variationsy(xS,t) en fonction det. On choisira une échelle adaptée.
3.4 Parmi les écritures proposées ci-dessous, précisez lesquelles peuvent correspondre au mascaret et lesquelles ne peuvent pas correspondre aux mascarets. Les réponses devront être justifiées.
a.y(x,t)=f(x−c t) b.y(x,t)=f³ t−x
c
´
c.y(x,t)=f(t−c x) d.y(x,t)=f µ
x−t c
¶
e.y(x,t)=f(x+c t) f.y(x,t)=f³ t+x
c
´
g.y(x,t)=f(t+c x) h.y(x,t)=f µ
x+t c
¶
3.5 En réalité, l’onde se déforme petit à petit car la vitesse de propagation augmente avec la « profondeur »y.
Comment évolue le profil de la vague ?
