Devoir maison 1
Modèle de Rayleigh ; oscillateur harmonique
à rendre le jeudi 9 septembre
• Commencer à chercher le devoirdès le soir de la distribution.
• S’aider ducourset desexercices.
• Chercher en groupe. La rédaction sera cependant personnelle.
• Si vous êtes bloqué,posez des questions.
• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;
- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;
- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;
- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.
• Après avoir reçu la correction, reprendre votre copie et le corrigé pour comprendre les erreurs, lire les conseils...
AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile
La surface d’une étoile est animée d’un mouvement de vibration qui renseigne sur sa composition. La fréquence de vibration d’une étoile dépend de plusieurs paramètres. La cohésion d’une étoile étant assurée par les forces de gravitation, Lord Rayleigh propose donc, dans son article publié en mars 1915 dans Nature, que la fréquence de résonance de l’étoile dépende de :
• R, le rayon de l’étoile ;
• ρ, la masse volumique l’étoile ;
• G, la constante de gravitation universelle.
1.1 On rappelle l’expression de l’interaction gravitationnelle
~F= −Gm1·m2
r2 ~ur
avecm1etm2les masses respectives de deux corps séparés d’une distancer. Déterminer les dimensions de la constante de gravitation universelleG.
1.2 Déterminer les réelsa,betcdans l’expression de la fréquence de vibrationf en fonction deR,ρetG: f =kRaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk).
Le résultat trouvé est-il en accord avec cette citation de Lord Rayleigh, extraite de son article de 1915
1.3 Sachant que la valeur deG est connue, quelles données peut-on obtenir à partir de la fréquence de vibra- tion ?
1.4 À partir du spectre acoustique de gauche, réalisé sur le Soleil, déterminer la constante sans dimensionkà un chiffre significatif près.
En déduire la masse volumique de l’étoile alpha du Centaure, dont le spectre acoustique est donné à droite.
MPSI Devoir maison 1 - Oscillateur harmonique 2021-2022
Puissance
f(mHz) f(mHz)
Données : Constante de gravitation universelle :G=6, 67.10−11unités S.I. ; masse du Soleil, déterminée ici à partir des lois de Kepler :MS=2, 0 · 1030kg ; rayon du SoleilRS=7, 0 · 105km.
2 Oscillateur harmonique
Un ressort de raideurket de longueur à vide`0=30 cm est fixé en Aà une paroi (figure ci-contre).
Initialement, le ressort est détendu et l’autre extrémité du ressort libre est initialement enO, origine de l’axe (Ox).
Un pointM de massem=200 g, glisse sans frottement sur l’axe horizontal (Ox). Ce pointMpercute l’extrémité libre du ressort à l’instantt=0 etMreste accroché à cette extrémité pourt>0.
Le pointMpercute le ressort à la vitesse~v0= −v0~uxavecv0>0.
2.1 Une fois la masse accrochée au ressort, quelle est l’expres- sion de la force~Fexercée par le ressort sur la masse ? Vous respecterez le sens et l’origine de l’axe (Ox) donnés par
le schéma pour exprimer~F. Représenter cette force sur un schéma lorsqueMest entreOetA. 2.2 Établir l’équation différentielle du mouvement de la masse vérifiée parx(t) pourt≥0.
2.3 Comment se nomme cette équation ? Exprimer la pulsation propreω0en fonction deketm.
2.4 Résoudre l’équation différentielle dans les conditions de l’énoncé.
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MPSI Devoir maison 1 - Oscillateur harmonique 2021-2022 2.5 À l’aide de mesures graphiques et des données de l’énoncé, déterminer la valeur de la pulsationω0 des
oscillations, de la constante de raideurket de la vitessev0.
On refait la même manipulation pour différentes vitesses initialesv0.
2.6 La période du mouvement sera-t-elle différente pour ces nouvelles vitesses initiales ? Justifier.
2.7 Théoriquement, à quelle condition surv0, la masse vient-elle percuter la paroi en A? Vous donnerez une expression littérale puis numérique.
Pourquoi dans la réalité cela ne se passera pas ainsi même si la condition est vérifiée ?
2.8 Montrer que l’expression littérale trouvée pourx(t) à la question précédente est cohérente avec la conser- vation de l’énergie mécanique.
3/3 3 septembre 2021