ETUDE D’UNE FONCTION

(1)

V3 – Etude de fonction – Théorème des valeurs intermédiaires

ETUDE D’UNE FONCTION 1

Soit la fonction définie par :

=

2 − 4 + 6 2 + 3 1) Déterminer l’ensemble de définition de cette fonction

2) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition 3) Etudier les variations de et dresser son tableau de variation 4) Déterminer les asymptotes à

5) Démontrer que l’équation = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [5 ; 8]. A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10^-1 près par défaut 6) En déduire le signe de sur cet intervalle

7) Tracer

Correction

1) Déterminer l’ensemble de définition de cette fonction La fonction existe si 2 + 3 ≠ 0

⇔ + 3 ≠ 0

⇔ ≠ −3

= − −3

2) Etudier les limites de aux bornes de son ensembles de définition Mettre au même dénominateur

=

2 − 4 + 6

2 + 3 = + 3

2 + 3 − 4 × 2 + 3

2 + 3 + 6 2 + 3 = ² + 3 − 8 − 24 + 6

2 + 3 = ² − 5 − 18 2 + 3 Pour les limites en -∞ et en + ∞

A l’infini, la limite d'une fraction rationnelle est celle de la fonction définie par le rapport entre le terme de plus haut degré de son numérateur, et le terme de plus haut degré de son dénominateur, donc on peut écrire :

" → $%lim = lim_{" → $%} ^&

2 = lim^{" → $%} 1

2 lim^{" → $%} = − ∞

(2)

2

Pour les limites en -3

lim_"→$)² − 5 − 18 = −3^&− 5 × −3 − 18 = 6

"→$)lim

"* $)

2 + 3 = 0 +

Et lim"→$)

"+ $)2 + 3 = 0 − donc lim"→$)

"* $) = −∞

Tableau de signe de 2 + 3

-∞ -3 +∞

2 + +

+ 3 − +

2 + 3 − +

3) Etudier les variations de et dresser son tableau de variation Calcul de la dérivée ′

= -

.

avec - = ² − 5 − 18 /0 . = 2 + 3 ; on a alors -¹ = 2 − 5 /0 .′ = 2

′ = -¹. − .′- .²

¹ = 2 − 5 × 2 + 3 − 2 ^&− 5 − 18 [2 + 3]²

¹ = 2 − 5 × 2 + 6 − 2^&− 10 − 36 [2 + 3]²

¹ = 4² + 12 − 10 − 30 − 2^&+ 10 + 36 [2 + 3]²

¹ = 2² + 12 + 6 [2 + 3]² ¹ = 2 ² + 6 + 3

[2 + 3]²

Par quotient lim"→$)

"* $) = +∞

(3)

3

Etude du signe de la dérivée ′

Calcul du discriminant de l’équation : ² + 6 + 3 = 0

∆ = 5² − 46

∆ = 6^&− 4 × 1 × 3 = 36 − 12 = 24

∆ > 0 donc l¹équation admet deux racines_E et _&

_E = F−5 − √∆H

26 = −6 − √24

2 = −3 − √6 ≈ −5,4

_& =F−5 + √∆H

26 = −6 + √24

2 = −3 + √6 ≈ −0,6 Tableau de variations de

-∞ _E -3 _& +∞

2 + + + +

² + 6 + 3 + − − +

[2 + 3]² + + + +

′ + − − +

_E = −5,4 = −5,4

2 − 4 + 6

2−5,4 + 3 ≈ −8

_& = −0,6 = −0,6

2 − 4 + 6

2−0,6 + 3 ≈ −3

4) Déterminer les asymptotes à K Asymptote verticale :

On a déterminé que lim"→$)

"* $) = +∞ donc la droite d’équation = −3 est une

asymptote verticale à au point d’abscisse -3.

+∞ +∞

-∞

1

₂

(4)

4

Asymptote oblique :

Calcul de la limite de − ₂− 4 en +∞ − L

2 − 4M =

2 − 4 + 6

2 + 3 − L

2 − 4M = 6 2 + 3

lim_"→(%6 = 6

"→(%lim 2 + 3 = lim_"→(% = + ∞

La limite à l'infini d'une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

Donc la droite d’équation y =^O_&− 4 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞

5) Démontrer que l’équation R = S admet une solution unique α dans l’intervalle [5 ; 8]. A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 10^-1 près par défaut

La fonction est continue et strictement croissante sur [5;8]

5 = 5

2 − 4 + 6

25 + 3 ≈ −1,13 8 = 8

2 − 4 + 6

28 + 3 ≈ 0,27

0 ∈ [-1,13 ; 0,27], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [5;8].

Avec la calculatrice : 7,4 ≈ −0,01 7,5 ≈ 0,04

7,4 < α < 7,5 donc α ≈ 7,4

6) En déduire le signe de R sur cet intervalle 5 α 8

− +

7) Tracer K

Par quotient ^V

&"()= 0

(5)

5