experts Devoir pour le mercredi 13 janvier 2021

(1)

T

experts Devoir pour le mercredi 13 janvier 2021

Numéro : ….. Prénom et nom : ……….……….

Note : ….. / 20

I. À tout nombre complexe z on associe la matrice ^A

 

^z ^{ }^__i^z ^_zⁱ^^_^.

On note P le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}



^.

Pour tout réel k, on note E des points M de P d’affixe z tels que _k ^{det A z}

 

^^k^.

Déterminer l’ensemble E suivant les valeurs de k. _k

……….……….

II. On pose A a b a b

 

  

  où a et b sont deux nombres complexes.

1°) Démontrer que ^{det A}^^{2iIm ab}

 

^.

……….……….

2°) Démontrer l’équivalence det A0 ⇔ab».

……….……….

III. Déterminer un inverse de 17 modulo 29.

…… (une seule réponse sans justifier) Compléter l’équivalence suivante où x et y sont deux entiers relatifs.

17xy (mod. 29) ⇔x... (mod. 29)

(2)

Corrigé du devoir pour le 13-1-2021

I. À tout nombre complexe z on associe la matrice ^A

 

^z ^{ }^_i^z ^_zⁱ^^

 .

On note P le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}



^.

Pour tout réel k, on note E des points M de P d’affixe z tels que _k ^{det A z}

 

^^k^.

Déterminer l’ensemble E suivant les valeurs de k. _k

 »z ^{det A}

 

^z ^^{z z}^{   }ⁱ

 

ⁱ ^z ²^¹

Soit M un point quelconque de P d’affixe z.

ME_k ⇔ z ² 1 k ME_k ⇔ z ² k 1 On regarde le signe de k1.

On fait une discussion suivant les valeurs de k.

 Si k 1, alors k 1 0. ME_k ⇔ z  k1 ME_k ⇔ OM k1

E est le cercle de centre O et de rayon k k1.

 Si k 1, alors k 1 0. Dans ce cas, E_k .

 Si k 1^{, alors}^k ¹ ⁰.

ME_1⇔ OM0 ME_1⇔ MO E_1 est le singleton

 

^{O .}

(On peut parler de manière abusive de « cercle-point ».)

II. On pose A a b a b

 

  

  où a et b sont deux nombres complexes.

1°) Démontrer que ^{det A}^^{2iIm ab}

 

^.

det Aab ab det Aab ab

 

2i det A Im ab

On utilise la propriété : z » z z 2i Imz. 2°) Démontrer l’équivalence det A0 ⇔ab».

det A0 ⇔^2iIm

 

^ab ^⁰

det A0 ⇔^Im

 

^ab ^⁰

det A0 ⇔ab»

III. Déterminer un inverse de 17 modulo 29.

12 (une seule réponse sans justifier) Compléter l’équivalence suivante où x et y sont deux entiers relatifs.

17xy (mod. 29) ⇔x12y (mod. 29)