experts Devoir pour le mercredi 17 mars 2021

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experts Devoir pour le mercredi 17 mars 2021

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. À tout réela non nul on associe la courbe

C

_a d’équation

a2

y x

  x dans le planP muni d’un repère



^{O, ,i j }



^.

Tracer quelques courbes

C

_a sur l’écran de la calculatrice.

On peut démontrer que

C

_a est une hyperbole.

1°) Soita un réel non nul. On notef l’homothétie de centre O et de rapporta.

Soit M un point quelconque deP et M ' son image parf.

On note



^{x y;}



les coordonnées de M et



^{x' ;y'}



les coordonnées de M ' . Dans l’espace ci-dessous, donner les expressions de x' et y' en fonction dex ety.

On attend directement le résultat (c’est-à-dire les deux égalités) sans expliquer.

………

………

2°) Démontrer que

C

_a est l’image de

C

₁ ^parf.

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

II. On notef l’application définie sur par ^{f n}

 

^PGCD



^{6n224n18;3n312n29n}



pour tout entier naturel n.

Exprimer ^{f n}

 

en fonction den.

Indication : Utiliser des factorisations.

………..……….

………..……….

………..……….

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………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

………..……….

Corrigé du devoir pour le 17-3-2021

I. À tout réela non nul on associe la courbe

C

_a d’équation

a2

y x

  x dans le planP muni d’un repère



^{O, ,i j }



^.

Tracer quelques courbes

C

_a sur l’écran de la calculatrice.

On peut démontrer que

C

_a est une hyperbole.

1°) Soita un réel non nul. On notef l’homothétie de centre O et de rapporta.

Soit M un point quelconque deP et M ' son image parf.

On note



^{x y;}



les coordonnées de M et



^{x' ; 'y}



les coordonnées de M ' . Dans l’espace ci-dessous, donner les expressions de x' et y' en fonction dex ety.

On attend directement le résultat (c’est-à-dire les deux égalités) sans expliquer.

' ' x ax y ay

 

 

2°) Démontrer que

C

_a est l’image de

C

₁ ^parf.

Soit M un point quelconque deP et M ' son image parf.

On note



^{x y;}



les coordonnées de M et



^{x' ; 'y}



les coordonnées de M ' .

M

C

1Û 1 y x

 x et x0 M

C

1 Û ' ' 1

'

y x

a a x a

  et x'0

M

C

1 Û ' ' ² ' y x a

 x et x'0 M

C

1 ÛM'

C

_a

On en déduit que

C

_a est l’image de

C

₁ ^parf.

II. On notef l’application définie sur par ^{f n}

 

^PGCD



^{6n224n18;3n312n29n}



pour tout entier naturel n.

Exprimer ^{f n}

 

en fonction den.

Indication : Utiliser des factorisations.

 n ^{6n224n186}



^n24n3



^{et3n312n29n3n n}



^24n3



 n ^{f n}

 

^3



^n24n3



^PGCD

^

^2;n

^

^{carn24n3} est un entier naturel non nul.

On distingue ensuite deux cas.

1^er cas :n pair

 n  ^{f n}

 

^6



^n24n3



2^e cas :n impair

 n  ^{f n}

 

^3



^n24n3

