Chapitre 6. ´ Etude de fonctions : fonction inverse, quotient de deux fonctions.
Manuel p.92.
1. Fonction inverse
Lafonction inverse est la fonction qui, `a tout r´eel non nulassocie son inverse.
Pour x6= 0, f(x) = 1 x La fonction inverse est d´ecroissante surR∗− et sur R∗+.
Tableau de variations :
x −∞ 0 +∞
f 0
& & 0 La d´eriv´ee def(x) =1x estf0(x) = −1x2
Courbe repr´esentative :
~i
~j
2. D´ eriv´ ee du quotient de deux fonctions
Une fonction du type f = uv ouf = 1v n’existe que si son d´enominateur n’est pas nul. Il en est de mˆeme
pour sa d´eriv´ee.
La d´eriv´ee d’une fonction du typef =uv est :
f0 =u0v−uv0 v2
En particulier, la d´eriv´ee d’une fonction du typef = 1v est : f0 =−v0
v2
Exemple 6.1 Dire pour quelles valeurs dexles fonctions ci-dessous n’existent pas, et d´eterminer leur d´eriv´ee lors- qu’elle existe.
1. f(x) =2x−53
. . . . . . . . . . . . . . . .
2. f(x) =−5x+13
. . . . . . . . . . . . . . . .
3. f(x) =2x−53x+1
. . . . . . . . . . . . . . . .
4. f(x) =3x22−1
. . . . . . . . . . . . . . . .
3. Sujets de Bac
A. Centres ´ etrangers juin 2015 ex.4
Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprim´ee en tonnes, varie entre 0 et 10.
Pour l’entreprise, le coˆut correspondant
`
a la fabrication de x tonnes de bou-
teilles, exprim´e en milliers d’euros, est mod´elis´e par la fonction f d´efinie sur l’intervalle [0 10] par :
f(x) = 0,5x3−4x2+ 20x+ 72.
On a repr´esent´e ci-contre la fonction f dans un rep`ere orthogonal du plan.
Partie A
1. D´eterminer, par lecture graphique, le coˆut correspondant `a la fabrication d’une tonne de bouteilles.
. . . . . . . . 2. D´eterminer, par lecture graphique, la production de bouteilles correspondant `a un coˆut de fabrication de
130 milliers d’euros.
. . . . . . . .
Partie B
On appelle coˆut moyen la fonctionCM d´efinie sur l’intervalle ]0 ; 10] par : CM(x) = f(x)
x . 1. Calculer la d´eriv´ee de la fonctionCM, not´eeCM0 .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Montrer que pour toutxde l’intervalle ]0 ; 10], CM0 (x) peut s’´ecrire
CM0 (x) = (x−6) x2+ 2x+ 12
x2 .
. . . . . . . . . . . . . . . . 3. Justifier queCM0 (x) est du signe dex−6 pourxvariant dans l’intervalle ]0 ; 10] et en d´eduire le tableau
des variations de la fonctionCM.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. D´eterminer la production de bouteilles correspondant `a un coˆut moyen minimal.
. . . . . . . .
Partie C
L’entreprise vend ses bouteilles de verre au prix de 40 milliers d’euros la tonne.
1. On note B la fonction b´en´efice, exprim´ee en milliers d’euros. Montrer que l’expression de B(x) sur l’in- tervalle [0 ; 10] est :
B(x) =−0,5x3+ 4x2+ 20x−72.
. . . . . . . . . . . .
2. Calculer le b´en´efice associ´e `a une production de 6,5 tonnes.
. . . . . . . . 3. Que pensez-vous de l’affirmationle b´en´efice est maximal lorsque le coˆut moyen est minimal? Justifier
la r´eponse.
. . . . . . . .
B. M´ etropole juin 2016 ex.4
Une agence lance une campagne publicitaire sur une dur´ee de 15 semaines, dans une ville donn´ee, afin de
promouvoir une nouvelle marque de boissons gazeuses.
Partie A
Une ´etude montre qu’apr`esxsemaines de campagne publicitaire, le pourcentage de personnes r´esidant dans cette ville ayant pris connaissance de la marque est donn´e par l’expression
f(x) = 75x
x+ 2 o`uxest un r´eel compris entre 0 et 30.
La courbe repr´esentative def est fournie en annexe.
L’objectif fix´e `a l’agence par l’entreprise qui produit cette nouvelles marque de boissons est qu’au moins 70 % des habitants de la ville aient pris connaissance de cette marque.
1. Peut-on affirmer qu’apr`es 10 semaines de publicit´e, l’objectif fix´e est atteint ? Justifier la r´eponse.
. . . . . . . .
2. D´eterminer graphiquement le nombre de semaines n´ecessaires pour que le pourcentage d’habitants ayant
pris connaissance de la marque passe de 50 % `a 60 %. On laissera apparents les trac´es utiles.
. . . . . . . . 3. On note f0 la d´eriv´ee def. Montrer que, pour tout r´eelxde l’intervalle [0 ; 15],
f0(x) = 150
(x+ 2)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. En utilisant le signe de sa d´eriv´ee, d´eterminer les variations def sur l’intervalle [0 ; 15].
. . . . . . . . . . . . 5. Apr`es ces 15 semaines de campagne, l’agence demande un d´elai suppl´ementaire. Justifier cette demande.
. . . . . . . .
6. Combien de semaines suppl´ementaires seront n´ecessaires `a l’agence pour atteindre l’objectif fix´e par l’en- treprise ?
. . . . . . . . . . . .
Partie B
Dans cette partie, on admet que 20 % des consommateurs ayant pris connaissance de cette nouvelle marque sont prˆets `a acheter la boisson et que 96 % des personnes ignorant cette marque jusqu’ici ne l’ach`eteront pas.
Apr`es 3 semaines de publicit´e, on interroge un habitant de la ville au hasard.
On note Cet Ales ´ev`enements :
• C :l’habitant connaˆıt la marque de boisson
• A :l’habitant est prˆet `a acheter la boisson
Dans les questions suivantes, pour tout ´ev`enement E, on note p(E) la probabilit´e de E et E l’´ev`enement contraire de E.
1. En utilisant les informations de la partie A, justifier que p(C) = 0,45 puis compl´eter l’arbre donn´e ci- dessous.
. . . . . . . . . . . .
2. D´eterminer la probabilit´e qu’un habitant ait pris connaissance de cette nouvelle marque de boissons et
soit prˆet `a l’acheter.
. . . . . . . . 3. Justifier quep(A) = 0,112.
. . . . . . . . . . . .
Annexe `a rendre avec la copie
