POSITIVITÉ DES INTEGRALES

POSITIVITÉ DES INTEGRALES

Propriété : (positivité)

Si a  b et f continue et positive sur [a;b] alors I =

∫

a b

fxd x  0

Démo : f 0 donc F (primitive de f) est croissante ( car F ' = f ) donc si a  b alors F(a)  F(b) donc F(b) – F(a)  0 donc I  0.

Remarque : Si f continue et positive et a b alors I =

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a  b alors I =

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a b alors I =

∫

a b

fxd x  0

Propriété :(conservation de l’ordre)

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors

∫

a b

f(x)d x 

∫

a b

g(x)d x

Démo : f  g ⇒ f - g  0 ⇒

∫

a b

(f(x)– g(x))d x  0 ⇒

∫

a b

f(x)d x -

∫

a b

g(x)d x  0...

Interprétation graphique pour des fonctions positives :

Cela veut dire que si f  g et a b alors sur [a;b ] l'aire sous la courbe de f est inférieure à celle de g.

Faire ex : 99 – 100 p 153

CORRIGE