integrales-2

Int´ egrale de Cauchy, int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

A connaˆıtre parfaitement (on insistera surtout sur les deux derniers points, plus d´elicats) :

• d´efinitions : fonctions Riemann-int´egrables, leur int´egrale ; sommes de Riemann ;

• propri´et´es utiles :

∗si f ≤ g alorsR f ≤ R g ;

∗|R f| ≤ R |f| ;

∗si f est continue et R |f| = 0 alors f = 0 (cf. 3^◦).

∗d´eriv´ee de la fonction x 7→R_x

a f (t) dt ;

• m´ethodes de calcul :

∗primitives des fonctions classiques : sin, cos, exp, _1+x¹ 2 etc ;

∗int´egration par parties ;

∗ changement de variables (“´evidents”, trigonom´etriques (fractions et √

x²+ bx + c), etc) ;

• crit`eres de convergence d’int´egrales “g´en´eralis´ees” (d´ecoupage, fonctions de r´ef´erences x^α, comparaison dans le cas des fonctions positives) ;

• ´echange de lim etR

dans les int´egrales `a param`etre ; en particulier, d´erivation sousR et

´echange de P et R . I Calcul explicites 1^◦ Calculs de primitives

Z 1

cos xdx ³

t = tanx 2

´ ,

Z cos⁶x

sin⁴xdx (t = tan x), Z

sin²x cos²xdx (lin´eariser),

Z 1

sinh x + sinh θdx (poser t = e^x),

Z 1

x − 2 −√

x²− 2xdx (classique), Z

ln x dx (IPP).

2^◦ Int´egrales de Wallis On pose, pour n ∈ N : Wn=

Z _π/2

0

sinⁿt dt.

a) Calculer W₀ et W₁. Montrer que (W_n)_n∈N d´ecroˆıt et prend ses valeurs dans ]0, π/2].

b) Par une int´egration par parties, ´etablir une relation entre W_n et W_n−2.

c) En d´eduire une expression exacte de W_n. (On distinguera les cas n pair et n impair.) d) Montrer que la suite (nW_nW_n−1)_n∈Nest constante et la calculer. En d´eduire un ´equivalent simple de Wn quand n → ∞.

II Exercices “th´eoriques”

1^◦ D´eterminer la limite des suites suivantes lorsque n → +∞ :

n

X

k=1

sin^kπ_n n ,

n

X

k=1

√ 1

n²+ k²,

n

X

k=1

n

n²+ k², ⁿ v u u t

n

Y

k=1

(1 + k n)

2^◦ Soit f et g deux fonctions de carr´e int´egrable sur R ou sur un intervalle de R. Montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

µZ

f (x) g(x) dx

¶2

≤ µZ

f (x)² dx

¶

· µZ

g(x)² dx

¶ .

(On pourra remarquer que l’int´egrale de la fonction (f − t g)² est positive pour tout t ∈ R.)

3^◦ Soit f : [0, 1] → R continue. Montrer que si Z ₁

0 |f(t)| dt = 0 alors f = 0.

4^◦ Soit f : [0, 1] → R continue. Trouver les limites quand n → +∞ et quand n → 0 de µZ ₁

0 |f(x)|ⁿ dx

¶1/n

. (Pour la limite n → 0, on supposera que f ne s’annule jamais.)

5^◦ Soit f : [0, 1] → R continue. On suppose que l’int´egrale de x 7→ x^kf (x) est nulle pour tout 0 ≤ k ≤ n. En d´eduire que f s’annule au moins n + 1 fois. (On pourra raisonner par l’absurde, construire un polynˆome ad hoc et utiliser l’exercice 3^◦)

6^◦ Trouver les fonctions f : [0, 1] → R continues telles que Z 1

0

f (x) dx = sup

x∈[0,1]|f(x)|.

7^◦ Soit f : [0, 1] → R continue. Etudier la d´erivabilit´e de g : t 7→

Z ₁

0

inf(x, t)f (x) dx.

8^◦ Soit f : [0, 1[→ [0, 1[ l’application ´echangeant les deux premi`eres d´ecimales : si x = 0, abc . . ., alors f (x) = 0, bac . . .. Etudier la continuit´e de f . Montrer que f est int´egrable. Calculer son int´egrale.

9^◦ Soit ⌊x⌋ la partie enti`ere de x et f : ]0, 1] → R l’application d´efinie par f(x) = 1/x − ⌊1/x⌋.

Montrer que f est int´egrable et calculer son int´egrale `a l’aide de la constante d’Euler.

III Calcul approch´e d’int´egrales (cf. oral)

Soit f une fonction de classe C^d sur un intervalle compact [a, b] (d varie entre 0 et 4). Pour i = 0, . . . , d, on note µ_i = sup_x∈[a,b]|f⁽ⁱ⁾(x)|.

1^◦ Rectangles (d = 1)

On suppose f de classe C¹. Montrer que

¯

¯

¯

¯ Z b

a f (t) dt − (b − a)f(a)

¯

¯

¯

¯≤ µ₁

2 (b − a)².

(Pour x ∈ [a, b], ´ecrire le th´eor`eme des accroissements finis entre a et x et int´egrer.) 2<sup>◦</sup> Trap`ezes (d = 2)

a) Interpr´eter le nombre f (a)+f (b)

2 (b − a) comme l’aire d’un trap`eze.

b) On suppose f de classe C². Montrer que

¯

¯

¯

¯ Z _b

a f (t) dt − f (a) + f (b) 2 (b − a)

¯

¯

¯

¯≤ µ₂

12(b − a)³. (Consid´erer la fonction d´efinie par F (x) =Rx

a f (t) dt−f (a)+f (x)

2 (x−a) ou calculer, puis majorer Rb

a(t − a)(b − t)f^′′(t) dt.) 3^◦ Point-milieu (d = 2)

a) Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point d’abscisse c = (a + b)/2. Interpr´eter de deux fa¸cons diff´erentes le nombre f (c)(b − a), comme l’aire d’un rectangle et comme l’aire d’un trap`eze.

b) On suppose f de classe C². Montrer que

¯

¯

¯

¯ Z _b

a f (t) dt − fµ a + b 2

¶ (b − a)

¯

¯

¯

¯≤ µ₂

24(b − a)³.

(Avec la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2, majorer f (x) − [f(c) + (x − c)f^′(c)].)

4^◦ Simpson (d = 4)

a) (Utilit´e de l’alg`ebre lin´eaire.) Montrer assure qu’il existe un unique polynˆome P_f de degr´e

≤ 2 tel que f(a) = Pf(a), f (b) = P_f(b) et f (c) = P_f(c), o`u c = (a + b)/2.

Montrer qu’il existe un unique triplet (α, β, γ) ∈ R³ tel que pour tout polynˆome P de degr´e

≤ 2, on ait :

1 b − a

Z b a

P (t) dt = α P (a) + β P (b) + γ P (c), et le d´eterminer “sans calculs” (utiliser P (X) = X²).

En d´eduire que _b−a¹ Rb

aP_f(t) dt = ¹₆f (a) +²₃f (c) +¹₆f (b).

b) On suppose f de classe C⁴. Montrer que

¯

¯

¯

¯ Z _b

a f (t) dt −µ 1

6f (a) +2

3f (c) +1 6f (b)

¶ (b − a)

¯

¯

¯

¯≤ µ₄

2880(b − a)⁵. (Les id´ees sont les mˆemes que pour les trap`ezes :

• en prenant c pour r´ef´erence, on ´ecrit Rb

a =Rc−^b−2^a

c−^b−2^a

, “on prend u = b − a comme variable”, ce qui conduit `a ´etudier, pour u ∈ [0,^b−a2 ] :

ϕ(u) = Z _c−^u₂

c−^u2

f (t) dt − uµ 1

6f (c −u 2) +2

3f (c) + 1

6f (c +u 2)

¶

;

• calculer et majorer Z b

a (t − a)²(b − t)²f⁽⁴⁾(t) dt.) 5^◦ Globalisation

On divise l’intervalle [a, b] en n intervalles de mˆeme longueur. Appliquer les in´egalit´es pr´ec´edentes pour obtenir une majoration de l’erreur des approximations obtenues.

IV Recherche d’´equivalents 1^◦ Instructif

Soit f : [0, 1] → R continue. et uⁿ= lim

n→∞n Z 1

0

xⁿf (x)dx.

a) Montrer que lim_n→+∞u_n = f (1). (D´ecouper l’int´egrale en R_1−α

0 et R1

1−α pour α “petit”

bien choisi. Sur le premier intervalle, f (x) est born´e et xⁿ tend vers 0 tr`es vite, sur l’autre intervalle f (x) est proche de f (1).)

b) Si f est de plus d´erivable en 1, donner un ´equivalent de u_n− f(1). (Mˆeme id´ee, on fait un DL `a l’ordre 1 de f (x) au voisinage de 1.)

c) Recommencer ad libitum.

2^◦ D´eterminer lim

x→0⁺

Z _3x

x

cos t

t dt puis lim

x→1

Z _x²

x

dt

ln t, et un ´equivalent simple en +∞ de Z _x²

x

dt ln t. (Pour la premi`ere, constater que cos t est “presque constant” au voisinage de 0. Pour la deuxi`eme, montrer que la diff´erence entre 1/ ln t et son ´equivalent est tr`es petite. Pour la troisi`eme, utiliser simplement la monotonie de la fonction int´egr´ee.)

3^◦ Une ´equation int´egrale

a) Montrer que pour tout x ∈ R⁺ il existe un unique f (x) ∈ R tel que : Z f (x)

x

e^t2dt = 1.

(Etudier, x ´etant fix´e, la fonction y 7→R_y

x e^t2dt.) b) Montrer que f : R⁺→ R est de classe C^∞.

c) Montrer que f (x) est ´equivalent `a x en +∞ (constater que x ≤ f(x) et que e^x2 ≤ e^t2 sur [x, f (x)]).

d) Donner un ´equivalent de f (x) − x en +∞ (constater que e^t2 ≤ e^{f (x)2} sur [x, f (x)]).

4^◦ Trouver un ´equivalent quand n → ∞ de l’int´egrale Z π

0

xⁿ sin x dx. (2 IPP.) V Int´egrales impropres

Situation typique : on se donne −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f continue sur ]a, b[, et on veut donner un sens `a Rb

af . Pour cela, on ´etudie s´epar´ement les int´egrales Rc

a f et Rb

c f , o`u c ∈]a, b[ est quelconque.

Une erreur scandaleuse : “La fonction tend vers 0 en +∞ doncR_+∞

1 f converge.”

Deux erreurs faciles `a ´eviter mais fr´equentes : ne pas diagnostiquer qu’il y a un probl`eme en une borne (ex : +∞ est toujours un probl`eme) ; ne pas voir qu’une int´egrale n’est que faussement g´en´eralis´ee (ex : la fonction se prolonge par continuit´e en a ∈ R).

1^◦ Donner des exemples de fonctions continues f : R⁺→ R telles que :

• limt→+∞f (t) = 0 etR_+∞

0 f (t) dt diverge ;

• +∞ est valeur d’adh´erence de f(t) en +∞ et R_+∞

0 f (t) dt converge ;

• R_+∞

0 f (t) dt converge etR_+∞

0 |f(t)| dt diverge ;

2^◦ Pour quelles valeurs de α ∈ R les int´egrales suivantes convergent-elles ? Z 1

0

x^αdx, Z _∞

1

x^αdx, Z _∞

0

x^α−1 x + 1dx,

Z _∞

1

x^αe^−xdx, Z _∞

0

x^αe^−xdx, Z _∞

0

x^−2x+1x+2 dx, Z _∞

0

x^−2x+1x+2 dx.

3^◦ Convergence et valeur de l’int´egrale Z _+∞

0

x sin x e^−x dx.

4^◦ Montrer que les int´egrales suivantes convergent : Z π/2

0

log sin t dt et

Z π/2 0

log cos t dt.

En remarquant qu’elles sont ´egales, donc ´egales `a leur demi-somme, les calculer.

VI Int´egrales et d´eveloppements en s´eries enti`eres

Id´ee : faire un d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction int´egr´ee. Majorer le reste sur l’intervalle d’int´egration (il peut ˆetre indispensable de couper l’int´egrale en deux). Int´egrer et voir que l’on peut permuterP et R .

1^◦ On pose I = Z 1

0

ln(1 + t)

t dt.

a) Existence de I ?

b) Pour N ∈ N et t ∈ [0, 1], on pose uN(t) = −PN

n=1(−t)ⁿ/n. Montrer que |uN(t) − ln(1 + t)| ≤ t^{N +1}/(N + 1).

c) En d´eduire un expression de I sous forme de s´erie.

2^◦ On pose J = Z 1

0

ln(1 − t) t dt =

Z 1 0

ln(t) 1 − tdt.

a) Justifier l’existence de J et la validit´e de l’´egalit´e ci-dessus.

b) Pour N ∈ N et t ∈ [0, 1], donner l’expression exacte de rN(t) =PN

n=0tⁿ− (1 − t)⁻¹. c) Majorer R1

0 r_N(t) ln(t) dt par une suite qui tend vers 0.

d) En d´eduire un expression de J sous forme de s´erie.

3^◦ On pose f (x) = Z _+∞

0

e^−xtsin t t dt.

a) Existence de f (x) pour x ∈ R⁺.

On veut d´evelopper sin t/t pour int´egrer terme `a terme. On pose donc r_N(t) = sin t

t −

N

X

n=0

(−1)ⁿ t²ⁿ (2n + 1)!.

b) Donner une expression de r_N(t) avec la formule de Taylor-Lagrange et majorer la suite R_+∞

0 e^−xtrN(t) dt par une suite qui tend vers 0.

c) Montrer queR_+∞

0 e^−xttⁿdt = n!x⁻ⁿ⁻¹ si x > 0.

d) Calculer f (x) et montrer que f (x) = arctan(x⁻¹) si x > 1.

e) Essayer de d´eriver f sur R^+∗. (S’inspirer de VII2^◦.) VII Int´egrales `a param`etres

1^◦ Soit f : R² → R, (x, t) 7→ f(x, t) une fonction continue par rapport au couple (x, t) et qui poss`ede une d´eriv´ee partielle par rapport `a x qui est continue sur R². On consid`ere la fonction de trois variables :

F : R³ −→ R, (x, a, b) 7−→

Z _b

a

f (x, t) dt.

a) Montrer que F poss`ede des d´eriv´ees partielles par rapport `a x, a et b et les calculer.

b) Soient u et v deux fonctions d´erivables de R dans R. On pose, pour x ∈ R : g(x) = F (x, u(x), v(x)) =

Z v(x) u(x)

f (x, t) dt.

Montrer que g est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.

2^◦ Pour x ∈ R⁺, on pose h(x) = Z _+∞

0

e^−xt2

1 + t² dt et, pour n ∈ N, hn(x) = Z _n

0

e^−xt2 1 + t²dt.

a) Montrer que h(x) est bien d´efini pour tout x ≥ 0.

b) Montrer que h est continue. (On montre d’abord que la suite (h_n)_n∈N converge uni- form´ement vers h sur R⁺.)

c) Montrer que h est de classe C¹ sur R^+∗. (Montrer que la suite (h^′_n)_n∈N converge uni- form´ement sur tout intervalle de la forme [a, +∞[ pour a > 0.)

d) Essayer de montrer que h n’est pas d´erivable en 0. (Bonne chance.)

e) Montrer que h est solution d’une ´equation diff´erentielle simple sur R^+∗. R´esoudre cette

´equation. En utilisant h(0), calculer R_+∞

0 exp(−t²) dt.

3^◦ Pour x ∈ R on pose : k(x) = Z _+∞

0

e^−t2cos(2xt) dt.

a) Montrer que k est bien d´efinie, d´erivable et solution de y^′+ 2xy = 0.

b) Trouver un d´eveloppement en s´erie enti`ere de k (on calcule k(0) `a l’exercice 2^◦).

4^◦ Pour x ∈ R⁺ on pose f (x) = Z _+∞

0

dt 1 + t^x.

a) Pour quelles valeurs de x l’expression f (x) est-elle finie (i.e. l’int´egrale convergente) ? b) Montrer que f est d´erivable sur ]1, +∞[.

c) On pose D(x) = (x − 1)f(x) − 1 pour x > 1. Montrer que D(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 1⁺. (On pourra remarquer que 1 = (x − 1)R_+∞

1 t^−xdt et traiter s´epar´ement les intervalles [0, 1] et [1, +∞[). En d´eduire un ´equivalent de f(x) au voisinage de 1⁺.

S´ eries enti` eres

Prˆeter une attention particuli`ere `a : I, II 4^◦, 5^◦, 6^◦, IV 1^◦ et (2^◦ ou 3^◦).

I Rayon de convergence

1^◦ Est-ce queP ch(n)z³ⁿ est une s´erie enti`ere ? Quel est son rayon de convergence ? 2^◦ Quel est le rayon de convergence de la s´erieP a_nzⁿ si

a) an est le n-`eme chiffre de l’´ecriture d´ecimale de√ 2/2 ; b) an est le nombre de chiffres de l’´ecriture d´ecimale de n ; c) a_n= (−1)ⁿch n

sh²n ; d) a_n=

Z ₁

0

tⁿe^−tdt ;

e) a_n= arctan n^α, o`u α ∈ R ; f ) a_n=

n

Y

k=2

(2 − 2^1/k) ?

On ´etudiera la convergence aux bords du domaine.

3^◦ On donne une suite de complexes (a_n)_n∈N. Montrer que les s´eries enti`eres P a_nzⁿ et

P _n

n²+n−2a_nzⁿ ont le mˆeme rayon de convergence.

II D´eveloppement en s´erie enti`ere et applications

1^◦ Montrer que la fonction f : R 7→ R d´efinie par f(t) = e^−1/t2 si t 6= 0 et f(0) = 0 n’est pas d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0.

2^◦ Pr´eciser pour quels z ∈ C, la s´erie de f(z) =P_+∞

n=1ne^−nz converge. Calculer sa somme.

3^◦ Donner le domaine D de convergence de f (x) =P

n≥1(2n²+ n)⁻¹xⁿ. Calculer la somme f (x) pour x ∈ D ∩ R⁻.

4^◦ D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de arctan1 − x²

1 + x². (Pr´eciser le rayon.) 5^◦ En ´ecrivant ln(1 − t) = −P_+∞

n=1tⁿ/n, et en consid´erant les int´egrales sur [0, 1 − α] et sur [α, 1]

pour α ∈]0, 1[ bien choisi, justifier l’int´egration terme `a terme et exprimerR1

0 ln(t) ln(1 − t) dt sous la forme d’une s´erie.

6^◦ Mˆeme esprit que le pr´ec´edent, mais on coupe la s´erie au lieu de l’int´egrale.

a) V´erifier que Z _+∞

0

e^−xttⁿdt = n!

xⁿ⁺¹. b) Montrer que pour x > 1, on a : lim

n→+∞

Z _+∞

0

à _+∞

X

k=n+1

e^−xt(−1)ⁿ t²ⁿ (2n + 1)!

!

dt = 0.

(Indication : ∀t ∈ R, ∃θ ∈]0, 1[, X+∞

k=n+1

(−1)^k t^2k

(2k + 1)! = t²ⁿ⁺¹

(2n + 1)!sin⁽²ⁿ⁺¹⁾(θt) –pourquoi ?) c) En d´eduire que pour x > 1, on a :

Z _+∞

0

e^−xtsin t

t dt = arctan1 x. III Divers (pas tant que ¸ca en fait)

1^◦ Soit (u_n)_n∈N une suite complexe qui admet une limite finie ℓ.

a) Montrer que le rayon de convergence de la s´erie P u_ntⁿ/n! est infini. On note h(t) la somme de cette s´erie.

b) Montrer que h(t)e^−t tend vers ℓ lorsque t tend vers +∞ (dans R).

2^◦ Supposons queP an converge, soit S =P_+∞

n=0a_n et c_n=Pn k=0a_n.

a) Avec 1^◦, montrer que les s´eries suivantes ont un rayon de convergence infini :

f (t) =

+∞

X

n=0

a_ntⁿ

n! et g(t) =

+∞

X

n=0

c_ntⁿ n! . b) Montrer que f^′(t) = g^′(t) −g(t), puis queR_t

0 f (u)e^−udu = (g(t) −f(t))e^−tpour tout t ∈ R.

c) En d´eduire queR_+∞

0 f (u)e^−udu = S.

IV D´enombrements et s´eries g´en´eratrices

1^◦ Quelques pavages. On note a_n le nombre de fa¸cons de paver un rectangle 2 × n avec des dominos 1 × 2 et des carr´es 2 × 2. Par convention, a0= 1.

a) Calculer a₁, a₂, a₃.

b) Montrer que l’on a pour tout n ∈ N : an+2 = a_n+1+ 2a_n. c) On pose f (x) =P_+∞

n=0a_nxⁿ. Montrer que le rayon de convergence de cette s´erie n’est pas nul.

d) D´eduire de b) une ´equation alg´ebrique que satisfait f .

e) En d´eduire une expression exacte de a_n, puis un ´equivalent simple.

2^◦ Involutions. Une involution est une permutation dont le carr´e est l’identit´e. Pour n ∈ N, on note c_n le nombre d’involutions dans le groupe sym´etrique sur n lettres, avec par convention c₀= 1.

a) V´erifier que dans la d´ecomposition en cycles d’une involution, on ne trouve que des cycles de longueur 1 (points fixes) et 2.

b) Montrer que cn+1 = cn+ nc_n−1. (Pour toute involution s de {1, . . . , n + 1}, l’´el´ement n + 1 est fixe ou est dans un cycle de longueur 2. Dans le premier cas, s est caract´eris´ee par sa restriction `a {1, . . . , n} ; sinon, il y a n fa¸cons pour choisir son image et s est caract´eris´ee par cette image et sa restriction `a {1, . . . , n − 1}.)

c) On pose, pour n ∈ N : an = c_n/n!. Montrer que la s´erie enti`ere P anx<sup>n</sup> a un rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a 1 (V´erifier et utiliser : a_n≤ 1).

On note f la somme de cette s´erie.

d) Montrer que f est solution de l’´equation : y^′ = (1 + x)y. En d´eduire la valeur de f (x).

NB: On peut montrer que : c_n∼ e^−1/4

√2 n^n/2e^−n/2+√n. Bah.

3^◦ D´erangements. Un d´erangement est une permutation sans point fixe, c’est-`a-dire dont la d´ecomposition en cycles disjoints ne comporte que des cycles de longueur ≥ 2. On note dn le nombre de d´erangements dans le groupe sym´etrique sur n lettres.

a) Montrer que pour tout n on a : d_n+1= n(d_n+ d_n−1). (Consid´erer la d´ecomposition d’un d´erangement t en cycles : si n + 1 apparaˆıt dans un cycle de longueur 2, on a n fa¸cons de choisir son image et d_n−1 fa¸cons de d´eranger les n − 1 autres lettres ; sinon, on a n fa¸cons de choisir son image et on obtient un d´erangement de n lettres en effa¸cant n + 1.)

b) On pose b_n= d_n/n!. Minorer le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP b_nxⁿet montrer que sa somme g(x) est solution de : (1 − x)y^′− xy = 0. En d´eduire une expression simple de g(x).