Universit´e Claude Bernard–Lyon I
CAPES de Math´ematiques : Arithm´etique Ann´ee 2006–2007
D´ enombrements
I Quelques calculs : permuter les P 1◦ On fixe n ∈ N, n ≥ 1. Calculer
n−1
X
i=0 n−i
X
j=1
1 i + j et
n
X
k=0
k · k!.
2◦ Soit E un ensemble fini. Calculer X
X⊂E
|X|, X
X,Y⊂E
|X ∩ Y |, X
X,Y⊂E
|X ∪ Y |.
Indication : Ecrire |X| =P
x∈Eδx∈X, o`u δx∈X vaut 1 si x ∈ X et 0 sinon.
3◦ Pour n ∈ N, n ≥ 1, on note D(n) le nombre de diviseur de n.
a) Montrer que
n
X
k=1
D(k) =
n
X
d=1
jn d k
, o`u b·c est la partie enti`ere.
b) En d´eduire que Pn
k=1D(k) est ´equivalent `a n ln n lorsque n tend vers l’infini.
c) En passant, montrer que si m et n sont premiers entre eux, D(mn) = D(m)D(n).
II Quelques formules avec des coefficients binomiaux
Rappelons que le coefficient binomial se note nk et pasCkn, et vaut 0 si l’on n’a pas 0 ≤ k ≤ n.
Pour chaque identit´e, on tˆachera de donner une preuve “alg´ebrique” et une preuve “bijective”.
1◦ Les relations ´evidentes –et `a connaˆıtre !
n k
=
n n − k
, n
k
=n − 1 k
+n − 1 k − 1
,
n
X
k=0
n k
= 2n. 2◦ D’autres relations
n
X
k=0
n k
2
=2n n
, p
k
n p
=n k
n − k p − k
,
p
X
k=0
n k
n − k p − k
= 2pn p
.
n
X
j=0
j k
=n + 1 k + 1
,
k
X
j=0
n + j j
=n + k + 1 k
, 1 +
k−1
X
j=0 n−k−1
X
i=0
i + j j
=n k
.
X
k∈Z
r m + k
s n − k
= r + s m + n
(formule dite de Vandermonde).
III Nombres de Catalan 1◦ Parenth´esages
On note pn le nombre de fa¸cons de parenth´eser de n lettres. (Par convention, p0= 0 et p1= 1.) Voici sur deux exemples ce qu’on entend par “parenth´esage de 4 lettres” :
(• •) (• •) ,
(• •) •
•
a) Calculer pn pour n = 2, 3, 4, 5 et d´emontrer que pn≤ 4n−1 pour tout n.
Indication : On ´ecrit 2(n − 1) parenth`eses, chacune s’ouvrant ou se fermant.
b) D´emontrer que
∀n ≥ 1, pn= X
k+`=n
pkp`.
c) Pour tout n ∈ N, on pose : pn= cn−1. Ecrire la relation de r´ecurrence correspondante.
2◦ La s´erie g´en´eratrice a) On pose f (t) =P
n≥0cntn. Montrer que cette s´erie a un rayon de convergence non nul.
1
b) Montrer que l’on a, pour t dans le domaine de convergence : t f (t)2− f (t) + 1 = 0.
c) En d´eduire une expression de f (t), puis la valeur de cn. 3◦ Triangulations
Soit n ∈ N, n ≥ 3. On note tn le nombre de triangulations d’un poygone r´egulier `a n cˆot´es. Par exemple, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 5 :
a) Calculer t6.
b) Exprimer tn en fonction des tk, k ≤ n − 1. On devrait obtenir la mˆeme relation que pour les cn, avec indices d´ecal´es.
IV D´erangements
Un d´erangement est une permutation sans point fixe, c’est-`a-dire dont la d´ecomposition en cycles disjoints ne comporte que des cycles de longueur ≥ 2. Pour n ∈ N∗, on note dn le nombre de d´erangements dans le groupe sym´etrique sur n lettres. Par convention, d0 = 1.
1◦ Premi`ere approche : r´ecurrence et ´equation diff´erentielle
a) Montrer que pour tout n on a : dn+1 = n(dn+ dn−1). (Consid´erer la d´ecomposition d’un d´erangement t en cycles : si n + 1 apparaˆıt dans un cycle de longueur 2, on a n fa¸cons de choisir son image et dn−1 fa¸cons de d´eranger les n − 1 autres lettres ; sinon, on a n fa¸cons de choisir son image et on obtient un d´erangement de n lettres en effa¸cant n + 1.)
b) On pose bn= dn/n!. Minorer le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP bnxn et montrer que sa somme g(x) est solution de : (1 − x)y0− xy = 0.
c) En d´eduire une expression simple de g(x), puis que
(§) ∀n ∈ N, dn= n!
n
X
k=0
(−1)k k! .
d) Puisqu’on en est l`a, v´erifier que dn= ndn−1+ (−1)n, et trouver limn→+∞dn/n!.
2◦ Deuxi`eme approche : par partition
On partitionne le groupe sym´etrique selon le nombre de points fixes de ses ´el´ements : pour k ∈ {0, . . . , n}, si Ck est l’ensemble des permutations ayant k points fixes, la famille (Ck)k=1,...,n est une partition.
a) V´erifier que pour tout k, on a : card Ck= nkdn−k. b) En d´eduire que (1 − x)−1= exg(x). Retrouver ainsi (§).
3◦ Troisi`eme approche : par inclusion-exclusion
a) Principe d’inclusion-exclusion ou formule du crible
Soit E un ensemble et (Ai)i=1,...,n une famille de parties. Prouver par r´ecurrence sur n :
card
n
[
i=1
Ai =
n
X
k=1
(−1)k−1 X
{i1<···<ik}⊂{1,··· ,n}
card
k
\
`=1
Ai`
=
n
X
i=1
card Ai− X
i1<i2
card(Ai1 ∩ Ai2) + · · · + (−1)n−1card(A1∩ · · · ∩ An).
b) Application aux d´erangements
Pour i ∈ {1, . . . , n}, on note Bi l’ensemble des permutations qui ne fixent pas i et Ai son compl´ementaire. Avec le principe d’inclusion-exclusion, d´emontrer directement (§).
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