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HAPITRE3 - D
ÉTERMINANTSJulie Scholler - Bureau B246
novembre 2019
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Objectif
Déterminer un nombre facilement calculable qui détermine si une matrice carrée est inversible ou non.
I. Définitions
Déterminant
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Déterminant de A
le scalaire, noté det(A), défini par « descente » de la façon suivante : 1. si n = 1, alors A = (a11) et det(A) = a11;
2. si n > 2, alors A = (aij)1
6i,j6n et
det(A) = a11m11 − a21m21 + a31m31 − · · ·+ (−1)n+1an1mn1
=
n
X
i=1
(−1)i+ja1jm1j
où mij est le déterminant de la matrice de Mn−1(R) obtenue en enlevant à A la ie ligne et la je colonne.
I. Définitions
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Mineur i,j de A
le déterminant, noté mij, de la matrice obtenue en supprimant à A la ie ligne et la je colonne
Exemple
A =
1 2 3 0 2 1 3 0 2
et on a m13 =
0 2 3 0
II. Propriétés
Premières propriétés
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Déterminant de la transposé
det(A) = detA>
Conséquence
det(A) = a11m11 −a21m21 +a31m31 − · · · + (−1)n+1an1mn1
= a11m11 −a12m12 +a13m13 − · · · + (−1)n+1a1nm1n
Déterminant d’une matrice triangulaire
Si A est triangulaire, on a det(A) = a11 ×a22 × · · · ×ann Conséquence
Pour tout entier naturel n non nul, det(In) = 1
II. Propriétés
Impact des opérations élémentaires sur le déterminant d’une matrice
Opération élémentaire Action sur le déterminant Li ←→ Lj (i 6= j) multiplié par −1
Li ←− λLi multiplié par λ Li ←− Li + λLj avec i 6= j inchangé
Conséquences
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
• Si A possède une ligne de zéro, alors det(A) = 0.
• Pour tout scalaire λ, on a det(λA) = λndet(A).
• Si A possède deux lignes identiques, alors det(A) = 0.
II. Propriétés
Développement selon la je colonne Pour tout j = 1, . . . ,n, on a
det(A) =
a11 a1n
an1 ann
=
n
X
i=1
(−1)i+jaijmij
Développement selon la ie ligne Pour tout i = 1, . . . ,n, on a
det(A) =
a11 a1n
an1 ann
=
n
X
j=1
(−1)i+jaijmij
II. Propriétés
Exemple
Calculer les déterminants des matrices suivantes
2 2 2 1 2 3 3 2 2
,
12 22 −2
−7 −13 1
−4 −8 2
,
1 1 1 1
2 3 4 5
1 2 3 4
−1 0 2 1
III. Déterminant et inversibilité
Retour à l’inversibilité
Soient A et B dans Mn(R).
Déterminant d’un produit
det (AB) = det(A) ×det(B)
Condition nécessaire d’inversibilité
Si A est inversible, alors on a det(A) 6= 0 et detA−1 = 1 det(A). Conditions nécessaires et suffisantes d’inversibilité
La matrice A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
III. Déterminant et inversibilité
Exemple
Soit A =
12 22 −2
−7 −13 1
−4 −8 2
.
Déterminer les valeurs de λ telles que la matrice A− λI3 soit inversible.
