Nombre des éléments nécessaires pour déterminer l'effet extérieur d'un système optique

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Submitted on 1 Jan 1878

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Nombre des éléments nécessaires pour déterminer l’effet extérieur d’un système optique

E. Bouty

To cite this version:

E. Bouty. Nombre des éléments nécessaires pour déterminer l’effet extérieur d’un système optique. J.

Phys. Theor. Appl., 1878, 7 (1), pp.331-340. �10.1051/jphystap:018780070033101�. �jpa-00237443�

33I

trémité ^B

porte

^un bouchon n1uni d’un tube en verre,

qui

^commu-

nique,

^au moyen d’un tube ^en caoutchouc d’une certaine

longueur,

avec une

capsule nlanon1élrique

^{de M.}

1BIarey.

^Tout

près

^{de l’ex-}

trémité

A,

^{le tube en fer-blanc est}

percé

^{d’une ouverture}

qui,

^au

moyen d’un second tube de caoutchouc de

longueur égale

^{à celle}

du

premier, communique

^{avec une autre}

capsule

de 31. Marev. Ces

capsules

^sont

disposées

^{devant un}

cylindre ^noirci,

^{de manière}

que les extrémités de leurs leviers

appuient

^{sur une même}

gé-

nératrice. A côté

enfin,

^{on installe un}

diapason

^{donnant cent ;ibra-}

tions par seconde. Ce

diapason

^{inscrit ses} vibrations à côté des

capsules l11.anon1étriques. L’expérience

^{étant ainsi}

disposée ,

^on

produit

^un

léger

^{choc à la main ou autrement sur} la membrane

A,

tandis

qu’un

^{aide fait tourner le}

cylindre.

^Les

capsules enregistrent

le

point

^de

départ

^{et le}

point d’arrivée,

tandis que le

diapason

donne le

temps.

^On

peut

^{ainsi constater} que, ^entre le

point

^{de dé-}

part

^{et le}

point d’arrivée,

^{et sans} avoir besoin de faire des mesures

bien

précises,

^{il se trouve} trois vibrations de

diapason,

c’est-à-dire

qu’il

s’est écoulé un

temps égal à 3 100

de seconde. On en conclut pour la vitesse du ^son

333m,3

par seconde. Au moyen de deux tubes ^en fer-blanc

placés

l’un au-dessus de

l’autre,

^on

_peut,

^dans

une même

expérience,

^montrer la différence des vitesses du son

dans l’air et dans

l’hydrogène.

^Cette différence se voit très-nette- ment, bien que, ^{à cause} de la diffusion à travers la membrane ^en

caoutchouc,

^{on ne}

puisse

arriver facilement à

remplir compléte-

ment le tube

d’hydrogène parfaitement

pur.

En

résumé,

^cette

méthode, qui

^{n’est autre chose}

qu’une appli-

cation des

procédés

^{de M.}

3Iarey,

^{m’a semblé} bonne pour donner

aux élèves ^une idée nette de la mesure de la vitesse du son et de

sa valeur.

NOMBRE DES ÉLÉMENTS NÉCESSAIRES

POUR DÉTERMINER L’EFFET EXTÉRIEUR D’UN SYSTÈME

OPTIQUE ;

PAR M. E. BOUTY.

i . On ^a l’habitude de définir ^un

système optique

^{en donnant la}

position

^{de ses}

plans principaux

^{et de ses}

plans ^focaux,

parce que

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018780070033101

332

la construction

géométrique

^des

images,

^{au moyen de ces}

données,

est

particulièrement

^commode.

Toutefois,

^{la recherche}

expéri-

mentale directe des

plans principaux

n’est pas

pratique,

^{et les}

éléments que l’on ^mesure par le fait ^{sont ou} bien les distances

entre des

plans conjugués

convenablement choisis et les faces ^an- térieure et

postérieure

^du

système,

^ou bien les valeurs

numériques

du

grossissement ^linéaire,

^{pour des}

positions

déterminées de l’ob-

jet

^{et de}

l’image.

^Il

peut

d’ailleurs arriver que, dans des ^cas par-

ticuliers,

^on connaisse a

priori

^d’autres

^éléments,

^{comme l’indice}

relatif des milieux

extrêmes,

^{etc. Nous nous}

préoccuperons

^de

fixer le nombre des

éléments, quels qu’ils ^soient,

nécessaires pour déterminer l’effet extérieur d’un

système optique.

2. Nous supposerons les diverses

quantités comptées positive,-

nient toutes dans une même

direction,

que l’on choisira arbitrai-

rement sur l’axe du

système.

^Nous

désignerons

par

f,f’

^{les dis=}

tances focales

principales,

par p ^et

p’

^les distances des

foyers conjugués,

^{ces distances étant}

comptées

^à

partir

^des

plans princi-

paux

A, A’,

^{et dans la} direction choisie.

L’équation

^des

foyers conjugués

^{est alors}

la distance focale

f

^se

rapporte

^aux rayons

parallèles

^{dans le mi-}

lieu

M’;

^la

distance f’

^aux rayons

parallèles

^{dans le milieu M.}

En

désignant

par ^{n et} n’ les indices de M et de

M’,

^{on a en}

gé-

néral

et, ^{comme n et} n’ sont des

quantités

essentiellement

positives,f et . f’

^sont nécessairement de

signe

contraire.

Quand

les milieux M et

1VI’ ont même

indice,

^ce

qui

^{est le cas le}

plus ^usuel,

^{on a}

simple-

ment

Le

rapport i o

^des dimensions linéaires de

l’image, supposée

^dans

le milieu

M’,

^à

l’objet supposé

^{dans le milieu}

^M,

^est

333

Nous

rappellerons

que les

plans principaux

^{A et A’ sont}

conju- guées,

^et que le

rapport i o correspondant

^est

égal

^{à l,}

puisque

^la

propriété caractéristique

^{de ces}

plans

^est

qu’un

rayon incident

quelconque

^et le rayon

émergent correspondant

rencontrent A et

A’ à la même distance de

l’axe,

^{et du même côté.}

Il existe enfin deux

points ^{O, O’,} appelés points nodaux, conju- gués

^{l’un de}

^l’autre,

^{et tels}

qu’à

^tout rayon incident passant par 0

corresponde

^un rayon

émergent parallèle passant

par 0’. Ces

points

sont caractérisés par la relation

p = p 0 ^=f+f’, ou 0 =2013f f’.

Quand

^les milieux extrêmes sont

identiques,

c’est-à-dire pour

f = 2013f’,

^on a p

= p’ = o, i o

⁼ 1, ^{e t} les

points

^{nodaux se trouvent}

à l’intersection des

plans principaux

^{avec l’axe .}

3.

Quand

^{on se donne les}

plans principaux,

^les

équations (i) est (2)

^ne renferment que deux inconnues

J’et f’’.

^On

peut

^les déterminer _{par deux}

équations

^de condition : par

exemple,

^{en se}

donnant ^un

système

de valeurs

de p

^{et de}

p’ (c’est-à-dire

^deux

plans conjugués),

^{et la valeur}

correspondante g de i o,

^{on a}

La détermination

géométrique

^des

foyers,

^la construction du Fig.I.

rayon réfrac té

correspondant

^{à un rayon incident}

^donné,

^{et, par}

suite,

la détermination des

images

s’effectuent dans ce cas d’une ^ma- nière

très-simple.

^{Soient A et A’}

(fig, I)

^les

plans principaux,

^{B et B’}

les

plans conjugués ^donnés,

^{0 un}

point

^{de l’axe}

qui

divise la dis-

334

tance BB’ en

parties proportionnelles à g

^{et à 1,} extérieurement

si g

^est

positif,

intérieurement s’il est

négatif.

Soi t enfin CN ^un rayon incident

quelconque

rencontrant en K le

plan ^{B ;}

le rayon réfracté passe par le

point

^{K’ de rencontre du}

plan

^{B’ avec KO et}

par le

point

^{N’ du}

plan

A’ déterminé par la

parallèle

^{NN’ à l’axe.}

Le rayon réfracté est donc

N’K’,

^{et le}

point

^{C’ est}

conjugué

^du

point

^C.

Au lieu de donner le

grossissement

^{dans un}

couple

^de

plans conjugués

il revient ^au même de

donner,

^{outre les}

plans princi-

paux, ^deux

couples

^{de valeurs}

de p

^{et de}

y,

^soit

p1,p’1,

P2,

p’2·

En

appliquant

la formule

(1),

^{on trouve}

Géométriquement

^{on mènera} par l’un des

points conjugués

^C

un rayon

quelconque CN, qui

^{donnera comme rayon}

émergent

N’C’. Le

rapport

K’B’ KB

fixe alors le

grossissement

^{dans le}

couple

^de

conjugués

^{BB’ et} détermime le

point ^{O ;}

^{on se trouve ramené au}

cas

précédent.

On construit d’ailleurs directement

(sans

^{se servir}

du

point 0) l’iniage

^d’un

point

^{E hors de}

^l’axe,

^au moyen des rayons EC et

EB,

^{comme le montre la}

figure.

Un

plan

^focal

ayant

^son

conjugué

^{à l’infini}

peut remplacer

^un

couple

^de

plans conjugués. ^Enfin, quand

^le

rapport n’ n

_{des indices}

extrêmes est connu, il suffit de

connaître,

^{outre les}

plans princi-

paux, ^un

couple

^de

conjugués,

^{ou un}

plan ^focal, puisqu’on

^a

entre

f

^et

f’

^{la relation}

nf = - n’f’.

Ainsi,

d’une manière

générale,

^on

peut

^définir l’effet extérieur d’un

système optique

par trois

conditions, quand

^{l’une de celles-ci}

est la

position

^des

plans principaux.

Nous

réservons,

_pour l’examiner

ultérieurement,

^{le cas}

où,

^les dénominateurs des formules

(3)

^ou

(4)

^étant

^nuls,

^les

foyers

^se

trouvent

rejetés

^{à l’infini.}

4. Pour ^nous affranchir de

l’usage

^des

plans principaux,

^chan-

335 geons les

origines

^à

partir desquelles

^sont

comptées

^les

distances,

et posons

l’équation (I)

^devient

On

peut

^{choisir a et}

a’,

tels que ^cette nouvelle

équation

^{soit de}

la forme

il suffit pour cela que a et a’ satisfassent à la relation

c’est-à-dire que les nouvelles

origines

soient des

foyers conjugués

du système. On ^trouve

et l’on vérifie aisément la relation

qui

^{nous sera} utile par la suite.

La formule

(2)

^du

grossissement ^devient, grâce

^{à la méme sub-}

stitution,

La dernière forme est en

général

^la

plus ^{commode ;}

mais il faut avoir recours à la

première

pour déterminer le

grossissement

^dans

les

plans origines,

^pour

lesquels

^{on a}

On a alors

Pour déterminer F et F’ ^au moyen de

l’équation (6),

^{il suffit de}

336

deux

systèmes

de valeurs de P et de

P’,

c’est-à-dire

qu’il

^{suffit de}

connaître ^en tout trois

couples

^de

plans conjugués,

^{dont un sera}

pris

pour fixer les

origines.

^Mais

l’équation (I0)

^du

grossissement

renferme ^{encore un}

paramètre

^inconnu

a’ a, _qui

^{doit être déter-}

miné par ^une condition

supplémentaire , laquelle

^ne

peut

^être

qu’une

^valeur

particulière

^du

grossissement.

^{Il faut}

^donc,

^{en tout,}

quatre

conditions pour déterminer le

système,

^et l’une d’elles doit être une condition

angulaire.

On remarquera que,

quand

^on donnait les

plans principaux,

pour

lesquels

^le

grossissement

^est

égal

^{à i , on donnait}

implicite-

ment la condition

angulaire,

^{dont la nécessité} vient d’être re- connue. Les

plans principaux

fournissent donc une condition double.

Étant

données les distances

P1, P’1, P2, P’2

^{de deux}

couples conjugués

^{à un troisième et la}

valeur

^du

grossissement,

^dans

le

couple origine,

^{on trouve}

On construira

géométriquement

^les

images

^{de la manière suivante.}

Soient

A, Au B, B’, C,

^C’

(fig. ²⁾

^{les trois}

^systèmes

^de

^plans

^con-

jugués,

^{0 le centre} de similitude des

images

^{dans les}

plans A,

^A’.

Étant

donné ^un

point

E extérieur à

l’axe,

^{on mène les deux}

rayons

EB, EC, qui

rencontrent le

plan

^{A en L et}

^N,

^et

émergent

suivant L’B’ et N’C’.

Pour avoir les

plans ^focaux,

^{il suffit de mener} deux rayons inci- dents

parallèles,

soit par G’ et B’ ou bien par B ^et

C,

^{et de con-}

struire les rayons réfractés

correspondants.

Leur intersection dé- termine alors les

plans

^focaux.

Il est à remarquer que les deux

systèmes

de rayons

EB, B‘E‘,

EC,

^E’C’

déterminent,

_par leurs intersections avec les

plans ^BB’,

337

CC’,

^les

grossissements C’K’ CK, d’B’ dB correspondant

^{à ces}

plans.

^Ré-

ciproquement, quand

^{on connaît deux}

couples

^de

conjugués

^{et les}

grossissements qui s’y rapportent

^on

peut

construire le rayon réfracté

correspondant

^{à un} rayon incident

quelconque.

^{Enfin deux}

Fig. ^2.

rayons

incidents,

^avec les rayons réfractés

correspondants,

^suffi-

sent pour déterminer le

système optique,

^car leurs intersections

avec l’axe déterminent deux

systèmes

^de

conjugués ^{B, B’, C, C‘,}

^dans

les

grossissements correspondants.

5. Revenons ^au cas

où,

^les dénominateurs des formules

(3), (4)

et

(II)

^étant

^nuls,

^les

foyers

^{se trouvent}

rejetés

^à

^l’infini,

^{et bor-}

nons-nous à considérer

l’équation ( II), qui

^{est la}

plus générale.

^On

a, dans ^ce _cas,

et

réciprocluement, quand

^{cette relation se trouve}

vérifiée,

^les

foyers

^{sont à}

l’infini.

La forme la

plus générale

^de

l’équation

^des

foyers conjugués, quand

^on

prend

^des

origines quelconques,

^est

Quand

^on

prend

pour

origines

^deux

foyers conjugués,

^{le terme}

338

constant

disparaît.

Nous supposerons que ^ces

foyers

^{sont situés à}

une distance finie l’un de

l’autre,

^et que l’on donne deux ^autres

systèmes

^de

foyers conj ugués

dont les distances

Pt, P’1, ^P2, P’2

aux

plans origines

^vérifient

l’équation (12).

^{On a entre ces} quan- tités les relations

On en tire

et, ^{comme on} suppose

P’i

^et

IP2 distincts,

M.:-::.:: o. Donc

enfin l’équa-

tion des

foyers conjugués

^{se réduit à la forme}

Supposons

^{donné le}

grossissement g

^{dans les}

plans origines A, A’,

^{et soient}

B, B’, C,

^{(C’ des}

conjugués quelconques.

^{Menons le}

rayon incident BD

(fig. 3)etle rayon émergent

^D’B’

correspondant.

Fig. ^3.

On _a,

d’après l’équation (I3),

^des

foyers conjugués

D’autre

part,

^les

triangles

semblables

D’A’B’, G’B’E, DAB,

^CBE

donnent

mais, d’après (I4),

^{on a donc enfin}

339 Or C’E’

C’E’

^{est le}

grossissement

^{dans le}

couple quelconque

^{de con-}

jugués ^{C, C’;}

^le

grossissement

^{est donc invariable}

Le

système optique

^est

complétement ^défini,

^{comme dans le cas}

précédent,

^{par trois}

couples

^de

plans conjugués

^{et un}

grossisse-

ment.

Quand

^on sait que les

plans

^focaux

principaux

^{sont à l’in-}

fini,

^cela

équivaut

^{à une}

condition,

^et il suffit alors de connaître deux

couples

^de

conjugués

^{et un}

grossissement.

Les formules

( II)

établissent que,

quand

^les

foyers

^{sont à l’in-}

fini,

^les

plans principaux

^{sont aussi à}

^l’infini,

^à moins que l’on

n’ai t br =--

^{i ,}

auquel

^{eas cc et a’ sont} indéterminés. Deux

conjugués quelconques peuvent

^être considérés comme les

plans principaux.

6.

Quand

^{on donne le}

rapport

des indices des milieux

extrêmes,

cette condition

équivaut

^{à une condition}

angulaire,

^{et détermine}

complétement

^un

système

pour

lequel

^{on connaît trois}

couples

^de

conjugués.

^On

peut

^en

effet,

^en _prenant ^{un de ces}

couples

^comme

origine,

déterminer F et F’. D’ailleurs ^{on a ’}

pour déterminer

f’

^et

f’;

et, par

suite,

^{trouver les}

plans princi-

paux, pour

lesquels

^le

grossissement

^{est connue} il suffit de

porter

les

distances f

^et

f’’

^en arrière des

foyers.

Une méthode de ce

genre ^a été

employée expérimentalement

^{par M. Cornu.}

Les

points

^{nodaux étant}

conjugués,

^et

jouissant

^d’une

propriété angulaire caractéristique, équivalents

^à deux conditions et

peuvent

être associés à la connaissance de deux

couples

^de

plans conju- gués ;

^on détermine immédiatement le

grossissement,

^{en menant}

par les

points

nodaux deux droites

parallèles quelconques,

^{et l’on}

se trouve ramené au cas

précédent.

^{Toutefois on ne} peut

rempla-

cer ces deux

couples

^de

conjugués

par ^un seul avec le

grossisse-

ment

correspondant;

^{car, un tel}

couple

^étant

^donné,

il suffit de connaître l’un des

points

^nodaux pour déterminer l’autre ^à l’aide de deux droites

parallèles.

^{Ainsi les}

plans principaux

^{et les}

plans

nodaux, qui séparément représentent quatre conditions,

^{n’en re-}

340

présentent plus

^{que trois}

quand

^{ils sont}

^réunis,

^{et ne} suffisent pas à déterminer ^un

système optique.

Si l’on y

adjoint

^{la valeur du}

rapport n’ n,

^le

système

^{est, en}

général, déterminé ;

car, ^en

désignant

par p la distance d’un

point

nodal au

point principal correspondant,

^{on a}

et, de

plus,

Toutefois,

^{si 71 -}

n’,

^{on a}

nécessairement p

^{= o, et} alors de deux choses l’une : ou le

système

^est

indéterminé,

^{si en effet on a}

donné p=

^{o ; ou il est}

incompatible,

^{si l’on a donné}

p c

^o.

On

voit,

_par ^ces

exemples,

combien il est

important

^{de s’assu-}

rer, dans

chaque

^cas, que les

quatre

conditions données contien-

nent au moins une condition

angulaire,

^et que deux conditions

ne se réduisent _pas entre

elles,

^sans

quoi

^le

système

^{serait incom-}

patible

^ou indéterminé.

RECHERCHES SUR LA RÉALISATION DES SYSTÈMES LAMINAIRES DE PLATEAU;

PAR M. A. TERQUEM.

Tous les

physiciens

connaissent les

remarquables

^{travaux de}

M. Plateau de

Gand,

^sur

l’équilibre

^des

liquides

^dénués de pesan-

teur. Avec une

sagacité extraordinaire,

^ce

physicien

^{a réalisé et}

étudié les surfaces

qui

^{limitent ces}

liquides,

^{en mettant en} suspen- sion l’un dans l’autre des

liquides

^{de même densité}

(de

^{l’huile et}

de l’alcool étendu

d’eau).

^Plus

^tard,

^il

parvint

^{à réaliser ces mêmes}

surfaces avec de l’eau de savon, l’action de la

pesanteur

^{sur la}

masse

liquide comprise

^{entre les} deux surfaces

qui

^{la limitent}

étant

négligeable

par

rapport

^aux actions moléculaires.

En outre, ^avec le même

liquide,

^il

^put

^étudier

plus compléte-

ment les lois

auxquelles

^sont soumises les intersections des lames

multiples qui prennent

naissance dans l’intérieur des

polyèdres

dont les arêtes sont formées _par des

tiges rigides.