Page 3

(1)

1) a.O₂P= L₂O₁P et O₁P= L₁ OP . D'où O₂P= L₂[L₁OP] = L OP avec L = L₂L₁.

b.L =



⁻^β^γ⁰⁰²²^γ² ^{0 0}^{1 0}^{0 1}^{0 0} ⁻^β^γ⁰⁰²²^γ²



⁻^β^γ⁰⁰¹¹^γ¹ ^{0 0}^{1 0}^{0 1}^{0 0} ⁻^β^γ⁰⁰¹¹^γ¹



⁼



⁻^γ¹^γ^γ¹²^γ^1²^⁰⁰^β¹^β^¹^β^β²²^^ ^{0 0}^{1 0}^{0 1}^{0 0} ⁻^γ¹^γ^γ¹²^γ^1²^⁰⁰^β¹^β^¹^β^β²²^^



D'où L =



⁻⁰⁰^{β γ}^γ ^{0 0}^{1 0}^{0 1}^{0 0} ⁻⁰⁰^{β γ}^γ



âvec ^{β γ}^γ⁼⁼^γ^γ¹¹^γ^γ²²^1β^^β¹^^β¹^β²^²^ ^⇒ ^β⁼^1β^β¹^¹^β^β²² ^{ou u}⁼ ^1û¹^û¹cûû²²² On retrouve la loi de composition des vitesses puisque R est animé de la vitesse −u₁ par rapport à R₁. R₂ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R donc R₂est galiléen.

Si u₁c ou u₂ c ou u₁=u₂c alors uc.

c. u₁=v et u=−v , donc d' après la relation précédente:

−v= vu₂ 1v u₂

c²

⇒ u₂= − 2 v 1v²

c²

u₁= v u= −v

______________________________________________________________________________________________

2) a. (S) mesurant une longueur impropre trouvera une distance AB égale à L=L₀ γ . De même (O) trouvera que la distance entre C et D est égale à L.

Donc pour (S): AB < CD et pour (O): CD < AB...

b. (O) verra les marques de C et D en x_C=γx '_Cu t ' et x_D=γx '_Du t '.

Il en déduit x_D−x_C=γx '_D−x'_C =γL₀L₀ et peut donc admettre CD > AB ...

(S) verra les marques de A et B en x '_A=γx_A−u t et x '_B=γx_B−u t.

Il en déduit x '_B−x'_A=γx_B−x_A =γL₀L₀ et peut donc admettre AB > CD ...

c. Pour (O) quand C coïncide avec A à la date t₁D est en x_D=x_AL₀

γ , avance avec la vitesse u et sera en B à t₂=t₁L₀

u



¹⁻¹γ



^⇒ ^∆^t⁼^t²^−t¹⁼^L^u⁰ ^γ⁻¹γ .

Pour (S) quand B coïncide avec D à la date t '₁ A est en x '_A=x '_D−L₀

γ , avance avec la vitesse -u, donc sera en C à t '₂=t '₁L₀

u



¹⁻¹γ



^⇒ ^∆^{t '}⁼^{t '}²^{−t '}¹⁼ ^L^u⁰ ^γ⁻¹γ .

La même durée sépare les deux événements mais leur ordre est inversé.

______________________________________________________________________________________________

3)Dans R : à la date t, le photon P₁ est en x₁ et le photon P₂est en x₂ avec x₁−x₂=d.

Dans R ' :

[

^P¹ ^{est en x'}¹⁼^γ^^x¹⁻^{u t} à la date t '₁=γ



^t⁻^{u x}^c²¹



P₂ est en x '₂=γx₂−u t à la date t '₂=γ



^t−^{u x}^c²²



t '₂−t '₁= γu

c² x₁−x₂ 0 ; t '₂ étant postérieur à t '₁ la distance d' entre les photons n'est pas égale à x'₁−x '₂. Dans R ', P₂ a la vitesse c et à la date t '₁ son abscisse était x₂^''=x'₂−ct '₂−t '₁.

La distance d' est donc d '=x '₁−x₂^{' '}= x'₁−x '₂γu

c d=γd



^1^uc



ou bien d '=d



^cu^c−u^.

On en déduit λ'=λ



^c^c−ûû êt ^ν^'⁼ ^λ^c^'⁼ ^c^λ



^c−u^cu ^ou ^ν^'⁼^ν



^c−^c^u^u^.

Si u≪c ,ν'≈ν



¹⁻^uc



^et ^{∆ ν}_ν ^{≈ −} ^uc effet Döppler classique.

z₁ z z₂ O x

y₁ y y₂