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MODULE PRÉPARATION AUX CONCOURS EN

MATHÉMATIQUES

Durée : l,5 heure Tous documents autorisés

VERSION A

Remplissez les renseignements demandés sur la fiche de réponses, en majuscules d'imprimerie, puis répondez aux questions en portant une croix au feutre noir à l'intérieur des cases correspondant aux réponses justes.

Exemple : si D est la seule réponse juste de la question 4 :

Q4 A B C D

En dehors de ces indications et croix la fiche de réponses ne doit comporter aucune annotation, tache, graffiti. Toute erreur de saisie liée au non-respect de ces règles ne sera pas révisée.

Q 1. Soit la fonction définie par

f ( x ) = 3 x

³

y

², alors la dérivée partielle

x f

∂

vaut :

A. 9x² B. 18x²y C. 9x²y² D. 6x³y

E. Aucune réponse ne convient

f ( x ) = e

⁽^x²⁺^y²⁾, alors la dérivée partielle

f

y

∂

∂ ^{est :} A. Egale à

2 x e

⁽^x²⁺^y²⁾

B. Egale à

( 2 x + y

²

) e

⁽^x²⁺^y²⁾

C. Egale à

( x

²

+ y

²

) e

⁽^x²⁺^y²⁾

D. Egale à ⁽ ⁾

2 2 y

e

x ⁺

f ( x ) = 3 x

³

+ 4 y

², alors la dérivée partielle

y f

∂

vaut :

A. 4y² B. 8y C. 3x³ + 8y D. 9x² + 8y

f ( x ) = 3 x

³

+ 4 y

², alors la dérivée partielle seconde

2 2

x f

∂

vaut :

A. 18x B. 18x + 8 C. 0 D. 9x

f ( x ) = x

²

+ 2 xy + y

², alors la dérivée partielle seconde

2 2

f x

∂

∂ ^{vaut :} A. 2x + 2y

B. 2x C. 2x + 2xy D. 2x + 4y

Q 6. Une primitive de la fonction

_{f x} _{( )} ( ^{ln( )} ^x )

²

=

x

sur l’intervalle ]0 ; +∞[ est :

A.

2ln( )

( ) x

F x

=

x

B.

( )

²

2

ln( )

( ) x

F x

=

x

C.

_{( )} ( ^{ln( )} )

³

3 F x

=

x

D.

( )

³

3

ln( )

( ) x

F x

=

x

Q 7. La valeur de l’intégrale I = ¹

0

1

x x

e dx e

+

∫

^vaut

A. I =

1

0 x x

e e

 



+



 

B. I =

^  ^ln ( ^e

^x ⁺

¹ ) ^ 

¹₀ C. I =

1

0 x x

e

e x

 

 



+



D. I =

1

0

ln 1

x x

e e

   

   



+



 

Q 8. La valeur de l’intégrale I = ⁰ ¹

1

( x 2) e

^x⁺

dx

− +

∫

^vaut

A. I =

2 e

+

1

B. I =

1

C. I =

2 e

−

1

D. I =

3 e

+

1

E. Aucune réponse ne convient Q 9. La valeur de l’intégrale I =

1^e

x ln( ) x dx

∫

^vaut

A. I =

1 2

B. I =

2

1 2 e

+

C. I =

2

1 4 e

+

D. Cette intégrale n’existe pas E. Aucune réponse ne convient

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Q 10. Quand on calcule l’intégrale I =

1^e

ln( ) x dx

∫

à l’aide d’une intégration par partie en posant

u x ( )

=

ln( ) x

et

v x

′

( ) 1

= (au cas où vous ne l’auriez pas remarqué ceci est une indication de la méthode de calcul pour vous aider) on trouve :

A. I =

2 e

−

1

B. I =

1

C. I =

2 e

+

1

D. I =

e

²− +

e 1

Q 11. Soient les deux matrices

1 0

2 1

A  

=

 

−

 

^et

1 2 3

2 0 1

B  

=

 

−

 

^. Le produit C = AB donne …

A. C =

1 2

2 1

 



−



 

B. C =

1 2 1

1 2 3

2 0 1

−

 

 



−



 

C. C =

1 2 3 1 0 1

 

 

 

D. C =

1 2 3 0 4 7

 

 

 

E. Produit impossible

Q 12. Soit la matrice A =

1 1 1

1 3 2

−

 

 

 

, le déterminant de A vaut : A. –1

B. 1 C. 2 D. 0

Q 13. On souhaite répartir 60 malades entre 3 médecins. Chacun de ces médecins doit s’occuper de 20 malades. Le nombre n de répartitions possibles vaut :

A. n = 60³ B. n =

60! 40!

₂

(20!)

×

C. n =

60!

₃

(20!)

D. n = 40!

Q 14. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(4 ; p). Le paramètre p est inconnu, on sait cependant que l’espérance de X est égale à 1.

proba(X = 1) vaut : A. 1/4

B. 1/2 C. (1/4)³ D. (3/4)³

Q 15. Les nombres de tickets vendus par les 5 cinémas d’une ville de province le samedi 20 janvier 2007 sont respectivement 209 ; 232 ; 178 ; 231 ; 229. La valeur médiane de cette série statistique est :

A. 209 B. 205 C. 231 D. 229

Q 16. Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles dont l’espérance vaut 3 et la variance vaut 2. L’espérance de la variable aléatoire Y = X² a pour valeur :

A. 9 B. 4 C. 11 D. 1

Q 17. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(5 ; 1/2).

Proba(X 4) vaut : A. 0

B. 1 C. 31/32 D. 4/5

E. Aucune réponse ne convient Q 18. La solution du système d’équations

2 3 1

2 4

x y z

y z y z

+ + =

 

+ =

 

− =



est :

A. ¨x = 2, y = 3, z = –1 B. x = –2, y = –3, z = –1 C. x = –2, y = 3, z = –1 D. x = 2, y = –3, z = 1

Q 19. Une urne contient 10 petites lampes bleues et 16 petites lampes rouges. La probabilité qu’une lampe bleue fonctionne est de 1/2 et la probabilité qu’une lampe rouge fonctionne est de 1/4. On tire au hasard une lampe dans l’urne. Quelle est la probabilité que la lampe tirée soit rouge et fonctionne ?

A. 1/4 B. 16/26 C. 1/13 D. 2/13

E. Aucune réponse ne convient Q 20. La fonction f qui à x réel associe

2

1 ( ) ln( 1) f x x

x

= −

−

a pour ensemble de définition A. ]1 , +∞[

B. ] –∞ , –2]∪[2 , +∞[

C. ]1, 2[∪]2 , +∞[

D. ]2 , +∞[

Q 21. On lance 2 fois de suite un dé non pipé à 6 faces. La probabilité d’obtenir 6 au moins une fois est :

A. 1/3 B. 1/36 C. 11/36 D. 1/6

Q 22. Une compagnie d’assurance répartit ses risques sur des crédits immobiliers (stocks prime) en deux classes R₁ et R₂ : les

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mauvais risques et les très mauvais risques. Les effectifs de ces deux classes représentent 40% de la population totale pour la classe R1 et 60% pour R2 . Les statistiques indiquent que les probabilités de ne pas pouvoir rembourser son prêt pour une personne de l’une de ces deux classes sont respectivement 0,7 et 0,85. La probabilité qu’une personne choisie au hasard parmi les clients de la compagnie ne puisse pas rembourser son prêt vaut :

A. 0,24 B. 0,72 C. 0,75 D. 0,95

Q 23. Soit u_n une suite arithmétique de premier terme u₀ = 0 et de raison ln(2). Alors

6

0 un

n

e

∑

= ^{vaut :}

A. 63 B. 127 C. –127 D.

7(

6

1) 2 e

+

Q 24. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(9 ; 0,5). Alors

¨Proba(X = 10) vaut : A. 0,5

B.

C

₁₀⁹

× (0,5)

⁹

C.

(0,5)

¹⁰

D. 0,25

Q 25. Un étudiant a les notes suivantes avec le coefficient correspondant

De combien doit-il améliorer sa plus mauvaise note pour obtenir une moyenne égale à 10 ?

Notes sur 20 15 8 11 7 9 8 coefficient 2 2 5 6 1 2

A. 1 B. 2 C. 2,5 D. 3

E. Aucune réponse ne convient Q 26. On considère la matrice

A =

1 1 2

2 1 3

1 0 2

−

 

 

 

Soit B la transposée de A et C = A × B

Soit cij le terme de la matrice C de la ligne i et de la colonne j, alors :

A. c2, 3 = 1 B. c2, 3 = 5 C. c2, 3 = 8 D. c2, 3 = 2

1 ( ) 2

x

f x =    

 

. Soit f ′ sa fonction dérivée, alors :

A. f ′(2) = –ln(2)/4

B. f ′(2) = 1 C. f ′(2) = 1/2 D. f ′(2) = ln(2)/2

Q 28. Quand la production d'un objet double, son prix de revient baisse de 20%.

Le prix de revient est de 1000 F pour 1000 objets produits. Si on fabrique 8000 objets, le prix de revient est :

A. 512 B. 640 C. 400 D. 200

Q 29. Dans un restaurant la probabilité qu’un client prenne le plat du jour est 0,7. Le chef a prévu 40 plats du jour. Quelle est la probabilité que le 41^e client qui arrive ne puisse avoir le plat du jour qu’il a commandé ?

A. 0,7⁴¹ B. 0,3⁴¹

C. (41 × 0,7)/100 D. 1 – 0,7⁴¹

Q 30. Soient les matrices A =

1 2 3

2 1 3

−

 

 − 

 

B =

1 2

−

 

 − 

 

 − 

 

, soit C = AB

Soit ci, j, le terme de la matrice C de la ligne i, colonne j alors A. c2, 3 = 3

B. c2, 3 = –1 C. c2, 3 = 2 D. c2, 3 = 1

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VERSION A

Q4 A B C D

f ( x ) = 3 x

y

x f

∂

∂

f ( x ) = e

f

y

2 x e

( 2 x + y

) e

( x

+ y

) e

e

f ( x ) = 3 x

+ 4 y

y f

∂

∂

f ( x ) = 3 x

+ 4 y

x f

∂

∂

f ( x ) = x

+ 2 xy + y

f x

f x ( ) ( ln( ) x )

x

2ln( )

( ) x

F x

x

( )

ln( )

( ) x

F x

x

( ) ( ln( ) )

3 F x

x

( )

ln( )

( ) x

F x

x

1

e dx e

∫

1

e e

 





 

  ln ( e

1 )  

e

e x

 

 





ln 1

e e

   

   





 

( x 2) e

dx

∫

2 e

1

_{f x} _{( )} ( ^{ln( )} ^x )

_{( )} ( ^{ln( )} )

^  ^ln ( ^e

¹ ) ^ 