TD3

TD 3 : ANALYSE CONVEXE

COURS D’APPRENTISSAGE, ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE, OCTOBRE 2017

Aude Genevay [email protected]

R´esum´e. Ce TD a pour but de faire manipuler les notions fondamentales en analyse convexe vues en cours.

Concernant l’optimisation convexe, on peut trouver de bons ouvrages de r´ef´erence tout `a fait accessibles dans le cadre de ces cours/TP. On peut notamment citer le livre de Stephen Boyd “Convex Optimization”, disponible en ligne gratuitement

`a l’adresse http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf. Pour r´eviser la partie optimisation du cours, il peut ˆetre int´eressant de jeter un coup d’oeil.

1. S´eparation des convexes compacts dans Rⁿ

On consid`ere deux ensembles convexes compacts et disjointsC et Dde Rⁿ. Montrer qu’il existe une s´eparation stricte de ces deux ensembles, i.e., qu’il existe un hyperplan s´eparantC etD.

Indice : On pourra commencer par consid´erer les points (x, y)∈C×Dminimisantkx−yk₂.

2. Convexit´e des fonctions usuelles

1) Montrer quef(x, y) =x²/y est convexe sur certains domaines convexes que l’on pr´ecisera.

2) SoitC un convexe deRⁿ, on appelle indicatrice convexe de l’ensemble convexe C la fonc- tion d´efinie par I_C(x) = 0 six∈C et +∞ sinon. V´erifier que I_C est bien convexe.

3) Soit Q∈R^n×n, on consid`ere la forme quadratique associ´eef(x) =x^TQx. A quelle condi- tion sur Qa-t-on la convexit´e de la fonction f?

4) Montrer que le sup de fonctions convexes sur Rⁿ est toujours convexe. Est-ce le cas de l’infimum ?

5) On appelle Sⁿ l’ensemble des matrices sym´etriques de R^n×n. A l’aide de la question pr´ec´edente, montrer que l’application f : Sⁿ → R, M → λ_max(M), o`u λ_max(M) est la plus grande valeur propre de la matriceM, est convexe.

2 COURS D’APPRENTISSAGE, ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE, OCTOBRE 2017

3. Dualit´e Lagrangienne

Pour des vecteurs, on d´efinit la relation d’ordre partiel x ≤ y si x−y est dans l’orthant positif (i.e, si toutes ses composantes sont positives). Pour des matrices on note A ≥ B si A−B est dans l’orthant positif et AB si A−B est une matrice sym´etrique semi-d´efinie positive.

6) SoitA∈R^m×n, b∈Rⁿ. On consid`ere un programme lin´eaire d´efini sous la forme canonique suivante :

x∈minRⁿ

c^Tx

t.q, Ax=b x≥0.

D´eriver un probl`eme dual en utilisant la dualit´e Lagrangienne. Pour la formulation de ce probl`eme on demandera d’´ecrire les contraintes duales de mani`ere explicite.

7) Soita₁, . . . , a_n∈Rⁿ etb₁, . . . , b_m∈R. On consid`ere la fonction affine par morceaux :

∀x∈Rⁿ, f(x) = max

i=1,...,ma^T_ix+b_i.

D´eriver un probl`eme dual `a la minimisation de cette fonction en introduisant une variable auxiliairet= max_ia^T_ix+b_i.

8) SoitW ∈R^n×n, W ≥0 et sym´etrique. D´eriver un probl`eme dual au probl`eme combinatoire suivant (probl`eme de coupe maximale dans un graphe de poidsW) :

z∈{0,1}maxⁿ z^TW(1−z)

Indications : ´Ecrire le probl`eme avec des variables y ∈ {−1,1} puis ´ecrire l’ensemble discret d’optimisation comme v´erifiant une contrainte d’´egalit´e quadratique.

9) SoitA∈R^n×n,

x∈minRⁿ

x^TAx

t.q, x^Tx= 1

Donner le probl`eme dual. Montrer qu’on a dualit´e forte. (Cas o`u on a la dualit´e forte sans avoir la convexit´e du probl`eme primal.)