4 Annexe 1 : extrait du texte de Laisant sur la figuration des nombres compos´es

4 Annexe 1 : extrait du texte de Laisant sur la figuration des nombres compos´ es

A ces remarques sur les d´ecompositions des nombres en facteurs, nous croyons devoir en ajouter une sur un mode de figuration fort simple et qui n’a cependant pas ´et´e signal´e jusqu’ici, du moins `a notre connaissance. Il y aurait peut-ˆetre lieu d’en tirer parti pour l’enseignement des premiers principes ´el´ementaires re- latifs `a la d´ecomposition des nombres en facteurs premiers, `a la formation du plus grand commun diviseur et `a celle du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres.

Voici en quoi consiste cette figuration. Supposons que, un quadrillage ind´efini

´

etant trac´e `a la droite d’une ligne verticale, nous num´erotions les bandes hori- zontales successives 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17..., en les affectant aux nombres premiers successifs. Si un nombre compos´e contient un facteur premiera`a l’exposanti , on compterai cases, `a partir de la droite verticale, dans la bande qui repr´esente le facteur a. L’ensemble des cases ainsi d´etermin´ees, et que l’on pourra limiter par le trac´e du contour ext´erieur, figurera le nombre en question. Il est ´evident que ce trac´e peut suivre parfois la ligne verticale origine, lorsque certains fac- teurs premiers font d´efaut, c’est `a dire ont l’exposant z´ero.

Nous nous bornons `a donner comme exemple la figuration des nombres 360 = 2³.3².5 et 16500 = 2².3.5³.11 (fig. 1 et 2).

2 3 5

Figure 1: N = 360

2 3 5 7 11

Figure 2: N = 16500

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Ce mode de repr´esentation met en relief d’une fa¸con saisissante la forma- tion des diviseurs, ou, ce qui revient au mˆeme, la d´ecomposition en deux fac- teurs, dont nous avons parl´e ci-dessus. Le nombre des diviseurs est ´evidemment

´

egal au nombre des chemins diff´erents qu’on peut suivre pour aller de la base inf´erieure `a la base sup´erieure de la figure form´ee, en suivant toujours les lignes du quadrillage.

Le plus grand commun diviseur de deux nombres se trouve repr´esent´e par la par- tie commune des figures qui repr´esentent ces deux nombres ; le plus petit com- mun multiple, par la figure limit´ee au contour ext´erieur dessin´ee par l’ensemble des deux figures. Nous donnons comme exemple (fig.3) le plus grand commun diviseur D des deux nombres N = 1890 = 2.3³.5.7 et N⁰ = 660 = 2².3.5.11, leur plus grand commun diviseur D = 2.3.5 = 30 et leur plus petit commun multiple p= 2².3².5.7.11 = 41580, en figurant les deux nombres au moyen de carr´es color´es.

2 3 5 7 11

Figure 3: pgcd et ppcm

On comprend qu’en repr´esentant par diverses valeurs plusieurs nombres, on peut ainsi figurer leurs diviseurs ou leurs multiples, soit d’ensemble, soit deux `a deux. Par exemple, si trois nombres A, B, C sont figur´es A en rouge, B en bleu et C en jaune, les plus grands communs diviseurs seront figur´es celui de A et B par la partie violette, celui de B et C par la partie verte, celui de A et C par la partie orang´ee.

Un assez grand nombre de propri´et´es connues peuvent avec cette figuration prendre un caract`ere intuitif. Il suffit pour cela de remarquer que, lorsqu’un nombre A est multiple d’un autre nombre B, le contour de la figuration de A contient le contour de la figuration de B, et aussi que, lorsque plusieurs nombres sont premiers entre eux deux `a deux, les figurations des deux quelconques de ces nombres n’ont aucune partie commune.

Au fond, ce mode de figuration est en quelque sorte un syst`eme de num´erotation dans lequel l’ordre d’un chiffre, `a partir de la gauche par exemple, repr´esenterait l’exposant. Ainsi, dans les exemples cit´es plus haut, les divers nombres s’´ecriraient comme suit : 360 s’´ecrirait 321, 16500 s’´ecrirait 21301, 1890 s’´ecrirait 1311, 660 s’´ecrirait 21101, 30s’´ecrirait 111, 41580 s’´ecrirait 23111.

Le produit de deux nombres, dans ce syst`eme, s’obtiendrait par l’addition des chiffres de mˆeme rang (et il est bien entendu qu’ici nous d´esignons par le mot chiffres des nombres qui peuvent devenir aussi grands qu’on voudra).

La formation du plus petit commun multiple ou du plus grand commun diviseur

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est ´evidente ; et il apparaˆıt non moins clairement, par exemple, que le produit de deux nombres est ´egalement le produit de leur plus petit commun multiple par leur plus grand commun diviseur.

Tout nombre repr´esent´e par l’unit´e pr´ec´ed´ee d’un nombre quelconque de z´eros est un nombre premier, et r´eciproquement.

Tout nombre dont les chiffres sont pairs est un carr´e.

Nous croyons devoir borner l`a ces observations, trop simples pour m´eriter d’ˆetre plus compl`etement d´evelopp´ees.

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5 Annexe 2 : L”’empilage” des valuations p- adiques”

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 4

6 8 10 12 14 16 18

6 9 12 15 18 21 24 27 30

10 14 15 21 20 25 30

28

22 26

Figure 4: Courbe hyperbolique d’´equationxy=nlog(n)

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