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5 pas vers le sud-ouest

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

37 Un maçon met 4 jours pour construire un mur. Son collègue mettrait 6 jours. Ensemble, combien de temps mettraient-ils ?

Le premier maçon travaille à la vitesse de ¼ de mur par jour et le second de 1/6 mur/jour. A eux deux, ils cumulent leurs vitesses d’exécution : ¼+1/6 = 5/12 mur/jour.

En inversant on trouve donc 12/5 jour/mur, à savoir

2,4 jours

.

38 Je marche 3 pas vers l'est, 4 pas vers le nord, 6 pas vers l'ouest et 8 pas vers le sud. Donc j'ai parcouru…

3 pas vers l’ouest et 4 vers le sud, Pythagore vous montrerait tout de suite que ça fait

5 pas vers le sud-ouest

.

39 Il pleut, sans vent, et je suis dans la rue sans rien pour me protéger. Pour rejoindre l'abri-bus, je dois…

En voilà, une autre question vache ! (autocritique)

Courir revient-il au même que marcher ? En effet, on reçoit plus de gouttes par seconde en courant, mais on arrive plus vite à un abri et les deux effets se compensent exactement… si on considère que toutes choses sont égales par ailleurs. Mais de votre vitesse dépend

l’inclinaison de la trajectoire apparente des gouttes et donc la surface que vous leur offrez…

Imaginons une pluie sans vent (ça sera déjà ça de gagné sur la complexité du problème).

Notons V la vitesse verticale des gouttes et v votre vitesse de marche/course.

Notons D la densité de la pluie à chaque instant, en gouttes/m³.

Vu de dessus, vous offrez une aire de A m² aux gouttes, et vu de face B m².

L’angle d’attaque des gouttes sur vous dépend de v et V. Par rapport à la verticale, il vaut arctan(v/V). La surface utile que vous offrez aux gouttes est alors :

S = Acos(arctan(v/V)) + Bsin(arctan(v/V)), croissante avec v si B>A, et leur vitesse relative sur vous est W = √(v²+V²) (Pythagore)

Le nombre de gouttes que vous recevez chaque seconde est alors : n = DSW (gouttes/m³×m²×m/s = gouttes/s)

A supposer que la distance qui vous sépare de l’abri est d, le temps que vous mettrez sera d/v. Ainsi le nombre total de gouttes que vous aurez reçu sera :

N = DSWd/v

En détail :

N = Dd[Acos(arctan(v/V)) + Bsin(arctan(v/V))] √(v²+V²) /v, que l’on peut juste simplifier en

N = Dd[Acos(arctan(v/V)) + Bsin(arctan(v/V))] √(1+V²/v²)

Dans cette expression de N, tout est fixé, sauf v, la seule variable. Et suivant les valeurs de v, il nous faut savoir comment évolue N !

Je laisse le soin aux matheux d’étudier cette jolie fonction ; quant à moi, je choisis l’application numérique et la simulation :

(2)

Mettons que la pluie tombe à V = 20 m/s, que la densité des gouttes soit D = 200 g/m³, que A

= 0,1 m² et B = 0,5 m² et que j’aie à parcourir d = 100 m.

J’obtiens N = 2000[cos(arctan(v/20)) + 5sin(arctan(v/20))] √(1+400/v²).

J’utilise cette formule pour calculer N avec un certain nombre de valeurs possibles de v :

En effet, dans cette application numérique relativement réaliste, le nombre total de gouttes qui viendront s’écraser sur nous est fonction décroissante de notre vitesse (cette tendance est inchangée si on envisage des vitesses v supérieures à 10 m/s).

Bon bref :

il faut courir le plus vite possible

!

40 Versons lentement de l'encre par terre. Chaque minute, la tache circulaire couvre 1 m² de plus. Au cours de la 3ème minute, sa taille a…

L'aire d'un disque est πR². Au bout de deux minutes elle vaut 2 m² et donc R = √(2/π) ≈ 0,7979m. Au bout de 3 minutes, R = √(3/π) ≈ 0,9772m.

Taux d'augmentation = augmentation / valeur initiale = 0,1793 / 0,7979 ≈ 0,2247 =

22,47%

41 Complétez la suite : milli - micro - nano - …

pico - femto - atto

42 Un disque s'agrandit en doublant sa surface chaque seconde. Comment varie son diamètre ?

L'aire d'un disque est πR² ; si elle double, c’est que R² a été multiplié par 2 et donc que R a été multiplié par √2 ≈ 1,414 (le diamètre fait de même), soit une augmentation de

41,4%

.

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