Une fonction numérique est un procédé mathématique qui à un nombre de départ (antécédent) associe par le biais d’une formule de calcul un nombre d’arrivée (image).
𝑓: 𝑥 → 𝑦 Exemple : 𝑓: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 + 1, on note 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
La fonction réciproque (inverse) de 𝑓 est une fonction notée 𝑓−1 telle que :
𝑓−1: 𝑦 → 𝑥 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑡é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑦 𝑝𝑎𝑟 𝑓
Exemple : 𝑓(5) = 2 × 5 + 1 = 11, 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓−1(11) = 5
𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑦 à 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑥 à 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑦 ?
𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 − 1 = 2𝑥 1
2(𝑦 − 1) = 𝑥 𝑥 = 1
2𝑦 −1
𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑥 à 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑦 2
𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑜𝑛 𝑎 𝑓−1(𝑥) =1 2𝑥 −1
2 Exemple : avec cette formule fraîchement trouvée 𝑓−1(11) =1
2× 11 −1
2= 5,5 − 0,5 = 5 Intéressons nous à la fonction réciproque de la fonction exponentielle :
𝑒𝑥𝑝: 𝐼𝑅 →]0; +∞[
𝑥 → 𝑒𝑥
Sa fonction réciproque est appelée « Logarithme Népérien » et notée « ln » : 𝑙𝑛: ]0; +∞[→ 𝐼𝑅
𝐴 → 𝑏 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑏 = 𝐴
(𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒)
« exponentielle combien ? égale A, réponse ln(A) »
Exemple : Résoudre 𝑒𝑥 = 2021
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 = ln (2021) ≈ 7,61
𝑒𝑥𝑝: 𝐼𝑅 →]0; +∞[
𝑎 → 𝑒𝑎
La fonction exponentielle est définie, continue et strictement croissante sur IR et à valeur sur ]0; +∞[
Donc pour tout 𝑥 > 0, il existe un unique réel 𝑎 tel que 𝑥 = exp(𝑎) = 𝑒𝑎 et 𝑎 = ln (𝑥)
On considère deux nombres strictement positifs 𝒙 et 𝒚 On note 𝑎 = ln (𝑥) et 𝑏 = ln (𝑦), c’est-à-dire 𝑥 = 𝑒𝑎 et 𝑦 = 𝑒𝑏
ln(𝑥𝑦) = ln(𝑒𝑎× 𝑒𝑏)
= ln(𝑒𝑎+𝑏)
= ln(exp(𝑎 + 𝑏))
= 𝑎 + 𝑏
= ln(𝑥) + ln (𝑦)
𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖 ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln (𝑦) 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒
Rappel : 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 : exp(𝑎 + 𝑏) = exp(𝑎) × exp(𝑏) 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑒𝑎× 𝑒𝑏
À partir de là, découlent d’autres formules
exp(0) = 𝑒0 = 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 ln(1) = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 > 0, 𝑜𝑛 𝑎 1 =𝑥
𝑥= 𝑥 ×1 ln(1) = 0 𝑥
𝑑𝑜𝑛𝑐 ln (𝑥 ×1 𝑥) = 0 De la relation fondamentale, il s’en suit :
ln(𝑥) + ln (1 𝑥) = 0 ln (1
𝑥) = −ln (𝑥)
Mais encore :
ln (𝑥
𝑦) = ln (𝑥 ×1
𝑦) = ln(𝑥) + ln (1
𝑦) = ln(𝑥) − ln(𝑦) ln (𝑥
𝑦) = ln(𝑥) − ln(𝑦)
ln(𝑥) = ln(√𝑥 × √𝑥) = ln(√𝑥) + ln(√𝑥) = 2 ln(√𝑥) ln(𝑥) = 2 ln(√𝑥)
ln(√𝑥) =1
2ln (𝑥) On a aussi :
ln(𝑎𝑛) = 𝑛 × ln(𝑎) 𝑒𝑡 ln(𝑎𝑏𝑐) = ln(𝑎) + ln(𝑏) + ln(𝑐)
Applications :
ln(80) = ln(24× 5) = ln(24) + ln(5) = 4 ln(2) + ln (5)
2 ln(2) − ln(3) + 4 = ln (? ) 2 ln(2) − ln(3) + 4 = ln(22) + ln (1
3) + ln(𝑒4) = ln (22×1
3× 𝑒4) = ln (4 3𝑒4)
Résoudre une équation dont l’inconnue est en exposant :
1,1𝑥= 2
𝑎 = 𝑏 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 à ln(𝑎) = ln (𝑏) ln(1,1𝑥) = ln(2)
𝑥 × ln(1,1) = ln(2) 𝒙 = 𝐥𝐧(𝟐)
𝐥𝐧(𝟏, 𝟏)
Ne pas confondre avec :
𝑥2021= 2, 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑥 = 220211 = 2021√2
