Chapitre 16 Calcul intégral. Calcul intégral. f ( x) dx et J= 3

Calcul intégral

Exercice 1

Pour chaque fonction f représentée ci-dessous, calculer l’intégrale I de f sur son ensemble de définition.

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x−2 . Représenter les surfaces dont les aires, en unités d'aire, sont égales aux intégrales I=

∫

₂^{3 f (x)dx et J=}

∫

₃^{4 f (x)dx}, puis les calculer.

Exercice 3

Dans chacun des cas, vérifier que la fonction f est continue et positive sur l'intervalle donné.

Tracer ensuite sa courbe représentative et déterminer géométriquement l'aire sous la courbe.

1. f (x)=3x+4 sur [−1;0] ; 2. f (x)=2−x sur [0 ;2]. Exercice 4

On considère les fonctions f et g définies par f (x)=1

2 x+4 et g(x)=1−x. 1. Déterminer l'intervalle sur lequel les fonctions f et g sont continues et positives.

2. Déterminer géométriquement les intégrales suivantes :

a.

∫

₋₁^{2 f (x)dx ; b.}

∫

₋₄^{1 f (x)dx ; c.}

∫

₋₃^{0 g(x)dx ; d.}

∫

₋₁^{1 g(x)dx.}

Exercice 5

Dans chacun des cas, f est représentée par sa courbe C_f dont une équation est indiquée.

1. Prouver que C_f est un demi-cercle. Préciser son centre et son rayon.

2. Exprimer l’intégrale I de f sur son intervalle de définition puis la calculer. En donner ensuite une valeur approchée puis vérifier le résultat sur votre calculatrice.

Exercice 6

Soit f la fonction définie sur [−1;1] par f (x)=

√

^1−x2. On note C_f sa courbe représentative.

1. Vérifier que C_f est un demi-cercle dont on précisera son centre et son rayon.

2. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe C_f , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=−1 et x=1 .

3. En déduire

∫

₀^{1 f (x)dx.}

Exercice 7

Soit f la fonction affine par morceaux définie sur [−4 ; 4] et représentée ci-dessous.

Calculer

∫

₋₄^{4 f (x)dx.}

Exercice 8

Soit f et g les fonctions affines par morceaux définies sur [−1;5] par :

f (x)=

{

^{−x+3 six+3 si}_{x−3 si} ^−1⩽0<_3<^x⩽0x⩽3_x⩽5 ^{et g(x)=}

{

⁻⁻¹²¹4 ^x+x+³²5 ^{si −1⩽x⩽1} 4 si 1<x⩽5 1. Tracer la courbe représentative de la fonction f .

2. Démontrer que la fonction f est continue sur [−1;5] . 3. Calculer l'intégrale I de f sur [−1;5].

4. Faîtes de même pour la fonction g. Exercice 9

Soit f la fonction définie sur [−2 ;4] et représentée ci-dessous :

1. Justifier que 1⩽

∫

₀^{1 f (x)dx⩽2 .}

2. Déterminer un encadrement de

∫

₋₂^{−1 f (x)dx,}

∫

₋₁^{0 f (x)dx et}

∫

₁^{4 f (x)dx .}

3. En déduire un encadrement de

∫

^{4 f (x)dx.}

Exercice 10

Soit F la fonction définie par F(x)=

∫

₁^{x 1}_t ^dt.

1. Déterminer la dérivée de la fonction F sur [1 ;+∞[ . 2. Étudier le sens de variation de la fonction F sur [1 ;+∞[ . Exercice 11

Soit F la fonction définie par F(x)=

∫

₀^xe−t2dt.

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction F .

2. Déterminer la dérivée de la fonction F . En déduire le sens de variation de la fonction F . 3. Calculer F(0). En déduire le signe de la fonction F .

Exercice 12

Soit F la fonction définie par F(x)=

∫

₁^{x(lnt)2dt .}

1. Justifier que la fonction F est dérivable sur [1 ;+∞[ . 2. Déterminer la dérivée de la fonction F sur [1 ;+∞[

3. Étudier le sens de variation de la fonction F sur [1 ;+∞[ . Exercice 13

Soit G la fonction définie sur ℝ par G(x)=

∫

₀^{x+2t2e3tdt .}

1. Démontrer que pour tout x∈ℝ, G(x)=F(x+2) où F est une fonction définie sur ℝ à déterminer.

2. Déterminer la dérivée de la fonction G sur ℝ. 3. Étudier le sens de variation de la fonction G sur ℝ. Exercice 14

Soit F la fonction définie sur ℝ par F(x)=

∫

₀^{x t−4}

t²+1 dt . 1. Déterminer la dérivée de la fonction F sur ℝ.

2. Étudier le sens de variation de la fonction F sur ℝ. Exercice 15

Calculer les intégrales suivantes : 1.

∫

0

4(x−3)dx ; 2.

∫

−1

4 (x²−4x)dx ; 3.

∫

₁²

(

^x2−1x

)

^{dx ;}

4.

∫

₁⁵

(

2¹

√

^x−

1

x

)

^{dx ; 5.}

^∫

¹²

(

^t2+t−2t

)

^{dt ; 6.}

^∫

^{ln 2ln 3exdx ;}

7.

∫

⁻³₁ ^{(x2−4x+3)dx ; 8.}

∫

^π

6 π

2 cosx dx ; 9.

∫

_−π^{0 sinx dx ;}

10.

∫

₂⁷

(

^t−t³⁴

)

^{dt ; 11.}

^∫

^{−11 (x7−3x3+2x)dx ; 12.}

^∫

^1e

( _√

¹x−e^x

)

^dx.

Exercice 16

Calculer les intégrales suivantes :

1.

∫

₀^{9dx ; 2.}

∫

₀^{2 3x}

(x²+1)^{2 dx ; 3.}

∫

₀³ _x+1^{1 dx ;}

4.

∫

₀^{1e1−2xdx ; 5.}

∫

₁^{2 x3}

x⁴+1 dx ; 6.

∫

₀^{1 3x}

1−x² dx ; 7.

∫

₀^{1cos(x)esinxdx ; 8.}

∫

₃^{5x(x2+2)dx ; 9.}

∫

₋₂^{−1 x−3}_x ^{dx ;}

10.

∫

₋₁^{1 x}

x²−4 dt ; 11.

∫

₋₁^{2 5e3xdx ; 12.}

∫

₀^{et et2−1dt ;}

13.

∫

₁² _3x−2^{1 dx ; 14.}

∫

₀^{1 2x+1}

√

^{x2+x+5dx ; 15.}

∫

₋₂^{−1 x ex}

2

3

√

^{ex2 dx.}

Exercice 17

Soit f la fonction définie sur ]−2 ;+∞[ par f (x)=4x²+7x+1

x+2 .

1. Démontrer qu'il existe trois réels a , b et c tels que f (x)=ax+b+ c x+2 . 2. En déduire la valeur de I=

∫

₀^{2 f (x)dx.}

Exercice 18

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)= 1 1+e^x . Démontrer que, pour tout réel x, f (x)=1− e^x

1+e^x . En déduire la valeur de I=

∫

0

1 f (x)dx.

Exercice 19

Calculer les intégrales suivantes :

1.

∫

₁^{2 x−3dx ; 2.}

∫

₀^{1 x}

x²+3 dx ; 3.

∫

₋₁^{2 x ex2dx ;}

4.

∫

₀^{1 e−x}

e^−x+3dx ; 5.

∫

₀^{π2 sin2xcosx dx ; 6.}

∫

₀^{2 1}

√

^{3x+1 dx ;}

7.

∫

₀^{1 2x}

√

^{x2+3 dx ; 8.}

∫

₁^{2 1}

x² e

1

xdx ; 9.

∫

₀^π4 _cos^sinx_x ^{dx ;}

10.

∫

₁⁵

(

t³²−1

)

^{dt ; 11.}

^∫

^{−21 x3(x4−1)2dx ; 12.}

^∫

¹⁴

( √

¹u+ 1 u²

)

^du.

Exercice 20

Soit F la fonction définie sur [0 ;+∞[ par F(x)=ln

(

x+

√

^x2+1

⁾

^.

1. Déterminer la dérivée de la fonction F . 2. En déduire I=

∫

₁^{2 1}

√

^{x2+1 dx.}

Exercice 21

Soit f la fonction définie sur ]1;+∞[ par f (x)= x² (x−1)² .

1. Démontrer qu'il existe trois réels a , b et c tels que f (x)=a+ b

x−1+ c (x−1)² . 2. En déduire la valeur de I=

∫

₂^{5 f (x)dx.}

Exercice 22

Calculer les intégrales suivantes : 1.

∫

₀^{2 1}

√

w e^√wdw ; 2.

∫

₀^{2 ex}

(e^x+2)^{3 dx ; 3.}

∫

₋₂^{2 (ex−4x)dx ;}

4.

∫

₁³ _x^dx₊₁ ^{; 5.}

∫

1

2

1 1

x lnx dx ; 6.

∫

₂³

(

^21x−x¹²

)

^{dx ;}

7.

∫

₀^1sin

(

^{2x− π}2

)

^{dx ; 8.}

^∫

³⁴ _x^22x+2_+2x ^{dx ; 9.}

^∫

^−π2 π

2 sinxcos³x dx ;

10.

∫

₁^{exlnx dx ; 11.}

∫

₀^{π2xsinx dx ; 12.}

∫

₀^3x

^√

^{3−x dx .}

Exercice 23

1. Calculer I=

∫

₀^{1e2xdx et J=}

∫

₀^{1e−2xdx .}

2. En déduire la valeur de K=

∫

₀^{1(3e2x−5e−2x)dx.}

Exercice 24

Sachant que

∫

₀^{2 f (x)dx=2 et}

∫

₀^2g(x)dx=−3 , calculer I=

∫

₀^{25 f (x)dx , puis J=}

∫

₀^{2 1}₄ ^{f (x)dx}

et enfin K=

∫

₀^{2(6f (x)−3g(x))dx .}

Exercice 25

Soit f une fonction définie sur ℝ. On suppose que

∫

₁^{3 f(x)dx=5 ,}

∫

₆^{3 f(x)dx=−2 et}

∫

₆^{10 f (x)dx=}7 . Calculer

∫

₁^{10 f (x)dx.}

Exercice 26

1. Énoncer et démontrer la relation de Chasles pour les intégrales.

2. En utilisant la relation de Chasles, calculer

∫

₋₁^{2 ∣x∣dx .}

Exercice 27 Soit I=

∫

₀^{1 e2x}

1+e^2x dx et J=

∫

₀^{1 1}

1+e^2x dx. Calculer I et I+J . En déduire J .

Exercice 28

Soit I=

∫

₀^π2 ₁₊^cos_2sin^x _x ^{dx et J=}

∫

₀^π2 ₁₊^sin_{2 sin}^(2x)_x ^dx.

Calculer I et I+J . En déduire J . Exercice 29

1. Démontrer que pour tout réel x∈[0 ;1], on a 1⩽e^x2⩽e^x. 2. En déduire un encadrement de

∫

0

1e^x2dx. Exercice 30

1. Démontrer que pour tout réel x∈[0 ;8], on a 1⩽

√

^{x+1⩽3 .}

2. En déduire un encadrement de I=

∫

₀⁸

^√

^x+1dx.

Exercice 31

1. Démontrer que pour tout réel x∈[0 ;1], on a e^−x⩽e^−x2. 2. En déduire un encadrement de xe^−x sur [0 ;1].

3. Déterminer alors un encadrement de

∫

0

1e^x2dx. Exercice 32

1. Donner un encadrement de la fonction ln sur [1 ;2]. 2. En déduire un encadrement de

∫

₁^{2 x2lnx dx.}

Exercice 33

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=

√

^1+cos2x.

Déterminer un encadrement de f (x) puis un encadrement de

∫

₀^{π f (x)dx.}

Exercice 34

1. Démontrer que pour tout réel t supérieur ou égal à 1, on a t⩽

√

^t2+1⩽t

√

^{2 .}

2. Soit x un réel strictement positif. Démontrer que ln 2

√

2 ⩽

∫

²_x^{x dt}

√

^{t2+1⩽ln 2 .}

Exercice 35

Comparer, sans les calculer, les réels I=

∫

₁^{2 x exdx et J=}

∫

₁^{2 x2exdx.}

Exercice 36

Démontrer les encadrements suivants : 1. 2⩽

∫

₁^{9 dx}

1+

√

^{x⩽4 ; 2.}

1

2⩽

∫

₀^{1 dx}

1+x³⩽1 ; 3.

√

^2⩽

∫

1

2

√

^{1+x3dx⩽3 ;}

4. 2e⁻⁴⩽

∫

₀^{2 dx}

e^x2⩽2 ; 5. 2 ln 3⩽

∫

₂^4ln(x2−1)dx⩽2 ln 3+5 .

Exercice 37

Dans un repère orthonormé, tracer les courbes représentatives des fonctions carrée et racine carrée sur [0 ;1]. Sachant que

∫

₀^{1 x2dx=1}₃ , calculer

∫

₀¹

^√

^{x dx} en utilisant une symétrie axiale.

Exercice 38

Soir f la fonction définie sur ℝ par f (x)= 2 e^{0 , 04x} e^{0, 04x}+19 . 1. Déterminer une primitive de f .

2. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ;100]. En donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻².

Exercice 39

On donne la valeur moyenne μ=2 d'une fonction f sur l'intervalle [1 ;4]. Calculer

∫

₁^{4 f (x)dx.}

Exercice 40

Calculer la valeur moyenne sur l’intervalle [−1;1] de la fonction f définie par f (x)=

√

^1−x2.

(Indication : on pourra penser au cercle de centre O et de rayon 1) Exercice 41

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (_x)=xe^2−x.

1. Démontrer que la fonction F définie sur ℝ par F(x)=(−x−1)e^2−x est une primitive de la fonction f .

2. Déterminer la valeur moyenne de f sur [0 ; 4]. Exercice 42

1. Déterminer la valeur moyenne sur [1 ;4] de la fonction f définie sur ℝ par f (x)=e^3x. 2. La fonction f précédente modélise l'augmentation d'une population sur trois ans. Déterminer une valeur approchée de l'augmentation chaque année de cette population.

Exercice 43

Un point mobile est étudié sur l'intervalle de temps [0 ;20]. Le temps est exprimé en seconde. Sa vitesse en m.s⁻¹ est donnée par v(t)=2t²+3t .

1. Calculer la distance parcourue par ce mobile sur cet intervalle de temps.

2. Calculer la valeur moyenne de la fonction v sur [0 ;20]. 3. Que représente cette valeur moyenne ?

Exercice 44

Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l'injection, la substance est éliminée par les reins.

On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang, exprimé en milligrammes, à l'instant t , exprimé en heures, est donnée par q(_t)_{=10 e}^{−0, 15t} pour t variant de 0 à 12 heures.

Calculer, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang chaque heure pendant les dix heures qui suivent l'injection.

Exercice 45

Soit f une fonction continue sur [a;b] et telle que pour tout x de [a;b], m⩽f (x)⩽M . 1. Démontrer que m⩽ 1

b−a

∫

_a^{b f (x)dx⩽M .}

2. Déterminer un encadrement sur [0 ;3] de la valeur moyenne de la fonction f définie sur ℝ par f (x)= 1

1+x² .

3. Déterminer un encadrement sur [0 ;3] de la valeur moyenne de la fonction f définie sur ℝ par f (x)=

√

^1+x2.

Exercice 46

Soit f et g les fonctions définies sur [1 ;2] par f (x)=x² et g(x)=x . On appelle C_f et C_g les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal d'unité 3cm en abscisse et 1cm en ordonnée.

1. Construire les courbes représentatives de f et g dans le repère précisé ci-dessus.

2. Calculer l'aire A , en unités d'aire, de la surface délimitée par les courbes C_f et C_g et les droites d'équations x=1 et x=2 .

3. Donner l'aire de cette surface en cm². Exercice 47

Soit f et g les fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par f (_x)_=x² et g(x)=1 x . On appelle C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g. 1. Démontrer que, pour tout réel x>1 , x²>1

x .

2. Calculer l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par les courbes C_f et C_g et les droites d'équations x=1 et x=e .

Exercice 48

Soit f la fonction définie sur [−2 ;2] par f (_x)_=4−x². Soit A , B et C les points de la courbe représentative C_f de f d'abscisses respectives −2 , 2 et 0.

1. Construire la courbe C_f et le triangle ABC .

2. Déterminer l'aire A₁, en unités d'aire, du triangle ABC .

3. Déterminer l'aire A₂, en unités d'aire, de la surface délimitée par la parabole, le segment [AB]

et les droites d'équations x=−2 et x=2 . 4. Déterminer le rapport A₂

A₁ . Exercice 49

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ;π] par f (x)=sinx et g(x)=sin²x . 1. Étudier le sens de variation de ces deux fonctions sur [0 ;π].

2. Étudier la position relative de ces deux courbes.

3. Tracer leurs courbes représentatives dans un même repère d'unité graphique 1cm en abscisse et 2cm en ordonnée.

4. Calculer l'aire, en cm², de la surface délimité entre ces deux courbes.

Exercice 50

Soit f la fonction définie sur ℝ^+* par f (x)=lnx x² .

1. Étudier le sens de variation de la fonction f et construire sa courbe représentative dans un repère d'unités 2cm en abscisse et 6cm en ordonnée.

2. Démontrer que la fonction F définie sur ℝ^+* par F(x)=−lnx x −1

x est une primitive de f . 3. Déterminer l'aire, en cm², de la surface comprise entre la courbe C_f , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e .

Exercice 51

On considère les fonctions affines f , g et h définies sur ℝ par : f (x)=x, g(x)=3−1

2 x et h(x)=1 4 x+3

4

Soit E , F et G les points d'intersection respectifs de C_f et C_g, C_g et C_h, C_f et C_h. 1. Représenter les courbes C_f , C_g et C_h dans un repère orthonormé.

2. Déterminer algébriquement les coordonnées des points E , F et G . On les placera dans le graphique précédent ainsi que le point H

(

^{2 ; 5}4

)

^.

3. Calculer

∫

₁^{2 f (x)dx et}

∫

₁^2h(x)dx , puis en déduire la valeur de l'aire du triangle EGH . 4. Calculer

∫

₂^{3g(x)dx et}

∫

₂^3h(x)dx , puis en déduire la valeur de l'aire du triangle EFH . 5. Calculer l'aire du triangle EFG .

Exercice 52

Soit A_t l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation y=1

x , la droite d'équation y=0 et les droites d'équations x=1 et x=t (avec t⩾1 ). Déterminer t telle que l'aire A_t soit égale à 1.

Exercice 53

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ;1] par f (x)=x² et g(x)=

√

x . 1. Calculer I=

∫

₀^{1 f (x)dx.}

2. Vérifier que la fonction F : x→x

√

x est dérivable sur [0 ;1], puis calculer sa dérivée.

En déduire le calcul de J=

∫

₀^{1 g(x)dx} , puis celui de I+J .

3. On note C_f et C_g les courbes représentatives de f et g . Quel lien géométrique existe-t-il entre les courbes C_f et C_g ? Calculer à nouveau la somme I+J en s'appuyant sur un graphique.

Exercice 54

À l'aide d'une intégration par parties, calculer

∫

₋₁^{1 3x e−xdx}. On posera u'(x)=e^−x et v(x)=3x . Exercice 55

À l'aide d'une intégration par parties, calculer

∫

₋₁^{2 x}

(2+x)³ dx. On posera u'(x)= 1 (2+x)³ et v(x)=x.

Exercice 56

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

1.

∫

₀^{64x exdx ; 2.}

∫

₋₂^{2 4x e3x−1dx ; 3.}

∫

₀^{1x e5x+4dx ;}

4.

∫

₋₁^{1 2x3ex2−1 ; 5.}

∫

₀^{πxcosx dx ; 6.}

∫

₁^{e lnx}

x² dx ;

7.

∫

₁^{e(lnx)2dx ; 8.}

∫

₀^{1 x}

(5x+3)³ dx ; 9.

∫

₋₁^{0 5x}

(3x−9)³ dx ; 10.

∫

₋₁^{1 2x(8x+2)2dx ; 11.}

∫

₀^{1x exdx ; 12.}

∫

₀^{1 ln}_x^{x dx.}

Exercice 57

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

1.

∫

₀^{10(2t+1)e−tdt ; 2.}

∫

₀^{24(2x+1)3ex2+x−1dx ; 3.}

∫

₋₁^{3 3x3ex2dx ;}

4.

∫

_−π^{π (3x−2)sinx dx ; 5.}

∫

₋₂^π2 _π^{2xcosx dx ; 6.}

∫

₀^{1 5x3}

(3x²−9)^{3 dx ;} 7.

∫

₋₁^{1 3x3(x2−1)2dx ; 8.}

∫

₋₂^{1 2x5(x3+5)3dx ; 9.}

∫

₋₁^{2 3}₂ ^{x5ex2dx ;}

10.

∫

₀^{π(x2−2x+1)sin(3x)dx ; 11.}

∫

^π

6 π

3

(

^{x+ π}2

)

^cos

(

^{x− π}6

)

^{dx ; 12.}

^∫

^{03 x}

2

(x+1)⁴ dx . Exercice 58

On souhaite calculer I=

∫

₀^{1 x2exdx.}

1. On pose J=

∫

0

1 x e^xdx. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que J=1 . 2. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer I en fonction de J .

3. En déduire la valeur de I . Exercice 59

1. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer

∫

₁^{5lnx dx .}

2. Déterminer une primitive de la fonction ln . 3. Déterminer

∫

₁^{5(lnx)2dx .}

Exercice 60

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer

∫

₁⁴

^√

^{x dx .}

2. Calculer

∫

₋₁⁴

^√

^x+5dx.

Exercice 61

On considère la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=x³e⁻

x² 2π . 1. E intégrant par parties, démontrer que lim

x→+∞

∫

₀^{x f (t)dt=2π2e.}

2. Interpréter ce résultat de manière géométrique.

Exercice 62

Soit la suite (^In) définie sur ℕ par I_n=

∫

₀^{1(1+tn)dt .}

1. Démontrer que la suite (^In) est décroissante.

2. La suite (^In) est-elle convergente ? Exercice 63

Pour tout n entier naturel non nul, on pose I_n=

∫

_n^{n+1 1}_x ^dx.

1. a. Étudier les variations de la suite (^In) pour tout x∈]0 ;+∞[. b. Démontrer que, pour tout entier n non nul, I_n⩾0 .

c. Conclure sur la nature de la suite (^In)^. 2. Démontrer que, pour tout entier n non nul, 1

n+1⩽I_n⩽1 n . 3. En déduire la limite de la suite (^In)^.

Exercice 64

Soit f la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)= x x+1 . Soit (^un) la suite définie sur ℕ par u_n=

∫

₀^{n f (t)dt}

1. Démontrer que la suite (^un) est croissante.

2. Démontrer que, pour tout entier n⩾1 , u_n⩾n−1

2 La suite (^un) converge-t-elle ? Indication : on pourra démontrer que pour tout réel x⩾0 , f (x)⩾ x

n+1 . Exercice 65

Soit la suite (^In) définie sur ℕ^* par I_n=

∫

₀^{π4 xnsin(2x)dx.}

1. Démontrer que pour tout entier n⩾1 , 0⩽I_n⩽

(

^π₄

)

^n+1.

2. Déterminer la limite de la suite (^In)^. Exercice 66

On considère la suite (^un) définie sur ℕ par u_n=

∫

₀^{1 e−n x}

1+e^{−n x} dx. 1. a. Démontrer que u₀+u₁=1 .

b. Démontrer que u₁=1−ln

(

_1+e²

)

et en déduire u₀. 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, u_n⩾0 .

b. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, u_n+u_n+1=1−e⁻ⁿ

n .

c. En déduire que pour tout entier naturel n, u_n⩽1−e⁻ⁿ

n .

3. Démontrer que (^un) converge et déterminer sa limite.

Problèmes

Problème 1 ...Étude classique...

On considère f et g les fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par f (x)=lnx

x et g(x)=ln²x x . On note C_f et C_g les courbes respectives des fonctions f et g.

1. Démontrer que les courbes C_f et C_g admettent deux points communs dont on précisera les coordonnées.

2. Étudier la position relative des courbes C_f et C_g.

3. On a tracé les courbes C_f et C_g . Identifier chaque courbe puis déterminer l’aire A en cm² de la partie du plan délimitée par les courbes C_f et C_g et par les droites d’équations x=1 et x=e . L’unité est de 2cm sur l’axe des abscisses et de 4cm sur l’axe des ordonnées.

Problème 2 ...Suite et intégrale...

On considère la suite (^xn) définie sur ℕ^* par x_n=

∫

₀^{1tncost dt .}

1. a. Montrer que la suite (^xn) est à termes positifs.

b. Montrer que pour tout n∈ℕ et pour tout t∈[0 ;1], on a tⁿ⁺¹cost⩽tⁿcost . c. En déduire les variations de la suite (^xn)^.

d. Conclure quant à la convergence de la suite (^xn)^. 2. a. Démontrer que pour tout entier n∈ℕ^*, x_n⩽ 1

n+1 . b. En déduire la limite de la suite (^xn)^.

Problème 3 ...Encore des suites et des intégrales...

On considère la suite (^un) définie sur ℕ par u_n=

∫

₀^{1(1−t)netdt .}

1. Montrer que pour tout entier naturel n, u_n⩾0 .

2. a. Démontrer que pour tout n∈ℕ et pour tout t∈[0 ;1], on a (1−t)ⁿe^t⩽e(1−t)ⁿ. b. En déduire que pour tout n∈ℕ, u_n⩽ e

n+1 . 3. Déterminer la limite de la suite (^un)^.

Problème 4 ...Une étude loin d'être classique...

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par f (x)= 1

x+1+ln

(

x+1^x

)

^.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

2. Démontrer que, pour tout réel x∈[1 ;+∞[, f '(x)= 1 x(x+1)² . Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ;+∞[ . Partie B

Soit (^un) la suite définie pour tout entier strictement positif par : u_n=1+1

2+1

3+…+1

n−lnn=

∑

k=1

n 1

k−lnn 1. On considère l'algorithme suivant :

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n=3 . 2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de u_n lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10⁻³ près.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000

u_n 0 , 697 0 , 674 0 , 658 0 , 647 0 , 638 0 , 632 0 , 626 0 ,582 0 ,578 0 ,578 0 ,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (^un)^{et son} éventuelle convergence.

Partie C

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (^un)^.

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n, u_n+1−u_n=f (n) où f est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite (^un)^.

2. a. Soit k un entier strictement positif.

Justifier l'inégalité

∫

_k^k+1

(

¹_k ⁻¹_x

)

dx⩾0 . En déduire que

∫

_k^{k+1 dx}_x ^⩽1_k ^.

Démontrer l'inégalité ln(k+1)−lnk⩽1 k (1).

b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, ..., n et démontrer que pour tout entier strictement positif n, ln(n+1)⩽1+1

2+1

3+…+1 n . c. En déduire que pour tout entier strictement positif n, u_n>0 .

3. Démontrer que la suite (^un) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

Problème 5 ...Serre de jardin...

Partie A

On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x)=7 2−1

2(e^x+e^−x). 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ;+∞[.

c. Montrer que l’équation f (x)=0 admet, sur l’intervalle [0 ;+∞[, une unique solution, que l’on note α.

2. En remarquant que, pour tout réel x, f (−x)=f (x), justifier que l’équation f (x)=0 admet exactement deux solutions dans ℝ et qu’elles sont opposées.

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température. Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction f et le réel α sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe

C de la fonction f sur l’intervalle [−α;α].

On a représenté ci-dessous la courbe C sur l’intervalle [−α;α].

On admettra que la courbe C admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.

2. a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe C sur l’intervalle [0 ;α]. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale :

I=

∫

₀^α

√

^{1+f '(x)2dx}

Montrer que, pour tout réel x, on a : 1+f '(x)²=(e^x+e^−x)²

4 .

b. En déduire la valeur de l’intégrale I en fonction de α. Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à e^α−e^−α.

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.

On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1, 5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle ABCD de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m², de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le toit de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m², par :

A=4

∫

₀^{α f (x)dx−2}

2. On prend 1, 92 pour valeur approchée de α. Déterminer, au m² près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Problème 6 ...Encore une étude classique...

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f (x)=e^x et g(x)=2 e

x 2−1 .

On note C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.

1. a. Pour tout réel x , développer l’expression

(

e

x 2−1

)

². b. Déterminer la position relative des courbes C_f et C_g.

2. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites d’équations respectives x=0 et x=1 .

Problème 7 ...Longueur de chaîne...

La longueur L d’une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur ayant une tension minimale aux extrémités, est donnée par l’expression L=

∫

₀^{1(ea x+e−a x)dx .}

Calculer la longueur d’une chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant 1, 2 comme valeur approchée du nombre a.

Problème 8 ...Égalité d'aires...

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par f (x)=ke^−kx où k est un nombre réel strictement positif.

On appelle C_f sa représentation graphique dans le repère orthonormé (O;i⃗,⃗j).

On considère les points A et B de la courbe C_f d’abscisses respectives 0 et 1.

Le point C a pour coordonnées (1 ;0).

1. Déterminer une primitive de la fonction f sur [0 ;+∞[. 2. Exprimer, en fonction de k , l’aire du triangle OCB et celle du domaine D délimité par l’axe des ordonnées, la courbe C_f et le segment [OB].

3. Montrer qu’il existe une unique valeur du réel k strictement positive telle que l’aire du domaine D vaut le double de celle du triangle OCB .

Problème 9 ...Constante d'Euler...

On considère les suites (^Hn) ^et (^un) définies sur ℕ^* par H_n=

∑

k=0

n 1

k et u_n=H_n−ln(n). 1. a. Montrer que pour tout k∈ℕ^*, 1

k+1⩽

∫

_k^{k+1 dt}

t ⩽1 k . b. En déduire que pour tout n∈ℕ^*, H_n−1⩽ln(n)⩽H_n−1

n puis que 0⩽u_n⩽1 . 2. a. Montrer que pour tout n∈ℕ^*, u_n+1−u_n= 1

n+1−

∫

_n^{n+1 dt}_t ^.

b. En déduire le sens de variation de la suite (^un)^.

3. Montrer que la suite (^un) est convergente. On note cette limite γ, c'est la constante d'Euler.

Quelle est la limite de la suite (^Hn) ^? Problème 10 ...Série de Riemann...

Soit α un réel strictement supérieur à 1. On considère la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)= 1

x^α et la suite (^Sn) définie sur ℕ^* par S_n=

∑

k=1

n 1

k^α . 1. Faire une étude complète de la fonction f sur ]0 ;+∞[. 2. Montrer que la suite (^Sn) est croissante.

3. Montrer que pour tout k∈ℕ^*, 1

k^α⩽

∫

_k−1^{k f (x)dx.}

4. En déduire que

∑

k=2

n 1

k^α⩽

∫

₁^{n f (x)dx} puis que S_n⩽1+

∫

₁^{n f (x)dx .}

On pose, pour tout entier naturel n non nul, v_n=

∫

1

n f (x)dx .

5. Montrer que (^vn) est croissante et convergente. En déduire que la suite (^Sn) est convergente.

Remarque

Les suites S_n=

∑

k=1

n 1

k^α sont appelées des séries de Riemann et on note

∑

k=1 +∞ 1

k^α leurs limites.