∑ Modèles de Thévenin et Norton

Modèles de Thévenin et Norton

Déterminer le modèle de Thévenin du montage de gauche entre A et B, ce modèle étant constitué par une source de fem déterminée en série avec une résistance déterminée, en précisant par un croquis la convention de signe utilisée pour la fem.

II22. Recharge d’une batterie.

La diode D de droite a une tension de seuil et une résistance

dynamique r , c’est-à-dire que lorsqu’elle est passante, l’équation de sa caractéristique en convention récepteur, le courant étant mesuré vers la droite, est . Sinon elle est bloquée et parcourue par un courant nul. A quelle condition la diode D est-elle passante ?

US

U =US +rI

A

R B

UR

E UR

λ

R

2, 2

e r

D

1, 1

e r

B E

a b

A E

a a

a a a

a u

III₆₈

1) Déterminer le modèle de Thévenin du circuit de la figure 1 pris entre les bornes A et B.

2)) Exprimer la tension u dans la figure 2 en application

de la propriété précédente. Figure 1 Figure 2

3) Exprimer la tension u dans l

IV . Convertisseur numérique-analogiqu

a figure 2 en application du théorème de Millman.

12 e.

la dr

e nstit d’un conducteur ohmique de résistance en

pa

ig _k, ,R.

en fonction de t

que ant, soit nul, soit égal à On définit une variable binaire égale à 0 ou 1,

tel R

5) Soit un entier exprimable par les chiffres binaires

0

.2

p i i

q b

−

=

=

∑

p de valeurs d’entiers peut être représentée par cette tension analogique ? R0 I1

R0

R I2

R0

R I3

R0

R I4

u

Le montage ci-dessus est considéré comme une suite de réseaux dipolaires qui n’échangent du courant qu’avec oite ; dans la figure, la suite comporte quatre termes, chacun entouré en pointillé, mais on considérera qu’elle en comporte un nombre quelconque p. Le premier terme de la suite est un conducteur ohmique de résistance R₀ en parallèle avec une source de coura t de courant électromoteur I₁ ; le deuxième terme est un réseau compor t deux résistances R₀, une résistance R et deux sources de courant I I₂.

Le modèl de Norton du k-ième terme de cette suite est co ué

n tan

1,

,

RN k

rallèle avec une source de courant de courant électromoteur I_{N k,} . On veut que , quel que soit k, R_{N k,} =R₀ 1) Dessiner les deux montages équivalents d’après ces deux ex ences utilisant I_{N k,} ,I_{N k, −1},I R

.

0

2) En mettant en équation cette équivalence, exprimer R en fonction de R₀ et I_{N k,} I_k e I_{N k, −1}. 3) Exprimer I_{N k,} en fonction des I_k.

4) En fait cha source débite un cour I₀. a_i,

le que I_i =a I_{i 0}. Exprimer la tension u en fonction des a_i, de ₀ et de I₀.

1 i

q b_i : a_i

u q

6) Si p =8, quelle lage q

Réponses

I. voir ci-contre.

II. ¹ 2

1 1 ^S

e r e U R

− >

+ .

III. 1)r_T ^ab a b

= + et e_T ^bE a b

= + ; 2) et 3) IV. 1)

2) ; ₁ ; 3)

/13 u =E .

2 0

R= R I_{N k,} =I_k +I_{N k, −} / 2 _,

12

k j

N k k j

j

I I₋

=

=

∑

1

2

p

N p N p j j p

j

u R I R I a ⁻

=

= =

∑

6) entre 0 et

IN,k–1 Ik

RN,k–1 = R0 R

R0

IN,k

R0

fi

1

i i

a =b₋ 255.

gure 1 figure 2

E (1 ) R +λ

A

B U

I

Corrigés

I. Modèle de Thévenin.

Si on mesure le courant vers le haut, le montage obéit à :

λ + =− (de la

fo =e −r I) et le modèle dessiné ci-contre.

II. Recharge d’une ba

Cherchons le modèle de T montage pri branche de la diode. On peut procéder par les équivalences successives suivantes :

La diode est passante si la fem du modèle de Thévenin est supérieure à (sinon elle est bloquée) :

A

B E I

; I U

= + _{R R R} . D’où : (1

U E V V V R U =E− +λ)RI

(1 ) R +λ

rme U _{T T}

tterie.

hévenin du vé de la

Us

1 1 1 1

2 2

1 1

1 1

( )

1 1 1

S S

e r R e e

e U e U r e U

r r r R R

− > − > − >

⎛ ⎞⎟ +

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

&

2 S

III.

1) Calculonse_T et r_T par équivalences successives entre modèles de Thévenin et de Norton :

T ab

r =a b

+ et T T E bE

e r

a a b

= =

+ .

2) En appliquant deux fois l’équivalence démontrée à la question 2) :

3 3 2 5

3 3

2 5 5 1

2 5

T T

E E

a a

a a E E

r a e u

a a

a a a

= = = = = =

+ + +

& .

3

3) On peut aussi utiliser le théorème de Millman ; soit en effet la carte des potentiels :

3 3

E v w u v

w + v + u

= =

= 2, d’où v =2u, w =3v−u =5u et E =3w−v =13u, soit

13 u = E . a

a

a a a

a 0

E w v u

E/2

a/2 a a

a

a eT

rT a

a i

r1 &R

r1 R ¹

1

e r

r1 &R

1 1 1

( )

e r R r

&

e2

r2

a b

E/a soit rT

E/a soit

rT

eT 1

1

e r

IV.

1) On veut l’équivalence des figures 1 et 2.

r 2) Dans la figure 1, remplaçons le modèle de Norton des ^k−¹ premières cellules par son modèle de Thévenin : nous obtenons la figure 3. Après groupement des deux résistances en série et remplacement du modèle de Thévenin pa son modèle de Norton, nous obtenons la figure 4.

La résistance R0 =RN k, de la figure 2 équivaut aux deux résistances R et R_{N k, −1}+R₀ =2R₀ en parallèle sur la figure 4 ; d’où :

, , 1 0

1 1 1

N k N k

R = R+R ₋

+R , soit ₀

0 0

1 1 1

2 R 2R

R = R+ R ⇒ = . Groupons les sources de c urant et les résistances en parallèles.

D’ ù :

o

o ^{, 1 , 1 , 1}

0 _{N k}, 1 2

R +R ₋

N k N k N k

R I I

i = ^{− −} = ⁻ ; ₁

3)

, , / 2

N k k N k

I =I +I ₋ .

,

12

k j

N k k j

j

I I₋

=

=

∑

4) se calcule sur la figure 2 : u _{, , 0 0}

1

2

p

N p N p j j p

j

u R I R I a ⁻

=

= =

∑

5) ^a_i =^b_i−₁. Figure

6) On peut re

4 i R

présenter les entiers entre 0 et 255=2⁸ −1.

Figure 3 R0

R Ik

RN,k–1IN,k–1

RN,k–1 = R0

Ik

RN,k–1 + R0

IN,k–1 Ik

RN,k–1 = R0 R

R0

IN,k

R0

figure 1 figure 2