Formes linéaires et Hyperplans
Dans toute la suite on considère donnéE, unK-espace vectoriel de dimensionfinien, avecK=RouC. Définition : On appellehyperplandeEtout sev de dimensionn−1.
Définition : On appelleforme linéaire surEtoute application linéaire deEdansK.
Remarques
• Les hyperplans d’un ev de dimension 2 (rp. 3) sont les droites (rp. plans).
• Les hyperplans sont les plus grands des sous-evstricts, les droites étant les plus petits.
• Lessupplémentairesd’un hyperplanHsont des droites, les droitesD telles queD̸⊂H.
Démo : En effet on sait queH⊕D=E ⇐⇒dimD=dimE−dimH=1 etD∩H={0}. OrDétant une droite (un vecteur àαprès), ou toute la droite est dans l’hyperplan, ou toute la droite est à «l’extérieur» (sauf 0), cad on a D∩H={0}⇐⇒D̸⊂H. (cette équivalence est fausse pour tout sev de dimension≥2, je vous laisse y réfléchir).
• En dimension infinie (ce n’est pas au programme), on peut définir les hyperplans comme les sev ayant pour supplémentaire une droite . . .
• Pour uneforme linéaireϕ, se souvenir queϕ(x) est unréel(ou un complexe). Ce n’est pas un vecteur !
Exemples d’hyperplans: (démo un peu plus bas) - L’ev des matrices detrace nulleH=©
M∈Mn(R) / trM=0ª
. Hyperplan deMn(R) . dimensionn2−1.
- L’ev des polynômes réels de degré≤nvérifiantP(a)=0 (aveca∈Kfixé). Hyperplan deRn[X]. dimn - L’ev des polynômes de degré≤nvérifiantR1
0 P(t) dt =0. Hyperplan deRn[X]. dimension (n+1)−1=n
Théorème : Leshyperplanssont exactement lesnoyaux des formes linéaires non nulles.
Démo : Attention ! Il y a 2 sens à établir.
Soitϕune forme linéaire surEnon nulle. On a Imϕ⊂K. OrKest unK-ev de dimension 1 et Imϕn’est pas l’ev nul.
nécessairement, pour des raisons de dimension, on a Imϕ=K. D’où rgϕ=dim Imϕ=1. Le théorème du rang amène immédiatement dim Kerϕ=n−1, cad le noyau est un hyperplan.
Réciproquement, soitH un hyperplan. Il faut doncconstruireune forme linéaire dont le noyau estH. On rappelle que pour construire / définir une application linéaire, une méthode est de la définir (uniquement) sur une base deE, cad pour une base (e1, . . . ,en) on définitu(ei)=fi. Ici, comme on cosntruit une forme, à l’arrivée il y a des «réels».
On prend une base (e1, . . . ,en−1) deH que l’oncomplèteen une base (e1, . . . ,en) deE. On considère donc laforme linéaireϕdéfiniesur cette base deEpar∀1≤i≤n−1,ϕ(ei)=0 etϕ(en)=1. C’est clairement une forme (car des réels) non nulle (ϕ(en)̸=0). Prouvons que Kerϕ=H.Par construction, on a Kerϕ⊃Vect (e1, . . . ,en−1)=H.Attention au raisonnement, à priori, on n’a pas égal. Par l’absurde :Sion n’avaitpas égal, pour des raisons de dimension (il n’en
«manque» qu’un), onauraitalors Kerϕ=E. Doncϕseraitnulle.Absurde.
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Remarques
• Ce théorème permet de montrer très rapidement hyperplan (2 choses : sev et dimn−1), sans chercher à trouver une base de cardinaln−1. En reprenant les 3 exemples vus plus haut, le lecteur s’assurera de lui-même que les 3 sev sontclairementlesnoyauxdes 3 formes linéaires suivantes non nulles (linéaire et forme étant tout aussi «immédiat») :
ϕ:
Mn(R) −→ R
M 7−→ trM ψ:
Rn[X] −→ R
P 7−→ P(a) ζ:
Rn[X] −→ R
P 7−→
Z 1 0
P(t) dt
• La forme linéaireϕtelle que Kerϕ=Hest «unique à un scalaire près», cad les autres sont lesαϕ.
Equations d’un hyperplan
SoitHun hyperplan deE. Il est donc le noyau d’une forme linéaireϕnon nulle. Prenons une base quelconque deE :E =(e1, . . . ,en). Comme c’est une forme,ϕ(ei)=ai ∈K(un réel ou un complexe). Par linéarité, il vient, pour tout vecteurxde coordonnées (x1, . . . ,xn), ou autrement ditx=x1e1+ · · · +xnen, il vient :
ϕ(x)=x1ϕ(e1)+ · · · +xnϕ(en)=a1x1+ · · · +anxn
Théorème : Soit un HyperplanH deE. Alors une équation deH dans une base quelconque est du type a1x1+· · ·+anxn=0. Cette équation est unique (à une constante multiplicative près), pour une base donnée.
Remarques
• Si on choisit une base «adaptée» à l’hyperplan deH, cad une base deHcomplétée, alors l’équation sera xn=0. (je vous laisse y réfléchir). En fait on peut même choisir la base (un «changement de repère») pour que l’équation soitxi=0.
• Attention doncmaintenant à ne pas tomber dans le piège : l’équation (par exemple) 2x+y=0 est l’équa- tion d’une droite est une assertionfausse! C’est une droitesion est dansR2, un plansi on est dansR3, ni une droite, ni un plan si on est dans une dimension supérieure. Par contre, c’esttoujours un hyperplan.
D’ailleurs un hyperplan deR2est une droite est un hyperplan deR3est un plan. . .
• En considérant un système de 2 équations, avec (a1, . . . ,an) et (b1, . . . ,bn)non colinéaires:
a1x1+ · · · +anxn = 0 b1x1+ · · · +bnxn = 0 Alors c’est «l’équation» d’unR-evF, sous-ev deEde dimensionn−2.
Démo : En effet, si on écrit chacune des 2 équations comme celle d’un hyperplanHi, on aF=H1∩H2, puis dim(H1∩H2)=dimH1+dimH2−dim(H1+H2). En de rappelant queH+D=E avecD̸⊂H. CommeH2est un hyperplan contenant au moins une droiteD2non incluse dans H1, il vientH2+H1⊃D2+H1=E, donc H2+H1=E, puis dim(H1+H2)=n. Finalement dim(H1∩H2)=n−1+n−1−n=n−2.
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