Dérivation des équations de Schrödinger non linéaires par une méthode des caractéristiques en dimension infinie

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par une méthode des caractéristiques en dimension infinie

Quentin Liard

To cite this version:

Quentin Liard. Dérivation des équations de Schrödinger non linéaires par une méthode des caractéris- tiques en dimension infinie. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Rennes 1, 2015.

Français. �NNT : 2015REN1S126�. �tel-01269730v2�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Mathématiques et applications

Ecole doctorale Matisse

présentée par

Quentin Liard

Préparée à l’unité de recherche 6625 du CNRS : IRMAR Institut de Recherche Mathématique de Rennes

U.F.R de Mathématiques

Dérivation des équations de

Schrödinger non linéaires par une méthode des

caractéristiques en dimension infinie

Thèse soutenue à Rennes le 8 décembre 2015

devant le jury composé de :

Mathieu LEWIN

Directeur de Recherche, CNRS / rapporteur

Jérémy FAUPIN

Professeur, Université de Lorraine / rapporteur

Clotilde FERMANIAN

Professeur, Université Paris Est- Créteil Val de Marne / examinateur

Françoise TRUC

Maître de conférences, CNRS Université de Grenoble 1 / examinateur

François CASTELLA

Professeur, Université de Rennes 1 / examinateur

Zied AMMARI

Maître de conférences, Université de Rennes 1 / directeur de thèse

Francis NIER

Professeur, Paris XIII / co-directeur de thèse

une méthode des caractéristiques en dimension infinie

Quentin Liard

Université de Rennes 1 - Laboratoire Irmar

October 15, 2015

Contents

1 Introduction 4

1.1 Cadre général . . . . 4

1.1.1 Dynamique de champ moyen . . . . 5

1.1.2 Approximation de champ moyen vers l’état fondamental . . . . 14

1.2 Problématique et résultats . . . . 18

1.3 Plan de la thèse . . . . 20

2 Second Quantization and Wigner measures 22 2.1 Creation, annihilation operators . . . . 22

2.1.1 Finite dimensional calculus . . . . 22

2.1.2 The Fock space . . . . 28

2.1.3 Wick quantization . . . . 31

2.1.4 Extension to Wick sesquilinear forms . . . . 34

2.2 Wigner measures . . . . 38

2.2.1 Semi-classical measures in finite dimension . . . . 39

2.2.2 Wigner measures in a infinite dimensional Hilbert space . . . . 40

2.2.3 Lack of compactness . . . . 44

2.2.4 Relationship between Wick observables and Wigner measures . . . . 46

3 Measure valued solutions to Liouville’s equation 49 3.1 Result . . . . 52

3.2 Examples . . . . 58

3.3 Appendix . . . . 62

3.3.1 The disintegration theorem . . . . 62

3.3.2 Tightness . . . . 62

3.3.3 Projection in finite dimension . . . . 63

4 Mean field theory: The multiparticle interaction 65 4.1 Introduction . . . . 65

4.2 Quantum and mean-field dynamics . . . . 69

4.2.1 Self-adjoint realization . . . . 69

4.2.2 The nonlinear (Hartree) equation . . . . 71

4.3 Propagation of Wigner measures . . . . 73

4.3.1 The main convergence arguments . . . . 73

2

4.3.2 Existence of Wigner measures for all times . . . . 74

4.3.3 The Liouville equation fulfilled by the Wigner measures. . . . 76

4.3.4 Convergence toward the mean field dynamics . . . . 79

4.3.5 Evolution of the Wigner measure for general data . . . . 81

4.4 Examples . . . . 81

5 The general case with a two-body singular potential 86 5.1 Introduction . . . . 86

5.2 Preliminaries and results . . . . 88

5.2.1 Results . . . . 91

5.2.2 Examples . . . . 93

5.3 Properties of the Quantum Dynamics . . . . 99

5.3.1 Selfadjointness . . . 100

5.3.2 Invariance property . . . 101

5.4 Duhamel’s formula . . . 102

5.4.1 Commutator computation . . . 102

5.4.2 Integral equation . . . 104

5.5 Convergence arguments . . . 105

5.5.1 Convergence of B

J

ptq . . . 105

5.5.2 Existence of Wigner measures for all times . . . 108

5.6 The Liouville equation . . . 110

5.6.1 Properties of measure-valued solutions to Liouville equation . . . 110

5.6.2 End of the Proof of Theorem 5.2.2 . . . 113

5.7 Ground State Energy . . . 114

5.7.1 Upper bound . . . 115

5.7.2 Lower bound . . . 115

Bibliographie générale 123

Chapter 1 Introduction

1.1 Cadre général

Le sujet de cette thèse est la dérivation de la limite de champ moyen par une méthode des caractéris- tiques en dimension infinie. L’approximation de champ moyen est un concept bien connu en physique, effectif dans de nombreux modèles. Considérons pour commencer un nombre N de particules quan- tiques identiques, dans l’espace de configuration R

, interagissant deux-à-deux à travers un potentiel scalaire W . La mécanique quantique est le cadre adéquat pour décrire un tel système par le biais des fonctions d’onde Ψ

P L

p R

q de norme un, ou plus généralement des états à trace, et des ob- servables. Dans la suite on adoptera la notation ’bra-ket’, utilisée par les physiciens (i.e. | Ψ

y ou xΨ

|). Ainsi la mesure d’une grandeur physique correspond à l’évaluation d’un observable A dans l’état %

“ |Ψ

yxΨ

| (projecteur orthogonal engendré par Ψ

), i.e.,

xAy

“ xΨ

, AΨ

y

“ Tr rA%

s. (1.1.1) Le système de N particules est décrit par le Hamiltonien adimensionné suivant:

H

“

N

ÿ

i“1

A

` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

W

. (1.1.2)

Ainsi, l’Hamiltonien H

se décompose en une partie énergie cinétique H

: H

“

N

ÿ

i“1

A

“

N

ÿ

i“1

Id b ¨ ¨ ¨ b A lo omo on

i^èmeposition

b ¨ ¨ ¨ b Id , (1.1.3)

et un potentiel W

donné par la somme des interactions entre les particules i et j : W

“ 1

N ÿ

1ďiăjďN

W

. (1.1.4)

La constante de couplage

correspond à l’échelle propre au champ moyen. En effet, dans ce cas, l’interaction est proportionnelle à la partie énergie cinétique quand le nombre de particules N grandit.

4

L’opérateur autoadjoint A agit sur un domaine D Ă L

pR

q , alors que le potentiel W

agit sur un espace D

Ă L

p R

q b L

p R

q » L

p R

q. En pratique, dans le cadre des particules non relativistes, l’opérateur A est de la forme A “ ´∆ ` U avec U une fonction mesurable. Les particules libres, confinées dans un piège ou sous influence d’un champ magnétique couplé avec un champ électrique feront également l’objet d’une étude dans cette thèse. D’un autre coté, le potentiel W

est de la forme W px

´x

q où x

, x

P R

jouent le rôle des positions des particules i et j avec W un potentiel singulier remplissant les conditions suffisantes d’existence et d’unicité globale pour une équation classique de type (Hartree).

1.1.1 Dynamique de champ moyen

Le système est décrit à l’instant t par une fonction d’onde Ψ

ptq P L

p R

q selon l’équation de Schrödinger

# iB

Ψ

ptq “ H

Ψ

ptq

Ψ

p 0 q “ Ψ

. (Schrödinger à N corps)

Ainsi cette équation linéaire admettra une solution sous la condition d’une réalisation autoadjointe de l’opérateur H

(1.1.2). Un des premiers résultats dans ce sens se trouve dans le travail de Kato dans les années 1950 où il considera une perturbation de type multiplication W

“ W px

´ x

q avec W satisfaisant les hypothèses du théorème de Kato-Reillich [100, Théorème X.12] et l’opérateur A “ ´∆. L’interaction W

étant une perturbation d’un hamiltonien libre, l’approche par le [100, Théorème X.17] a permis d’étendre l’existence de solutions à l’équation (Schrödinger à N corps) pour des formes quadratiques relativement bornées par rapport à l’hamiltonien libre H

(1.1.3). Ainsi la réalisation autoadjointe de H

permet de définir la solution Ψ

ptq “ e

Ψ

. En poursuivant l’analogie avec les opérateurs à trace, l’évolution d’états quantiques %

ptq est donnée par l’équation de Von Neumann

# iB

%

ptq “ rH

, %

s “ H

%

´ %

H

%

p0q “ |Ψ

yxΨ

|. (Von Neumann)

Dans cette thèse nous nous intéresserons aux particules de spin entier qui obéissent à la statistique de Bose-Einstein: les bosons. L’étude des particules bosoniques est motivée par de nombreux phénomènes quantiques tels les transitions de phase dans le cadre de la superfluidité, les condensats de Bose-Einstein pour des atomes ultra-froids ou encore l’étude de vortex en supraconductivité. Dans la nature, le photon, les gluons ou encore les particules responsables de l’interaction faible (Z

, W

, W

) sont des bosons.

Mathématiquement, la statistique de Bose-Einstein se traduit pour les bosons par une symétrie dans leur fonction d’onde. En effet pour x

, ..., x

P R

la fonction d’onde Ψ

p x

, ..., x

q est inchangée après permutation des variables, i.e:

Ψ

px

, ..., x

q “ Ψ

px

, ..., x

q, @σ P Σ

, (1.1.5) où Σ

désigne le groupe symétrique à N éléments. Par la suite on s’intéressera au sous espace des fonctions symétriques L

p R

q :“ S

pL

p R

qq où S

désigne la projection orthogonale

S

Ψ

px

, ¨ ¨ ¨ , x

q “ 1 N !

ÿ

σPΣN

Ψ

px

, ¨ ¨ ¨ , x

q.

Revenons à présent à notre système de N bosons. L’approximation de champ moyen consiste à consid- érer qu’une particule évolue dans un champ moyen généré par l’ensemble des autres particules. Pour un système de bosons dont l’évolution est gouvernée par l’équation (Schrödinger à N corps), l’essentiel des corrélations entre les particules se trouve dans l’état initial. En effet, en considérant des états quan- tiques décorellés (états factorisés) de la forme Ψ

“ Ψ

avec Ψ P L

p R

q l’approximation de champ moyen se traduit par

e

Ψ

« Ψ

, N grand, (1.1.6)

avec Ψ

P L

p R

q une fonction qui satisfait l’équation de champ moyen classique, aussi appelée équa- tion de Hartree,

# i B

z

“ B

h p z

, z ¯

q

z

“ Ψ , (Hartree Générale)

avec

hpz, zq “ xz, Azy ¯

` 1

2 xz

, W

z

y

, (Energie de Hartree) qui est appelée énergie de champ moyen (ou énergie de Hartree). Dans le cadre du Hamiltonien libre à une particule A “ ´∆ et d’une interaction W

“ W px

´x

q, l’équation de Hartree s’écrit simplement

# i B

z

“ Az

` W ˚ | z

|

z

z

“ Ψ. (Hartree)

La non-linéarité dans ces équations (Hartree Générale)-(Hartree) traduit l’idée d’interaction moyenne quand le nombre de particules est grand. Expérimentalement, l’approximation de champ moyen devient souvent effective dès que le nombre de particules N dépasse quelques dizaines. L’approximation (1.1.6) traduit l’idée que les corrélations entre les particules existent mais qu’elles sont négligeables quand le nombre de particules est grand. Mais quel sens mathématique donné à l’expression (1.1.6)? En mé- canique quantique les quantités introduites en (1.1.1) vont permettre de donner un sens à la dynamique de champ moyen.

Historique des résultats sur la dynamique de champ moyen

Dans cette partie, on abordera les différents résultats obtenus depuis les années 1970. La validation mathématique de cette approximation a commencé par l’étude d’états quantiques bien précis (états décorellés, états cohérents). La plupart des résultats concerne le cas de l’opérateur à une particule A “ ´ ∆ ` U et une interaction W

“ W p x

´ x

q où W est une fonction dont la régularité sera discutée et U un potentiel soit confinant soit une perturbation du Laplacien. Le cadre de bosons non- relativistes sous influence d’un champ magnétique couplé avec un champ électrique a fait l’objet d’une étude plus récente que l’on commentera. La vraie question qui a motivé les travaux d’un point de vue mathématique est la validation de la limite de champ moyen pour des potentiels coulombiens. Cela fut effectuée plus récemment dans les années 2000.

La dynamique de champ moyen a commencé par une étude de Hepp dans [63], par la méthode sus-

nommée. Les états quantiques considérés sont dits cohérents (on donnera une définition précise de

cette notion par la suite) et l’approximation de champ moyen est effective pour des potentiels U et

W très réguliers. Ensuite, le travail de Ginibre et Vélo [52] a permis d’étendre de façon significative l’approximation pour des potentiels singuliers W ayant une singularité locale et une décroissance con- trôlée à l’infini pour de grandes dimensions (n ě 5) et de type L

p R

q X L

p R

q avec p ą

. Une condition supplémentaire est requise sur W

“ max t´ W, 0 u pour assurer la conservation de l’énergie et le caractère globalement bien posé de l’équation (Hartree). Cependant cette extension proposée par Ginibre et Vélo pour des potentiels de ce type ne couvre que des états dits cohérents et utilise fortement la structure de l’espace de Fock et la seconde quantification. Ainsi, cela n’inclut pas les états initiaux avec un nombre fixé de particules Ψ

.

En 1980, une autre approche introduite par Spohn dans [110] a permis de prouver un théorème de convergence pour des états quantiques décorellés sous la condition que A et W

soient des opéra- teurs bornés autoadjoints. Introduisons la notation Tr

qui définit les traces partielles indexées par n, n ` 1, ..., N et Tr

qui désigne la trace sur le n-ième espace de Hilbert L

p R

q.

Theorem 1.1.1. Soit %

“ %

un état quantique normalisé avec % P LpL

p R

qq et Tr r%s “ 1. Alors

NÑ`8

lim Tr

re

%

e

s “ %ptq

,

en norme trace sur les applications bornées de L

p R

q. L’opérateur %ptq satisfait l’équation de Hartree au sens de Von Neumann, i.e

iB

%ptq “ rA, %ptqs ` Tr

rW

` W

, %ptq b %ptqs. (1.1.7) La méthode utilisée par Spohn consiste à écrire une série perturbative pour la quantité

Tr

p e

%

e

q ,

car celle-ci vérifie une équation différentielle. Ainsi, de fortes conditions du théorème 1.1.1 sur le potentiel W sont requises pour faire converger la série.

Bardos, Golse et Mauser dans [18] ont ensuite prolongé l’idée de Spohn en utilisant les matrices à densité réduite et les hiérarchies (BBGKY) (Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon). Introduisons brièvement ce vocabulaire. Considérons un opérateur A borné n’agissant que sur un nombre fixé k de variables, i.e A P LpL

p R

qq, où LpL

p R

qq désigne les opérateurs bornés de L

p R

q dans L

p R

q.

En considérant un état quantique normalisé %

“ |Ψ

yxΨ

|, on définit les matrices à densité réduite grâce à leurs noyaux

γ

p x

, ..., x

; y

, ..., y

q “ ż

R^dpN´kq

Ψ

p x

, ..., x

; z q Ψ

p y

, ..., y

; z q dz. (1.1.8) Ainsi défini le noyau est symétrique par rapport aux permutations des variables px

, ..., x

q ou py

, ..., y

q.

Cela induit ainsi un opérateur sur le sous espace des fonctions symétriques L

p R

q de trace égale à un, positif que l’on note γ

. Ainsi, l’évolution d’états quantiques du type | e

Ψ

yx e

Ψ

| permet de définir une famille de matrices à densité réduite pγ

q

. Dans [19, 50] l’approximation de champ moyen est présentée sous la forme du théorème suivant.

Theorem 1.1.2. Soit Ψ P H

p R

q et Ψptq P Cp R , H

p R

qq, une solution globale continue de l’équation

de (Hartree) de régularité H

p R

q avec pour donnée initiale Ψ. Soit Ψ

une solution de l’équation

(Schrödinger à N corps) vérifiant au temps initial Ψ

p 0 q “ Ψ

. Alors pour tout k ě 1, pour tout réel t P R et pour tout opérateur compact B P LpL

p R

qq ,

NÑ`8

lim Tr rB γ

s “ xΨptq

, B Ψptq

y

. (1.1.9) La convergence (1.1.9) correspond à la convergence faible étoile dans l’espace des opérateurs à trace. La démonstration de ce théorème s’effectue en plusieurs étapes. La première consiste à établir une équation différentielle sur les noyaux γ

pX, Y q avec X P R

, Y P R

en utilisant l’équation de (Von Neumann) et on obtient

iB

γ

pX, Y q “ ´p∆

´ ∆

qγ

pX, Y q `

ř

1ďjălďk

rW px

´ x

q ´ W py

´ y

qsγ

pX, Y q

`

ř

1ďjďk

ş

R³

r W p x

´ z q ´ W p y

´ z qs γ

p X, z, Y, z q dz, 1 ď k ď N ´ 1.

(BBGKY) La seconde étape est le passage à la limite dans (BBGKY). Pour se faire, la compacité est nécessaire pour obtenir au moins l’existence d’une hiérarchie limite. Dans [19] l’existence d’une hiérarchie limite est obtenue par un potentiel W P L

p R

q ` L

p R

q borné inférieurement. Ainsi, une limite possible p γ

q

satisfait l’équation différentielle pour k ě 1

i B

γ

p X, Y q “ ´p ∆

´ ∆

q γ

p X, Y q ` ÿ

1ďjďk

ż

R³

r W p x

´ z q ´ W p y

´ z qs γ

p X, z, Y, z q dz.

(Limite BBGKY) Cependant, l’existence est prouvée dans [19] mais l’unicité nécessite une hypothèse plus forte sur le potentiel W (W borné). Cela généralise néanmoins le travail de Spohn puisque cela inclut le poten- tiel de Coulomb répulsif pour la convergence mais pas pour l’unicité. En 2001, Erdös et Yau ont démontré l’unicité pour cette hiérarchie limite (Limite BBGKY) pour un potentiel coulombien en supposant plus de régularité sur les états initiaux (typiquement un état initial Ψ dans un espace de Sobolev adapté). Ainsi, la méthode basée sur les hiérarchies (BBGKY) permet d’obtenir des poten- tiels singuliers (Coulombiens) mais ne donne pas d’information sur un éventuel taux de convergence.

Cependant, en utilisant la formulation de Duhamel dans l’expression (BBGKY) et en écrivant une série perturbative dans l’intégrande, on peut comparer la limite γ

avec les projecteurs orthogonaux

| Ψ p t qyx Ψ p t q|

et obtenir localement en temps, l’existence de constantes C ą 0 et t

ą 0 telle que Tr “ˇ

ˇ γ

´ |ΨptqyxΨptq|

ˇ ˇ

‰ ď C

N , @|t| ď t

.

Rodnianski et Schlein ont amélioré ce résultat dans [103] en utilisant la méthode de Hepp et les outils de la seconde quantification pour des potentiels W satisfaisant W p1 ´ ∆q

P LpL

p R

qq. Le taux de convergence étant donné par l’inégalité pour tout k ě 1

DCpkq, Kpkq ą 0, Tr “ˇ

ˇ γ

´ |ΨptqyxΨptq|

ˇ ˇ

‰ ď Cpkq

? N e

, @t P R .

Les mêmes auteurs ont également obtenu un taux de convergence pour les états cohérents dans [103].

Une autre méthode a été développée par Fröhlich, Graffi et Knowles dans [47] (voir aussi [48]). Elle

est basée sur un théorème d’Egorov. Ce théorème en dimension finie permet de suivre l’évolution

d’observables et l’utilisation de la quantification comme le caractère "réciproque" de la limite semi- classique ~ Ñ 0. L’idée ainsi est de voir la "réciproque" de la limite de champ moyen comme étant la seconde quantification introduite par Dirac. Le paramètre semiclassique n’est plus ~ mais l’inverse du nombre des particules

. Ainsi obtenir un théorème similaire à celui d’Egorov pour la limite de champ moyen nécessite la prise en compte d’états particuliers, les états factorisés, et d’ exploiter les symétries des fonctions d’onde. Le théorème suivant résume cette approche et ne nécessite aucune régularité pour les états initiaux.

Theorem 1.1.3. Considérons le problème à N corps pour un opérateur A “ ´∆ et une interaction W

“ W px

´ x

q avec W P L

p R

q. Notons A

l’opérateur donné par la formule suivante pour Ψ

p x

, ¨ ¨ ¨ , x

q P L

p R

q et a

un opérateur borné de L

p R

q dans L

p R

q

pA

Ψ

qpx

, ¨ ¨ ¨ , x

q “ N pN ´ 1q ¨ ¨ ¨ pN ´ p ` 1q N

` S

a

b Id

S

Ψ

˘

px

, ¨ ¨ ¨ , x

q.

On note Ψ

la solution de l’équation de (Hartree). Soit Ψ

p 0 q “ Ψ

“ Ψ p x

q ¨ ¨ ¨ Ψ p x

q un état quantique normalisé alors on a l’égalité suivante pour tout t P R ,

NÑ8

lim xΨ

p0q, e

A

e

Ψ

p0qy “ xΨ

, a

Ψ

y “: a

pΨ

q, (1.1.10) avec Ψ

px

, ¨ ¨ ¨ , x

q :“ Ψ

px

q ¨ ¨ ¨ Ψ

px

q.

Pour obtenir cette convergence (1.1.10), l’idée est d’étudier l’évolution des observables dans l’espace de Fock (espace permettant de traiter un nombre arbitraire de particules (voir Section 2) et d’obtenir une égalité au sens faible

e

A

e

“ a

pΨ

qq ` R

ptq, @p ě 1, @N P N

. (1.1.11) Le reste R

p t q se contrôle avec les extensions de Schwinger-Dyson et un contrôle uniforme en N (comptage de boucles des graphes de Feynman où chaque boucle contient une contribution d’ordre

).

La régularité se situe essentiellement dans le caractère borné de l’opérateur a

. Dans [48] les auteurs étendent la convergence (1.1.10) au cas de potentiels W P L

pR

q ` L

pR

q .

En 2009, dans [95], Pickl propose une nouvelle méthode permettant de traiter la limite de champ moyen sans utiliser les hiérarchies (BBGKY) mais plutôt des estimations de type Gronwall sur les quantités 1 ´ | Ψ p t qyx Ψ p t q| avec Ψ solution de l’équation (5.2.10). Cette idée a permis en 2012 d’obtenir un résultat d’approximation de champ moyen dans le cadre non relativiste A “ ´∆ pour des potentiels critiques en dimension 3 (W “

) et sous-critique (W “

, α ă 2). Cela a également fourni un taux de convergence pour les matrices à densité réduite dans [69]. La méthode adaptée à l’étude des états factorisés permet aussi de traiter le cadre semi-relativiste A “ ?

´∆ ` m

avec une interaction critique W “

. Ce dernier cadre a fait l’objet d’un travail d’Elgart et Schlein [39] utilisant les équa- tions (BBGKY) et de la régularité pour les états quantiques initiaux. La combinaison des méthodes introduites par Pickl, Knowles, et des hiérarchies (BBGKY) utilisées par Spohn a permis à Luhrmann dans [88] d’obtenir un résultat d’approximation de champ moyen et un taux de convergence dans le sens développé par le théorème 1.1.2 pour des bosons non-relativistes sous influence d’un champ mag- nétique A : R

Ñ R

couplé avec un champ électrique V . Le Hamiltonien à N corps dans ce cadre est donné par

H

“

N

ÿ

j“1

“ p ∇

´ iA p x

qq

` V p x

q ‰

` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

W p x

´ x

q .

Les hypothèses permettant cette convergence sont faibles au niveau de l’interaction W p x

´ x

q où W est une fonction paire mesurable de type W “

ou W P L

p R

q. Cependant le champ magnétique A et le champ électrique V ont la régularité suffisante afin d’utiliser des estimations de Strichartz mag- nétiques.

L’évolution des états cohérents a également été étudiée dans le cadre d’interactions plus singulières dans [6]. Ammari et Breteaux ont prouvé l’approximation de champ moyen, appelée dans ce cadre

"propagation du chaos", en utilisant les travaux de Ginibre, Vélo [52] et Schlein et Rodnianski dans [103] pour un potentiel W “ δ, en dimension un. Approfondissons à présent le cadre de travail de la seconde quantification pour traiter le problème de la limite de champ moyen. La stratégie développée dans les travaux récents d’Ammari et Nier [9, 10, 11, 12] puis Ammari et Falconi dans [13] est de con- server l’esprit d’un problème semiclassique, c’est-à-dire de ne plus regarder l’évolution d’observables (voir la discussion sur le théorème d’Egorov), mais plutôt de considérer la dynamique des états quan- tiques. Cette remarque se résume par l’égalité suivante. Soit %

“ | Ψ

yx Ψ

| un état quantique normalisé et A un observable quantique. Alors

Tr r %

p t q A s “ Tr r e

%

e

looooooomooooooon

Evolution des états

A s “ x Ψ

, e

Ae

loooooomoooooon

Evolution des observables

Ψ

y . (1.1.12)

Ainsi, la régularité nécessaire dans le passage à la limite va reposer sur des hypothèses sur les états quantiques initiaux (états avec masse et énergie finies). La représentation de Fock va permettre de traiter le problème dynamique et aussi variationnel. Soient a et a

, respectivement les opérateurs d’annihilation et de création (voir définition précise dans la Section 2), l’énergie du système est décrite par le Hamiltonien H

H

“ ε ż

R^d

∇a

pxq∇apxq dx ` ε

2

ż

R^2d

a

pxqa

pyqW px ´ yqapxqapyq dxdy (1.1.13)

“ ż

R^d

∇a

pxq∇a

pxq dx loooooooooooomoooooooooooon

H_ε⁰:partie énergie cinétique

` 1 2

ż

R^2d

a

pxqa

pyqW px ´ yqa

pxqa

pyq dx looooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooon

Wε:interaction

dy,

où ε va jouer le rôle du paramètre semiclassique tendant vers 0 quand le nombre de particules est grand.

Ainsi a

et a

seront d’ordre ?

ε et vérifient les relations de commutation canonique

ra

pxq, a

pyqs “ ε δpx ´ yq, ra

pxq, a

pyqs “ ra

pxq, a

pyqs “ 0. (CCR) Le changement d’échelle (qui conserve le nombre de particules) se traduit par

rε

H

s

“ H

, avec ε “ 1 N ,

où H

est le Hamiltonien à N corps introduit précédemment dans le cadre W

“ W px

´ x

q. Ainsi sous la forme (1.1.13) on peut "quantifier" au moins formellement cette énergie grâce à ce que l’on appellera la quantification de Wick ou ordre de Wick que l’on définira dans la Section 2.

hpz, zq ¯

“ H

,

avec h p z, z ¯ q l’énergie classique introduite en (Energie de Hartree). En dimension infinie la difficulté réside dans le bon choix des classes de symboles associées à des observables opérant dans l’espace de Fock. Deux types de résultats vont ainsi émerger du travail [9, 10, 11, 12]. La perte de compacité due à la dimension infinie sera compensée par la régularité des symboles de Wick (symboles à noyaux compacts) ou par des symboles ne dépendant que d’un nombre fini de variables dans le cas de la quantification de Weyl. Une hypothèse de régularité quantique sur les états, appellée condition (PI) et rappelée dans la Section 2.2.3 permet également de contourner la perte de compacité. Dans ce contexte, la méthode développée dans [12] repose sur un outil d’analyse semiclassique, les mesures de Wigner.

Elles joueront un rôle dans la dérivation de la limite de champ moyen en permettant d’établir un lien direct entre les quantités classiques et quantiques (estimations a priori, localisation des états). Nous aborderons en détails la stratégie développée par Ammari et Nier et cette thèse permettra de compléter les résultats obtenus dans [11, 12]. La prochaine définition introduit les mesures de Wigner associées à des états quantiques normalisés.

Definition 1.1.4. Soit une famille d’états normaux t%

:“ |Ψ

yxΨ

|u

. L’espace Mp%

, N P N

q des mesures de Wigner associées à la famille p%

q

est l’espace des mesures de probabilité borélienne µ sur L

p R

q tel qu’il existe une sous-suite p N

q

vérifiant:

@ξ P L

p R

q, lim

kÑ8

xΨ

, Wp ?

2πξ qΨ

y “ ż

L²pR^dq

e

dµpzq, où Wp ?

2πξq désigne le groupe unitaire de Weyl généré par l’opérateur de champ Φ p ξ q “ 1

? 2 p a

p ξ q ` a

p ξ qq avec ε “ 1 N

.

Cette définition s’étend à des états quantiques normalisés p%

q

dans l’espace de Fock, i.e pour toute suite pε

q

vérifiant lim

ε

“ 0, il existe une sous-suite pε

q

telle que lim

ε

“ 0 et

@ ξ P L

p R

q , lim

kÑ`8

Tr r W p

? 2πξ q %

s “ ż

L²pR^dq

e

dµ p z q .

Un résultat montré dans [9] affirme que l’ensemble M p %

, N P N

q est toujours non-vide (voir plus de détails dans la Section 2.2). Donc, quitte à extraire une sous-suite, on peut toujours supposer que la famille d’états p|Ψ

yxΨ

|q

admet une unique mesure de Wigner µ. Les états quantiques évolués par la dynamique

p%

ptq “ |e

Ψ

yxe

Ψ

|q

admettent une famille de mesures de Wigner M p %

p t q , N P N

q pour chaque instant t P R . L’approximation de champ moyen est effective si M p %

p t q , N P N

q “ t µ

u où µ

est la mesure image de µ par le flot de l’équation (Hartree Générale) classique.

Ainsi, la mesure de Wigner est transportée dans l’espace des phases par un flot non-linéaire. De plus, des estimations a priori au niveau quantique donne des informations sur la localisation de la mesure dans l’espace de phase. La méthode proposée dans [12] consiste à résoudre une équation de transport satisfaite par la famille pµ

q

, dans un sens faible (précisée dans (1.1.15))

B

µ

` ∇

pv

pzqµ

q “ 0, (Transport de mesures)

avec v

p z q un champ de vitesse correspondant à l’équation (Hartree) dans sa représentation d’interaction:

#

B

z “ v

pzq “ ´ie

“

W ˚ |e

z|

pe

zq ‰

z

“ z

. (1.1.14)

Détaillons à présent la méthode permettant d’obtenir l’équation (Transport de mesures). Commençons par la dérivation par rapport au temps t de la quantité

I

ptq “ xe

e

Ψ

, Wp ?

2πξqe

e

Ψ

y.

Remarquons que l’on ne s’intéresse pas directement à la solution de l’équation (Schrödinger à N corps) mais plutôt à celle dans sa représentation d’interaction, i.e.

Ψ ˜

:“ e

e

Ψ

,

avec p| Ψ

yx Ψ

|q

la famille d’états normaux initiaux. La régularité de la fonction t ÞÑ I

p t q s’obtient pour ξ P D où D désigne un domaine dense dans L

p R

q. Ainsi on peut établir une équation intégrale sous la forme suivante pour tout s, t P R

I

ptq “ I

psq ` i ż

s

x Ψ ˜

, Wp ? 2πξ q “

4

ÿ

j“1

1

N

O

pξ, uq

‰ Ψ ˜

y du, (Equation Intégrale) où O

pξ, uq désigne des polynômes de Wick. Sous une hypothèse de compacité (concernant les états normalisés Ψ

dans [11] sous la condition (PI) ou en considérant une perturbation W relativement compacte du Laplacien au sens des formes dans [12]), le passage à la limite aboutit à l’équation de Liouville suivante

˜

µ

pe

q “ µ ˜

pe

q ` i ż

s

˜

µ

ptq

pzq, e

uq du, s ă t, (Liouville) avec q

pzq “

xe

z

, W

e

z

y qui désigne la partie interaction de (Energie de Hartree).

La convergence de (Equation Intégrale) n’est valable qu’après l’extraction d’une sous-suite pour as- surer l’existence de la famille de mesures de Wigner p˜ µ

q

associées à la famille p| Ψ ˜

yx Ψ ˜

|q.

Notons p une projection orthogonale de rang fini et L p pL

p R

qq la mesure de Lebesgue associée au sous espace de dimension finie pL

p R

q. On conclut par intégrer l’expression (Liouville) par FrgspξqLppL

p R

qq où Frgspξq désigne la transformée de Fourier d’une fonction g régulière éval- uée en ξ P D. On obtient par densité l’expression suivante qui est l’équation de transport au sens faible,

i.e ż

RˆD

B

f p t, z q ` i t q

p z q , f p t, z qu d µ ˜

dt “ 0, (1.1.15) avec f une fonction lisse à support compact sur R ˆ D qui ne dépend que d’un nombre fini de variables.

On peut à présent énoncer le résultat principal de [12] sous les hypothèses:

1. A “ ´∆, W

“ W px

´ x

q, W est une fonction paire mesurable,

2. W p 1 ´ ∆ q

est un opérateur borné de L

pR

q dans L

pR

q , 3. p 1 ´ ∆ q

W p 1 ´ ∆ q

est un opérateur compact.

Theorem 1.1.5. Soit p %

q

une famille d’états quantiques normalisés dans l’espace de Fock, ad- mettant une unique mesure de Wigner µ

telle que

Tr rpN ` H

q

%

s ď C

ă 8, (1.1.16) uniformément par rapport à ε P p0, εq ¯ et pour un δ ą 0. Alors, pour tout temps t P R , la famille pe

%

e

q

admet une unique mesure de Wigner µ

. C’est également une mesure de proba- bilité sur l’espace d’énergie H

p R

q et on a l’égalité µ

“ ϕ p t, 0 q ˚ µ

. Ainsi la mesure µ

est la mesure image de µ

par le flot de l’équation (Hartree), globalement bien définie sur H

p R

q.

En notant l’espace L

pR

q ` L

pR

q des fonctions f mesurables telles qu’il existe une suite p f

q

P L

p R

q avec p ą 2 vérifiant lim

}f ´ f

}

“ 0. Ainsi, l’approximation de champ moyen est effective pour des potentiels de type L

p R q ` L

p R q, L

p R

q ` L

p R

q pour p ą 2 et W “

, λ P R en dimension 3 ou plus généralement en dimension d ě 3, les potentiels W P L

p R

q ` L

p R

q dans un cadre non confinant A “ ´ ∆. Cette approche permet ainsi d’obtenir une grande diversité d’états quantiques sous la seule hypothèse (1.1.16). Cette hypothèse est naturelle dans le sens où elle prévient la perte de masse et d’énergie à l’infini. Cette méthode implique également la convergence des matrices à densité réduite (1.1.9). On retrouve aussi la convergence des états cohérents

%

pϕq “ |Wp

? 2

iε ϕqΩyxWp

? 2

iε ϕqΩ|, ϕ P L

p R

q, Ω “ p1, 0, ...q P Γ

pL

p R

qq, (1.1.17) via l’équation suivante pour des observables de Wick (définis dans la Section 2)

lim

xe

Wp

? 2

iε ϕqΩ, b

e

Wp

? 2

iε ϕqΩy “ bpϕ

q, (1.1.18) ϕ

étant solution d’ (Hartree) avec pour donnée initiale f.

Je terminerai cet historique par un phénomène qui a connu un grand intérêt depuis une vingtaine d’années, l’apparition de "condensats", dits de Bose-Einstein. Ces derniers apparaissent expérimentale- ment pour des atomes ultra-froids en 1995 et ont été prévus par Einstein dans les années 20. Ces con- densats sont formés par des particules bosoniques qui occupent dans une proportion "macroscopique"

le même état quantique. Mathématiquement, Gross dans [60, 59] et Pitaevskii dans [96] ont décrit l’évolution d’un condensat de Bose-Einstein par l’équation susnommée

iB

z

“ ´∆z

` 8πa|z

|

z

, (Gross-Pitaevskii) avec a désignant la longueur de diffusion (voir par exemple [115] pour une définition précise). Le modèle de gaz de bosons dilués approche quand le nombre de particules N est grand l’équation non linéaire (Gross-Pitaevskii). Le hamiltonien microscopique décrivant ce système de bosons est donné par

H

“

N

ÿ

i“1

A

` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

W

p x

´ x

q , (1.1.19)

avec W

p x q “ N

W p N

x q , β P r 0, 1 s et W est une fonction mesurable régulière, à symétrie sphérique, décroissant assez vite à l’infini. Ce changement d’échelle dans l’interaction fut introduit par Lieb, Yngvason et Seiringer dans [84]. Ainsi, différents régimes apparaissent dans la limite N Ñ `8.

Le cas β “ 0 correspond à la limite champ moyen alors que β “ 1 donne la convergence suivante

NÑ`8

lim Tr r ˇ

ˇ γ

´ |Ψ

ptqyxΨ

ptq|

ˇ

ˇ s “ 0, (1.1.20)

avec Ψ

satisfaisant l’équation (Gross-Pitaevskii) et γ

désignant l’évolution des matrices à densité réduite à k particules. Donc, dans le cas β “ 1, l’équation limite est celle de (Gross-Pitaevskii) et cela a été prouvé dans des nombreux travaux (voir par exemple [42, 43, 20]). Dans le cas 0 ă β ă 1, la constante de couplage dans l’équation limite n’est plus 8πa mais plutôt b

“ ş

R^d

W pxqdx, et une convergence analogue à (1.1.20) est prouvée dans plusieurs travaux ([1] en dimension un, [40] en dimension 3). Les méthodes utilisées pour traiter cette convergence avec une interaction "moins forte"

sont souvent basées sur les hiérarchies BBGKY pour traiter des états initiaux factorisés ou cohérents.

Dans la plupart des cas étudiés dans la littérature citée, l’opérateur A est de la forme ´∆ ` U pour décrire des particules non-relativistes en l’absence de champ magnétique. Le modèle de gaz de bosons dilués a également fait l’objet de travaux d’un point de vue variationnel, et en particulier dans le cadre

"champ moyen": β “ 0, comme on le verra dans la suite.

1.1.2 Approximation de champ moyen vers l’état fondamental

Dans cette sous-section, on considère que l’Hamiltonien H

est semi-borné inférieurement. L’état fondamental du système de N particules bosoniques E

est donné par l’infimum de la fonctionnelle

E

p Ψ

q “ x Ψ

, H

Ψ

y

sous la condition de masse }Ψ

}

“ 1, i.e

E

“ inf

Ψ^pNqPQpHNq,}Ψ^pNq}“1

E

pΨ

q, (1.1.21)

où QpH

q désigne le domaine forme de l’opérateur H

. Ainsi l’état fondamental correspond au min- imum du spectre de l’opérateur H

. Notons Ψ un minimiseur (approché) de l’énergie classique de l’équation (Hartree Générale) sous la contrainte ||Ψ|| “ 1. Dans ce cadre variationnel, l’approximation de champ moyen se traduit quand le nombre de particules N est grand par

E

N « hpΨ, Ψq . (1.1.22)

Quel sens mathématique donné à cette approximation? Comme on l’a vu précédemment, l’énergie E

pΨ

q est de l’ordre de N . Ainsi le champ moyen nécessite un changement d’échelle en

et en supposant que l’énergie classique de (Energie de Hartree) est bornée inférieurement, on obtient la formulation mathématique équivalente à (1.1.22):

Theorem 1.1.6.

lim

NÑ`8

EpN q

N “ lim

NÑ`8

1

N inf

}Ψ^pNq}“1,Ψ^pNqPQpHNq

E

p Ψ

q “ inf

zPQphpz,¯zqq,}z}Z0“1

h p z, z ¯ q ą ´8 . (1.1.23)

Historique des résultats sur l’approche variationnelle de la limite de champ moyen.

Le théorème 1.1.6 a donné lieu a de nombreux travaux pour de nombreux modèles différents: des bosons avec ou sans influence de champ magnétique, ou encore des considérations plus générales pour des modèles de gaz de bosons dilués (voir discussion dans le précédent historique), en prenant en compte soit des particules non-relativistes, soit des particules semi-relativistes. Les premiers résultats établissaient une borne supérieure pour la quantité

, ce qui fut effectué par Dyson pour un potentiel d’interaction de type "sphère dure" en 1957 dans [37]. La borne inférieure a été obtenue par Lieb et Yngvason dans [85, 84] pour un potentiel d’interaction plus général (décroissant relativement vite à l’infini) avec A “ ´∆ et un gaz de bosons dans une boite de taille L. La convergence (1.1.6) a été prouvée dans le cadre d’atomes satisfaisant la statistique de Bose-Einstein dans les travaux [21, 108, 15, 56, 77, 67]. Le Hamiltonien considéré dans ce cadre est le suivant

H

“

N

ÿ

i

“ ´ ∆

´ 1 t|x

|

‰ ` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

1

|x

´ x

| , (1.1.24) avec t une donnée inhérente au système. Le modèle de Lieb-Liniger a également fait l’objet d’une étude dans les travaux [83, 80, 105]. Il correspond à l’étude de gaz de bosons en dimension un par l’intermédiaire du Hamiltonien H

H

“ ´

N

ÿ

j“1

B

B

j

` ÿ

1ďiăjďN

δ p x

´ x

q , (1.1.25)

où δ est la distribution de Dirac. La plupart des résultats concernant l’approximation du Théorème (1.1.6) sont liés à la théorie perturbative de Bogoliubov introduite en 1947 dans [24].

Limite thermodynamique:

Dans l’étude de gaz de bosons dilués dans une boite Λ de taille L en dimension 3, l’Hamiltonien est donné par l’expression (1.1.19) avec β “ 0 et un potentiel W très régulier, positif décroissant plus vite que

à l’infini. L’état fondamental EpN, Lq dans ce cadre dans la limite, dite thermodynamique quand N et L tendent vers l’infini avec une densité de particules fixée donnée par % “

. L’énergie par particules est dénotée

e

p%q :“ lim

LÑ`8

Ep%L

, Lq

%L

. La limite pour une densité faible est donnée par l’égalité

lim

%a³Ñ0

e

p%q 4π%a “ 1,

avec a la longueur de diffusion associée au potentiel W (voir [115] pour une définition détaillée). Pour des gaz de bosons dilués, l’idée est de considérer l’énergie associée à chaque paire de particules comme étant "asymptotiquement" indépendante dans l’esprit de l’approximation suivante

E p N, L q « 1

2 N p N ´ 1 q E p 2, L q « 1

2 N

8πa 1

L

“ N 4πa%.

La convergence dans ce cadre a été étudiée, en dimension 3, par Lieb, Seiringer, Solovej et Yngvason dans [87, 85, 82] et dans [84] pour des bosons piégés en dimension 2 (voir aussi [86]). Les ordres supérieurs pour cette convergence ont fait l’objet des travaux [81, 71, 55, 41] ou [57] pour des bosons confinés, et sont toujours basés sur la méthode développée par Bogoliubov. Dans [76] les auteurs ont étendus les résultats de [57] pour des gaz de bosons dilués confinés en dimension 2, 3 dans un cadre très général incluant également le cadre d’atomes bosoniques (voir l’hamiltonien (1.1.24)) par l’intermédiaire d’arguments de localisation dans l’espace de Fock et l’existence du Hamiltonien de Bogoliubov H via l’approximation suivante quand N Ñ `8

H

« N inf

zPQphq,}z}Z0“1

h p z, z ¯ q ` H ` o p 1 q .

L’approximation de champ moyen (de Hartree) donne le premier ordre et la théorie perturbative de Bogoliubov prévoit le premier et les termes suivants en étudiant H.

Limite de Gross-Pitaevskii:

L’approximation vers l’état fondamental a également été motivée par l’étude des condensats de Bose- Einstein, et en particulier par un autre type de limite précédemment évoqué, la limite de Gross-Pitaevskii.

Le modèle de N bosons correspondant a été introduit dans (1.1.19). Par simplicité, exposons le cadre de la dimension 3, où le Hamiltonien est

H

“

N

ÿ

i“1

´∆

` V px

q ` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

N

W pN px

´ x

qq,

avec W un potentiel régulier. La limite de Gross-Pitaevskii est un cas particulier du cadre des gaz de bosons dilués. En effet, cela revient à considérer la limite N Ñ `8 avec les rapport constants

et g :“

«

V

avec a désignant la longueur de diffusion et L la taille de la boite L “ |Λ|

et e

désignant le trou spectral de l’opérateur ´∆ ` V . Nous renvoyons à [115] ou [82] pour des présenta- tions détaillées sur les différents résultats de convergence des différentes limites évoquées. Le théorème 1.1.6 est ainsi vrai avec hpz, zq ¯ désignant l’énergie classique associée l’équation de (Gross-Pitaevskii) et fut démontré en particulier par Lieb, Yngvason, Solovej et Seiringer dans [87].

Approche géométrique:

L’approche récente de Lewin, Phan et Rougerie est basée sur une méthode géométrique introduite dans [74] pour démontrer la convergence du Théorème (1.1.6). l’Hamiltonien à N corps est donné par l’expression

H

“

N

ÿ

i“1

p´ ∆

` V p x

qq ` 1 N

ÿ

1ďiăjďN

W p x

´ x

q (1.1.26)

Ainsi, l’idée est d’utiliser le théorème (HVZ) pour décrire le lien entre le spectre essentiel de l’Hamiltonien

H

pour N particules et l’état fondamental du Hamiltonien à N ´ k particules E

pN ´ kq et celui à k

particules E

pkq. Moralement, on peut atteindre le bas du spectre essentiel en envoyant k particules du

système à l’infini. Ainsi, l’énergie totale du système est la somme de l’énergie E

p N ´ k q et l’énergie des particules placées à l’infini E

pkq :

inf σ

pH

pN qq “ inftE

pN ´ kq ` E

pkq, k “ 1, ¨ ¨ ¨ , N u. (HVZ) La convergence du Théorème (1.1.6) peut-être traitée dans le cadre abstrait donné par l’Hamiltonien H

(1.1.2) en utilisant un argument de localisation dans l’espace de Fock combiné avec les théorèmes de de Finetti quantiques. Pour des bosons confinés, l’approximation de champ moyen peut être traitée sans utiliser le théorème (HVZ). Décrivons brièvement cette approche.

Rappelons la définition (1.1.8) des matrices à densité réduite γ

:

γ

:“ Tr

|Ψ

yxΨ

|, 0 ď k ď N. (1.1.27) L’énergie par particules peut ainsi s’écrire en termes des matrices à densité réduite à un et deux corps,

x Ψ

, H

Ψ

y

N “ Tr r Aγ

s ` 1

2 Tr

r W

γ

s “ : 1

2 Tr

r H

γ

s . (1.1.28) Ainsi, on peut reformuler l’approximation vers l’état fondamental du système par

EpN q N “ 1

2 inf t Tr

r H

γ

s , γ

P P

u (1.1.29) où P

:“ tγ

P L

pb

Z

q, DΨ

P b

Z

, }Ψ

} “ 1, γ

“ γ

u. Ainsi, il suffit de décrire l’espace P

dans la limite N Ñ `8 et en particulier l’espace P

défini par l’égalité suivante P

:“ Ş

Ně1

P

. Le théorème de de Finetti quantique permet de répondre à cette question, i.e.

Theorem 1.1.7. Soit Z

un espace de Hilbert séparable et pγ

q

: Ž

Z

Ñ Ž

Z

une suite d’opérateurs autoadjoints positifs. On suppose que pour tout k, n P N

Tr

rγ

s “ γ

.

On suppose de plus que γ

“ 1. Alors il existe une unique mesure de probabilité µ sur la sphère unité S

, telle que

γ

“ ż

SZ0

| z

yx z

| dµ p z q , @ k ě 0. (1.1.30) De plus si Tr rAγ

s ă `8 pour un opérateur autoadjoint A ě 0 sur Z

, alors µ vérifie l’égalité

µpS

zQpAqq “ 0. (1.1.31)

Ce théorème est en lien avec un résultat de Stormer et Hudson-Moody dans [38, 65] qui généralise

un théorème classique de de Finetti (aussi appelé Hewitt-Sauvage). Il existe une version faible de ce

résultat présentée dans [77]. Ce dernier est un cas particulier des convergences pour les mesures de

Wigner introduit par Ammari et Nier dans [11, 12] et qui feront l’objet d’un rappel dans la Section 2.2.

L’égalité (1.1.30) permet d’écrire les éléments γ

de P

au moyen d’une mesure de probabilité µ sur la sphère S

. Ainsi la convergence (1.1.6) se prouve en remarquant (formellement) que

1

2 Tr

rH

γ

s Ñ 1 2

ż

S_Z

0

xz

, H

z

y dµpzq “ ż

S_Z

0

hpz, zq ¯ dµpzq ě inf

zPQphq,}z}Z0“1

hpz, zq, ¯ (1.1.32) car µ est une mesure de probabilité sur la sphère S

. Dans un cadre très abstrait, avec ou sans champ magnétique, sous l’hypothèse que l’Hamiltonien libre à une particule ait une résolvante compacte, l’approximation (1.1.6) est vérifiée pour des potentiels satisfaisant des conditions de décroissance "na- turelles" (potentiel à deux corps relativement borné par rapport au Hamiltonien libre à une particule).

Pour un système non confiné, la version faible du théorème de de Finetti ne suffit pas. Ainsi, dans le cas invariant par translation (A “ ´ ∆ et W

“ W p x

´ x

q), le manque de compacité se gère au moyen d’inégalité de liaison "binding inequalities" (conséquence du théorème (HVZ)), i.e. E

pN q une valeur propre isolée si et seulement si

E

pN q ă E

pN ´ kq ` E

pkq, @k “ 1, ¨ ¨ ¨ , N.

Au lieu de considérer une inégalité de liaison au niveau quantique, Lewin, Nam et Rougerie supposent uniquement cette inégalité vraie pour l’état fondamental de l’énergie classique (Energie de Hartree) et ainsi le résultat [77, Théorème 4.5] valide l’approximation de champ moyen sous des hypothèses de décroissance des potentiels V, W . Nous terminerons cette section par mentionner que les mêmes auteurs ont adapté cette méthode également pour un système de bosons confinés dans le cadre de la limite de Gross-Pitaevskii (voir [75]).

1.2 Problématique et résultats

Nous souhaitons établir une méthode générale qui inclut les résultats précédents et qui les complète.

L’idée est de rendre effectif l’approximation dynamique de champ moyen via l’approche des mesures de Wigner pour un Hamiltonien H

abstrait introduit dans (1.1.2). Le résultat d’Ammari et Nier 1.1.5 peut également être complété dans un cadre d’interaction avec un nombre fini de corps sous une condition de compacité pour une famille générale d’états normaux dans l’espace de Fock. Dans le cadre d’une interaction à deux corps, en travaillant ’localement’ dans l’espace de Fock, l’approximation de champ moyen sera validée pour des états quantiques d’énergies finies, i.e

DC ą 0, xΨ

, H

Ψ

y ď CN, (1.2.1)

pour des potentiels plus singuliers. L’idée est de valider le théorème 1.1.5 pour des potentiels W sin-

guliers, sous critiques, i.e pour lesquels l’équation d’(Hartree) est globalement bien posée. L’existence

et l’unicité de l’équation de Hartree a été traitée dans le cas non relativiste sans champ magnétique par

Ginibre et Vélo dans [54] pour des potentiels très singuliers (décroissance à l’infini et singularité en

0), ou dans un cadre avec champ magnétique par [91], ou encore abstrait pour un hamiltonien libre

A borné inférieurement par [28]. Cependant certains potentiels ne garantissent pas l’existence d’une

dynamique quantique, ni même le caractère autoadjoint de H

. Il apparait ainsi que l’on souhaiterait

valider l’approximation de champ moyen dans le cadre d’un espace de Hilbert séparable Z

pour des