Fiche : Quelques méthodes sur les suites
I - Suites récurrentesun+1=f(un)
Dans toute cette section, on considère une fonctionfdéfinie et continue sur un intervalleIet la suite (un)n∈N∗définie par :
(u0∈I
un+1=f(un) ∀n∈N.
I.1 - Préliminaire : Étude de la fonctionf Méthode 1
La suite (un)n∈N∗étant définie par la relation de récurrence un+1=f(un), les propriétés de la fonction fpermettent de déduire des propriétés de la suiteu.
Il est donc essentiel d’étudier la fonctionf (croissance, bornes, ...) et d’utiliser ses propriétés pour l’étude de la suiteu.
Remarque 1
Dans les sujets de concours, l’étude de la fonctionf fait souvent l’objet d’une première partie qui précède l’étude de la suiteun+1=f(un).
Il faut donc penser à utiliser les résultats démontrés surfpour faciliter l’étude de la suiteu.
I.2 - Suite bien définie Méthode 2
La suite (un)n∈N∗est bien définie si on peut calculerf(un) pour toutn∈N.
Il s’agit donc de vérifier (souvent par récurrence) que :∀n∈N,un∈Df, domaine de définition def. I.3 - Majoration, minoration
Méthode 3
Il s’agit de montrer (souvent par récurrence) que : ∀n∈N, m⩽un⩽M.
• Si la formule de récurrence est assez simple, on peut montrer le résultat à la main.
• Sinon, on peut utiliser les variations de la fonctionfdans la récurrence.
⋆ Soit en remarquant quef([m;M])⊂[m;M] à l’aide du tableau de variations.
⋆ Soit en appliquantf à l’inégalitém⩽un⩽M.
Par exemple, sifest croissante :
m⩽un⩽M⇐⇒f(m)⩽f(un)⩽f(M)⇐⇒f(m)⩽un+1⩽f(M) Il s’agit alors de vérifier que m⩽f(m) et f(M)⩽M.
Ce résultat pourra être utile pour montrer la convergence de la suiteuen fournissant un majorant ou un minorant de la suite.
Remarque 2
Cette encadrement (majoration et/ou minoration) pourra être utile pour montrer la convergence de la suiteuen utilisant le théorème de la limite monotone (suite croissante majorée ou décroissante minorée).
I.4 - Variations deupar l’étude du signe dex7→f(x)−x Méthode 4
• Pour étudier les variations deu, on peut étudier le signe de la fonction x7→f(x)−x.
⋆ On montre par exemple que :f(x)−x⩾0 pour toutxappartenant à un certain intervalleI.
⋆ On applique alors ce résultat avecx=unen vérifiant au préalable que pour toutn∈N,unappar- tient bien àI.
⋆ On obtient alors le signe de :un+1−un=f(un)−un(positif sur notre exemple), ce qui donne les variations de la suiteu.
Remarque 3
L’étude du signe de la fonction x7→f(x)−xfait souvent l’objet d’une question lors de l’étude de la fonctionf. Pensez donc à bien repérer ce genre de question pour l’utiliser si besoin.
I.5 - Variations deulorsquefest croissante Méthode 5
Lorsquefest croissanteet queu0est connu, on peut obtenir les variations deuen raisonnant par récurrence.
Deux cas se présentent.
• Siu1⩾u0, on montre que (un)n∈Nest croissante : P(n) :un+1⩾un.
En effet, commefest croissante, on obtient après initialisation, dans la récurrence : un+1⩾un ⇐⇒ f(un+1)⩾f(un)⇐⇒un+2⩾un+1.
• Siu1⩽u0, on montre que (un)n∈Nest décroissante : P(n) :un+1⩽un. En effet, commef est croissante, on obtient après initialisation, dans la récurrence :
un+1⩽un ⇐⇒ f(un+1)⩽f(un)⇐⇒un+2⩽un+1. Remarque 4
• Le fait quef soit croissante n’implique pas que la suite sera croissante. La méthode précédente montre seulement que la suite sera monotone et que les deux cas (suite croissante ou décroissante) peuvent se produire en fonction de la position deu1par rapport àu0.
• Cette méthode nécessite de connaitreu0pour le calcul deu1lors de l’initialisation.
Si ce n’est pas le cas (par exemple si on donne seulementu0⩾0), on utilisera plutôt la méthode précédente (étude du signe dex7→f(x)−x).
I.6 - Limites éventuelles Théorème 1
Soitf:I→Iune fonction etula suite définie par : (u0∈I
un+1=f(un) ∀n∈N.
Si la suiteuconverge versℓet sifestcontinueenℓ, alorsℓvérifie l’équation : f(ℓ)=ℓ. On dit queℓest unpoint fixedef.
Remarque 5
• La continuité de la fonctionf est une hypothèse essentielle à l’application de ce théorème. Il faut donc le mentionner dans votre rédaction.
• Les seules limitespossiblesde la suiteusont les solutions de l’équationf(x)=x.
On peut parfois éliminer des solutions de l’équationf(x)=xqui ne peuvent pas être limite de la suite. Par exemple, si on a prouvé que la suiteuest positive, on peut éliminer toutes les solutions négatives de l’équationf(x)=xcomme limite possible de la suite.
• Si l’équation f(x)=x n’a pas de solution, la suiteuest divergente.
I.7 - Utilisation de l’inégalité des accroissements finis Méthode 6 : Utilisation de l’inégalité des accroissements finis
On suppose quefest définie sur un intervalleIet queℓest un point fixe def, i.ef(ℓ)=ℓ. On suppose que :
∀n∈N,un∈I f est dérivable sur I
Il existeq∈]0, 1[ tel que∀x∈I, |f′(x)|⩽q.
Alors
• L’inégalité des accroissements finis donne : ∀n∈N
|f(un)−f(ℓ)|⩽q|un−ℓ|. soit |un+1−ℓ|⩽q|un−ℓ| car f(ℓ)=ℓ.
• On montre alors par récurrence que :∀n∈N,
|un−ℓ|⩽qn|u0−ℓ|.
• Comme lim
n→+∞qn=0 (q∈]0, 1[), on conclut par le théorème d’encadrement que :
n→+∞lim |un−ℓ| =0 et donc lim
n→+∞un=ℓ Remarque 6
• Il est essentiel de bien vérifier les hypothèses d’utilisation de l’inégalité des accroissements finis.
• Il faut également préciser que ∀n∈N,un∈I pour pouvoir appliquer l’inégalité des accroisse- ments finis pourx=un.
• L’obtention de l’inégalité∀x∈I, |f′(x)|⩽q fait souvent l’objet d’une question lors de l’étude de la fonctionf. Pensez donc à bien repérer ce genre de question pour l’utiliser si besoin.
II - Suites implicites Définition 1
Une suite implicite (xn)n∈Nest une suite définie par une équationEnqui dépend den.
On trouve deux types de suites implicites.
• xnest l’unique solution de l’équationfn(x)=CavecCconstante.
La fonctionfndépend den, la constanteCne dépend pas den.C est très souvent égal à0.
• xnest l’unique solution de l’équationf(x)=cn.
La fonctionf ne dépend pas den, la constantecndépend den(souventcn=noucn=1/n).
Remarque 7
• Comme l’indique son nom, une suite implicite n’est pas explicite. A priori, elle ne vérifie pas de relation de récurrence et il n’existe pas d’expression en fonction den.
Les méthodes de la section précédente ne sont donc pas applicables.
Méthode 7
La seule information dont on dispose sur la suite (xn)n∈Nest qu’elle est solution de l’équationEn, c’est-à-dire qu’elle vérifie l’équation :
fn(xn)=C ou f(x)=cn.
Il est absolument nécessaire d’écrire cette relation pour déduire de nombreuses propriétés de la suite (xn)n∈N.
Remarque 8
• L’équation fn(xn)=C ou f(x)=cn vérifiée par la suite (xn)n∈Nest valable pour toutn∈N.
Ainsi, dans le premier cas, on peut également écrire fn+1(xn+1)=C ou encore fn−1(xn−1)=C.
Dans le second cas, on peut également écrire f(xn+1)=cn+1 ou encore f(xn−1)=cn−1.
II.1 - Existence de la suite Méthode 8
Pour montrer que la suite (xn)n∈Nexiste, il faut montrer que l’équation fn(xn)=C ou f(x)=cn admet une unique solution.
Pour cela, on utilise lethéorème de la bijectionen précisant les intervalles de départ et d’arrivée.
Remarque 9
Il est utile de dresser le tableau de variation de la fonctionfnqui va servir de support à l’étude de la suite implicite (xn)n∈N.
II.2 - Encadrement de la suite Méthode 9
Pour montrer que la suite (xn)n∈Nest majorée et/ou minorée, on utilise les variations de la fonction fnen raisonnant sur les images.
Par exemple, pour montrer que a⩽xn⩽b ou que b⩽xn⩽a.
• On commence par comparer les imagesfn(a),fn(b) par rapport àC=fn(xn).
On montre par exemple que : fn(a)⩽C⩽fn(b), soit que fn(a)⩽fn(xn)⩽fn(b).
⋆ Sifnest croissante, on pourra alors conclure que a⩽xn⩽b.
⋆ Sifnest décroissante, on pourra alors conclure que b⩽xn⩽a.
Remarque 10
Ce résultat est bien lisible sur le tableau de variations.
II.3 - Monotonie de la suite Méthode 10
Pour étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N, on utilise les variations de la fonctionfnen raisonnant sur les images.
Dans la pratique, on cherche à comparer les images fn+1(xn) etfn+1(xn+1).
• On montre par exemple que : fn+1(xn)⩾fn+1(xn+1).
⋆ Sifnest croissante, on pourra alors conclure que xn⩾xn+1.
⋆ Sifnest décroissante, on pourra alors conclure que xn⩽xn+1. Remarque 11
Ce résultat est bien lisible sur le tableau de variations.
II.4 - Convergence de la suite et limite Méthode 11 : Convergence
Comme la suite est implicite, le moyen de prouver la convergence de la suite est d’utiliser lethéorème de la limite monotone(suite croissante majorée ou décroissant minorée).
Une fois l’existence de la limite établie (notéeℓ), on peut alors passer à la limite dans la relation vérifié parxn, à savoir fn(xn)=C ou f(x)=cn, ce qui donne une équation enℓ.
