Chapitre 7 Probabilités Discrètes : Rappels, Variables aléatoires et Indépendance

Chapitre 7

Probabilités Discrètes : Rappels, Variables aléatoires et Indépendance

Dans l’aléa on met tout ce qu’on ne connaît pas !

Pour comprendre les probabilités et leur usage, il faut retenir la précédente phrase.

Les probabilités sont parmi les outils les plus puissants de modélisation que l’on connaisse. Les probabilités permettent de modéliser tout les phénomènes avec un "ça dépend". Dès que vous répondez ou que vous entendez une réponse avec un "ça dé- pend" vous pouvez mettre un modèle probabiliste derrière. Cette semaine on introduit le concept de variables aléatoires et d’indépendance.

I. Rappel de Probabilités

Définition 7.1.

— Un Univers de probabilités est l’ensemble des aléas. Il est notéΩ.

— Un évènement est un ensemble d’aléas que l’on peut observer. On le note sou- vent E. On dit que E est dans la tribu des observables^a. On note l’ensemble des évènementsA.

a. Une tribu est un objet mathématiques que vous pourrez voir dans la suite de vos études en mathématiques

Les deux prochaines définitions (Definitions??et??) ne sont pas au programme de Première mais sont nécessaires pour comprendre finement les probabilités et pouvoir écrire des énoncés rigoureux.

Définition 7.2.

Une probabilité, notée P, est une fonction qui prend en entrée un événement et donne en sortie un nombre sur [0, 1] et tel que :

— si A, B deux évènements incompatibles (i.e.A∩B= ;) alors on a : P(A∪B)=P(A)+P(B)

— P(Ω)=1

R ^{P(A∪B)=P(A)+P}(B) s’étend sur des sommes avec plus de 2 évènements et potentiellement un nombre infini d’évènements.

R On ne peut jamais avoir une probabilité négative ou plus grande que 1.¹ Définition 7.3.

Un espace probabilisé (Ω,A,P) est la donnée d’un univers, d’un ensemble d’évène- ments et d’une probabilité.

■Exemple 7.1.

Dans la vie

On va proposer un exemple d’usage de probabilité pour modéliser un phénomène réel. On se pose la question s’il va pleuvoir dans la journée de demain. Comme on ne connaît pas la réponse, on peut faire un modèle aléatoire.

Toutes les causes (inconnues) qui peuvent entraîner de la pluie (ou non) sont des aléas et sont notéesω. L’Univers est donc un ensemble abstrait inconnu.

L’évènement qui nous intéresse est : E₁=©

ω∈Ω|il pleut aujourd’huiª

Pest inconnu aussi (mais peut être approchée via des statistiques) ■

■Exemple 7.2.

En mathématiques au lycée

Un exemple plus classique est le lancer d’un dé. Dans le cas d’un exercice classique de probabilité, on pose clairement l’univers comme l’ensemble des issues de l’expérience aléatoire. Ici on aΩ={1, 2, 3, 4, 5, 6} et un exemple d’évènement est E={4, 5, 6}.

On note iciPpar P (usage courant lorsque la probabilité est connue) et : P(1)=P(2)= · · · =P(6)=1/6

■

Définition 7.4.

On note l’évènement contraire de A : ¯A. Cela correspond à l’ensemble des aléas qui ne sont pas dans A.

A¯={ω∈Ω|ω∉A}=Ω\A Propriété 7.1.

1. Si dans un de vos calculs, vous obtenez une probabilité supérieure à 1, vous devez immédiatement chercher votre erreur.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. On a pour tout A évènement : P( ¯A)=1−P(A)

Démonstration.

Remarquons que :Ω=A∪A.¯

Remarquons de même que : A∩A¯= ;. On obtient alors que : 1=P(Ω)=P(A∪A)¯ =P(A)+P( ¯A)

On obtient finalement (en soustrayantP(A) aux deux cotés de cette égalité) : P( ¯A)=1−P(A)

■

R On obtient avec cette proposition que : P(;)=0

II. Variables Aléatoires

Définition 7.5.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité.

Une variable aléatoire discrète X est une fonction partant deΩ vers un ensemble discret (par exempleN,Z, {1, 2, 3})

R L’abréviation "v.a." désigne "variable aléatoire".

Définition 7.6.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Soit X une v.a. à valeur dans un espace discret E. La loi de X est la donnée de tous lesP(X=x) pourx∈E.

■Exemple 7.3.

Jet de dès

Ωest un univers abstrait. X est la variable aléatoire représentant le nombre sur la face visible du dé.

X :Ω→{1, 2, 3, 4, 5, 6}

et est telle que :

P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)= · · · =P(X=6)=1/6 On a

P(X∈{1, 2, 3})=1/2

■Exemple 7.4.

Avec les variables aléatoires, on a de nouveaux évènements. PourΩun univers abstrait et X la variable aléatoire représentant le nombre sur la face visible du dé.

X :Ω→{1, 2, 3, 4, 5, 6}

et telle que :

P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)= · · · =P(X=6)=1/6 on a :

{X<4}={X=1, X=2, X=3}

{X>3}={X=4, X=5, X=6}

■

■Exemple 7.5.

Loi de Bernoulli

On noteB(p) la loi de Bernoulli de paramètrep∈[0, 1].

Ω={0, 1} et

P(1)=p P(0)=1−p

Donc si X suit une loiB(p) on a : P(X=0)=1−p P(X=1)=p

La loi de Bernoulli permet de modéliser UN succès/échec aléatoire. L’expérience est réussie avec probabilitépet échouée avec probabilité 1−p.

■

■Exemple 7.6.

On noteB(n,p) la loi Binomiale de paramètren,p. Elle modélise le nombre de succès dans la répétition densuccès/échecs aléatoires réussissant avec une probabilitép.

— Si X suit une loiB(1,p),alors X suit une loiB(p).

— Si X suit une loiB(2,p),alors on a : P(X=0)=(1−p)²

P(X=1)=2p(1−p) P(X=2)=p²

— Si X suit une loiB(3,p), alors on a : P(X=0)=(1−p)³

P(X=1)=3p(1−p)² P(X=2)=3p²(1−p) P(X=3)=p³

■

■Exemple 7.7.

Loi Binomiale

Pour aller plus loin que le programme de Première on va donner les loisB(n,p) pour n≥4.

On noteB(n,p) la loi binomiale de paramètren,p oùn∈Netp∈[0, 1]. Si X suit une loiB(n,p) on a :∀k∈{1, . . . ,n}

P(X=k)= µ n

k

¶

p^k(1−p)^n−k où

µ n k

¶

= n!

(n−k)!k! et n!=n×(n−1)× · · · ×2×1 Un autre moyen de calculer

µ n k

¶

est le triangle de Pascal.

Le triangle de Pascal est donné par la propriété suivante : Propriété 7.2.

Pourn∈Netpun entier naturel non nul strictement inférieur ànon a : µ n

p

¶

=

µ n−1 p

¶ +

µ n−1 p−1

¶

Cela donne visuellement le triangle de la figure et on trouve les µ n

p

¶

dans les cases du tableau de la figure Triangle de Pascal.

Pour construire ce tableau, on commence par faire une première colonne (corres- pondant àp=0) avec que des 1. Puis une première diagonale (correspondant àp=n) des 1.

Tous les autres nombres sont trouvés grâce à la proposition précédentei.e. Chaque nombre est la somme des deux nombres au dessus de lui en diagonale gauche et stric- tement au dessus.

■Exemple 7.8.

1. Pour X suivant une loiB(3, 1/3) : on va calculerP(X=0).

On a :

P(X=0)= µ 3

0

¶ µ1 3

¶₀µ 1−1

3

¶₃₋₀

= 8 27

FIGURE7.1 – Triangle de Pascal

2. Pour Y∼B(92, 1/π)P(X=1).

On a :

P(X=1)= µ 92

1

¶ µ1 π

¶1µ 1−1

π

¶₉₂₋₁

■

III. Indépendance

Définition 7.7.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Soit A, B deux événements. Soit X, Y deux variables aléatoires discrètes (à valeurs dans un espace E).

— A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)×P(B)

— X et Y sont indépendantes lorsque∀k,`∈E P(X=ket Y=`)=P(X=k)×P(Y=`)

R L’indépendance est une hypothèse de modélisation. C’est une hypothèse que le mathématicien (ou scientifique) met dans son modèle lorsqu’il y a une notion d’oubli des évènements précédents ou de non dépendance.

Propriété 7.3.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Soit A, B deux évènements indépendants. On

a :P(A∩B)=P(A)P(B) Démonstration.

En utilisant l’indépendance de A et B dans la dernière égalité, on obtient : P(A∩B)=1−P(A∪B)

=1−(P(A)+P(B)−P(A∩B))

=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B) Or on a :

P(A)P(B)=(1−P(A))(1−P(B))

=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B)

Donc finalement on obtient :P(A∩B)=P(A)P(B) ■

■Exemple 7.9.

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité.

Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes. La loi de X est donnée par : P(X=1)=1/3, P(X=3)=1/3, P(X=5)=1/3

La loi de Y est donnée par :

P(Y=2)=1/4, P(Y=3)=1/2, P(Y=4)=1/4 Calculons la probabilité :P(X=Y)

P(X=Y)=P(X=3, Y=3)

=P(X=3)P(Y=3)

=1 3×1

2

=1 6

■

Propriété 7.4.

Soit U₁, U₂, . . . , U_ndes variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de pa- ramètrep∈[0, 1]B(p).

Alors

La loi de U₁+U₂+ · · · +U_nest une loi binomiale de paramètren,p,B(n,p).

Cette proposition signifie qu’une loi binomiale de paramètren ∈Net p ∈[0, 1] a même loi qu’une somme denvariables de Bernoulli indépendantes de paramètrep.

Démonstration.

On va réaliser la preuve pourn=3.

Soit X,Y,Z trois variables indépendantes de loiB(p). On remarque que pour l’événe- ment ci-dessous on a :

{X+Y+Z=0}={X=0}∩{Y=0}∩{Z=0}

en effet pour que X+Y+Z=0 il faut que X=0, Y=0 et Z=0 car ni X ni Y ni Z ne peuvent prendre des valeurs négatives (v.a. de Bernoulli).

De même on a (pour avoir 1 il faut qu’une des trois v.a. soit égale à 1 et les autres égales à 0) :

{X+Y+Z=1}={X=1}∩{Y=0}∩{Z=0}

[{X=0}∩{Y=1}∩{Z=0}

[{X=0}∩{Y=0}∩{Z=1}

de même :

{X+Y+Z=2}={X=1}∩{Y=1}∩{Z=0}

[{X=0}∩{Y=1}∩{Z=1}

[{X=1}∩{Y=0}∩{Z=1}

Finalement on obtient :

{X+Y+Z=3}={X=1}∩{Y=1}∩{Z=1}

Or par Indépendance de X, Y et Z on a :

P({X=1}∩{Y=0}∩{Z=0})=P(X=1)P(Y=0)P(Z=0)

On remarque de même que {X=1}∩{Y=0}∩{Z=0} et {X=0}∩{Y=1}∩{Z=0} sont incompatibles.

Finalement on a :

P(X+Y+Z=1)=P(X=1)P(Y=0)P(Z=0) +P(X=0)P(Y=1)P(Z=0) +P(X=0)P(Y=0)P(Z=1) (X, Y, Z ont même loi)=3p(1−p)²

=P(B(3,p)=1)

On fait de même pourP(X+Y+Z=0),P(X+Y+Z=2),

P(X+Y+Z=3) et on obtient X+Y+Z a pour loi une loi binomiale de paramètre 3,p. ■

■

R On utilise l’abréviation i.i.d pour dire que des variables sont indépendantes et de même loi (i.i.d veut dire indépendantes et identiquement distribuées). On utili- sera beaucoup cette abréviation dans ce cours ainsi que dans le cours de statis- tiques.

Propriété 7.5.

Soit X une v.a. de loi Binomiale de paramètren∈N,p∈[0, 1]. Alors on a : P(X=0)=¡

1−p¢n

P(X=n)=pⁿ

Démonstration. Soit U1, . . . , Unune suite i.i.d de loi de Bernoulli de paramètrep. On a : X∼U₁+ · · · +U_n

et par indépendance

P(X=n)=P(U₁=1, . . . , U_n=1)

=P(U1=1)P(U2=1) . . .P(Un=1)

=p×p× · · · ×p

=pⁿ On a de même

P(X=0)=P(U1=0, . . . , U_n=0)=¡

1−p¢n

■

Exercice à faire sur feuille

■ Exercice 7.1.

Résoudre l’inégalité suivante : 1−5x

3−x ≥8

■

■ Exercice 7.2.

On donne la fonctionf :x7→ −3x⁴+5x²+1 définie surR. 1. Montrer que∀x∈Ron a : f(−x)=f(x).

2. Calculer la dérivée def.

3. Dresser le tableau de variation def(x).

■

■ Exercice 7.3.

Modéliser 5 situations avec des variables aléatoires ■

■ Exercice 7.4.

Soit U1, U2, . . . , Unune suite de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètrepreprésen- tant des succès aléatoires (arrivant avec probabilitép).

Soit G la variable aléatoire donnant l’indice du premier succèsi.e.pour toutk∈N^∗ {G=k}={U1=0, . . . , Uk−1=0, Uk=1}

Étudions la loi de G. Cette loi s’appelle la loi géométrique de paramètrep.

1. Soitk∈N^∗, calculerP(G=k).

2. CalculerP_n

k=1P(G=k)

■

■ Exercice 7.5.

Avec U₁, U₂, U₃, U₄ 4 variables aléatoires indépendante et de même loiB(p) avec p∈[0, 1] Montrer que U₁+U₂est une variable de loiB(2,p). ■