Statique Manip 1

Statique Manip 1

x x

1 2

α

Figure 1: Schéma de la balance

Pour chaque positionx1, on mesure l’angleαnécessaire pour que le système soit en équilibre.

x1 [cm] P1 [N] x1·P1 [N m] x2[cm] P2[N] x2·P2 [N m] α[^◦] x2·P2·sinα[N m]

9 0.98 0.088 18 0.49 0.088 90 0.088

15 0.49 0.074 18 0.49 0.088 60 0.076

12 0.49 0.059 18 0.49 0.088 45 0.062

Table 1: Mesures effectuées

Nous constatons que le moment total est bien nul; nous remarquons également que l’égalité est x₁P₁=x₂P₂ sinα. Les petites déviations proviennent en grande partie de la mesure de l’angleα.

Manip 2

Système à deux poulies

Pour faire un bilan des forces, nous isolons une partie du système : la poulieB et la massem(càd ce qui se trouve en dessous du pointilléFig.2). Ce sous-système est en équilibre : F1+F2=m g (en négligeant la masse de la poulie). Le système est statique, et doncF₁=F₂. La forceF_A vaut donc ¹₂m g.

Dans le cas expérimental, la valeur mesurée correspond tout à fait à la valeur attendue : le dynamomètre donneFA=¹₂m g.

Système à quatre poulies

A nouveau nous isolons un sous-système pour équilibrer les forces (voir pointillés Fig. 2). Ce sous-système, formé de la massemet de l’ensemble de pouliesB est en équilibre. On a donc :

4

X

i=1

Fi

=|m g|

F

m B

A A

F F

1 2

F

m A

A

B

F F

F F

1 2

3 4

Figure 2: Schéma 2 et 4 poulies

Le (sous-)système est statique, les F_i sont donc égales et on en tire que F_A= ¹₄m g.

Notre mesure correspond tout à fait à la valeur attendue : le dynamomètre donneF_A= ¹₄m g.

Surhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/pulleysystem_f.htmvous trouverez un applet java qui montre en temps réel la force nécessaire pour soutenir un système à nombre de poulies variable.

Manip 3

Ci-dessous sont donnés deux méthodes différentes pour calculer le centre de gravité de l’objet.

Dans les deux méthodes, l’objet est divisé en 5 parties avec des formes géométriques simples, voir Fig.4. Leur centre de gravité et leur aire sont notéesGi etAi (avec i=1, ..., 5).

Il sera nécessaire de determiner le centre de gravité et l’aire de chacune des ces 5 formes. Pour le cercle et les rectangles, les formules sont bien connus et ne sont pas donnés ici. D’autre part, les formules pour un demi-cercle et un rectangle arbitraire ne sont pas largement utilisés, et sont donnés ici:

Triangle

• Aire: A = p

p·(p−a)·(p−b)·(p−c), où a, b et c sont les trois cotês, et pest le demi périmètre du triangle,p= (a+b+c)/2

• Centre de gravité: il se trouve a l’intersection des trois médianes du triangle (une médiane relie un sommet avec un point médian de l’autre côté, voir Fig.4)

Demi cercle

• Aire: A=πr²/2

• Centre de gravité: on dénote O le centre d’un cercle complet. On divise le cercle a deux moitiés, par example avec un droite horizontal, passant par O (droite D). Le centre de gravite de chaque demi-cercle se trouve sur une droite perpendiculaire àD, qui passe parO.

La distance entre le pointOet le centre de gravité du demi cercle est égale à 4r/3π, oùrest le radius du cercle

Méthode itérative graphique

On calcule le centre de gravitéGS1 de la somme des objets 1 et 2. Puis, on détermine de façon itérative les centres de gravitéGSi des objets constitués par la somme de l’objet i+1 et du groupe d’objets ayant pour centre de gravitéG_Si−1. LaFig.4 présente la recherche du centre de gravité par cette méthode.

Recherche de GS1

La formule générale suivante permet de calculer le centre de gravitéGde plusieurs objets de masse m_i et de centre de gravitéG_i (O est un point quelconque):

−−→ OG=

P−−→

OGi·mi

Pm_i (1)

Dans le cas où l’on a que les 2 objets 1 et 2, on obtient:

−−−→OGS1=

−−→OG1·m1+−−→

OG2·m2

m1+m2

(2) En choisissantO=G2, l’expression se simplifie à

−−−−→

G2GS1=

−−−→G₂G₁·m₁ m1+m2

(3)

Comme le solide est homogène, on peut remplacer les masses m_i des objets par les aires A_i correspondantes. Pour

Notez que−−−−→

G₂G_S1et−−−→

G₂G₁sont colinéaires (G_S1se trouve sur la droite (G₂G₁)). On peut donc raisonner sur des distances plutôt que sur des vecteurs. Ainsi,

G2GS1= G2G1·A1

A₁+A₂ = 7.4·14.06

14.06 + 18.2 (4)

On trouveG₂G_S1= 3.2 cm.

Recherche de GS2

G3GS2= G3GS1·AS1

A3+AS1

(5) où AS1 est l’aire de l’objet ayant pour centre de gravitéGS1. On trouve G3GS2 = 5.6 cm. On obtient ainsi de suite,G4GS3= 3.75 cm etG5GS4= 3.8 cm.

Méthode analytique

On choisit un repère orthonormé centré enG₂ (Son origine O est égale àG₂), comme indiqué sur laFig.4. On mesure alors les coordonnées des vecteurs−−→

0G_i:

−−→0G1= (−2; 7),−−→

0G2= (0; 0),−−→

0G3= (6,8; 0,4),−−→

0G4= (2,3;−2,5),−−→

0G5= (2,5;−5,7)

−−→ OG=

P−−→

OGi·Ai

PA_i (6)

OGx=

POGix·Ai

PAi

=−2·14,06 + 6,8·15,2 + 2,3·13.44 + 2.5·49.26

14,06 + 18,2 + 15,2 + 13.44 + 49.26 = 2,1 (7)

OG_y=

POG_iy·A_i PAi

= 7·14,06 + 0,4·15,2 +−2.5·13.44 +−5,7·49.26

14,06 + 18,2 + 15,2 + 13.44 + 49.26 =−1,9 (8) On obtient−−→

OG= (2.1;−1.9).

G

G

G

G

G

G

G

G

G

Y (cm)

X (cm)

Figure 4: Recherche du centre de gravité