Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS
Ann´ee universitaire 2019-2020
Probl` eme 1 : L’´ equation de Bessel
A rendre pour le mardi 10 septembre 2019.
On ´etudie dans ce probl`eme quelques propri´et´es des fonctions de Bessel, obtenues `a partir de l’´equation diff´erentielle : (Eα) x2y00+xy0+ (x2−α2)y= 0
o`uαest un param`etre r´eel positif.
Partie I
1. D´eterminer les solutions sur Rde l’´equation diff´erentielle : z00+z= 0.
2. Pour deux r´eelsAetB, d´eterminer un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en 0 de la fonctionx7→Acos(x)+Bsin(x).
3. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante surAetB r´eels pour que la fonction x7→ Acos(x) +Bsin(x)
√x
admette une limite finie en 0+. Cette condition ´etant satisfaite, donner un ´equivalent de Acos(x)+B√x sin(x) lorsque xtend vers 0+.
Partie II
On consid`ere dans cette partie l’´equation diff´erentielle : (E1
2) x2y00+xy0+ x2−14 y= 0 dont on cherche les solutions sur l’intervalle ]0,+∞[.
1. Que peut-on dire de l’ensemble des solutions sur ]0,+∞[ de l’´equation diff´erentielle (E1
2)?
2. Soityune fonction de classeC2sur ]0,+∞[ et soitz la fonction d´efinie par : z : ]0,+∞[ →R
x 7→ x12y(x).
D´emontrer quey est solution de (E1
2) si, et seulement si,z est solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre `a coefficients constants.
3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E1
2) sur l’intervalle ]0,+∞[.
4. D´emontrer que l’ensemble des solutions de (E1
2) sur ]0,+∞[ qui poss`edent une limite finie en 0+ est un espace vectoriel de dimension 1.
5. D´emontrer qu’il existe une unique solution de (E1
2) sur ]0,+∞[, not´eef1
2, telle que : f1
2 ∼
x→0+
r2x π.
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Partie III
Dans cette partie, αest un r´eel fix´e, α≥0, et on consid`ere les ´equations diff´erentielles : (Eα) x2y00+xy0+ (x2−α2)y= 0
et
(Eα0) xz00+ (2α+ 1)z0+xz= 0.
1. On rappelle la d´efinition de la fonction Γ :
Γ : ]0,+∞[ →R
x 7→ R+∞
0 tx−1e−tdt.
Justifier que la fonction Γ est bien d´efinie, que Γ(1) = 1 et que pour toutx >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x).
2. On consid`ere une s´erie enti`ereP
anxndont le rayon de convergence est not´eRet dont la somme sur l’intervalle ]−R, R[ est not´eeS. On suppose dans cette question queRest strictement positif.
(a) Rappeler une d´efinition du rayon de convergenceR de la s´erie enti`erePanxn.
(b) On suppose dans cette question queSest solution de l’´equation diff´erentielle (E0α) sur ]−R, R[. D´emontrer quea1= 0 et :
∀n∈N∗, (n+ 1)(n+ 1 + 2α)an+1+an−1= 0.
3. On suppose que la suite (an)n≥0satisfait les deux conditions obtenues `a la question pr´ec´edente.
(a) D´emontrer que pour toutn∈N,a2n+1= 0.
(b) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP anxn. (c) D´emontrer que, pour tout entiern∈N,
a2n= (−1)nΓ(α+ 1) n!22nΓ(n+α+ 1)a0.
4. Pr´eciser la nature de l’ensemble des solutions sur ]0,+∞[ de l’´equation diff´erentielle (Eα).
5. Soity : ]0,+∞[→Rune fonction de classeC2. On d´efinit la fonctionz par :
z : ]0,+∞[ →R
x 7→ x−αy(x)
D´emontrer que y est solution de (Eα) sur ]0,+∞[ si, et seulement si, zest solution de (Eα0) sur ]0,+∞[.
6. En d´eduire que la fonctionfαd´efinie sur ]0,+∞[ par :
∀x >0, fα(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n
n!22n+αΓ(n+α+ 1)x2n+α est solution de (Eα) sur ]0,+∞[.
7. D´eterminer un ´equivalent defα(x) lorsquextend vers 0+.
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