Rappeler la définition et l’expression des racines

(1)

PCSI₁-PCSI₂ DS n˚01 - SAMEDI 19 SEPTEMBRE 2020 - 3 heures 2020-2021 La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés.

Exercice 1

QUESTIONS DE COURS - Aucune preuve n’est demandée.

1. Si 𝑄 est un nombre complexe et𝑁 un entier naturel, simplifier les sommes suivantes : (a) 1 +𝑄+𝑄²+⋅ ⋅ ⋅+𝑄^𝑁 =

𝑁

∑

𝑘=0

𝑄^𝑘=. . .?

(b) 1−𝑄+𝑄²− ⋅ ⋅ ⋅+ (−1)^𝑁𝑄^𝑁 =

𝑁

∑

𝑘=0

(−1)^𝑘𝑄^𝑘=. . .?

2. Rappeler la définition et l’expression des racines 𝑛^ièmes de l’unité (où 𝑛⩾1).

3. Compléter (i.e factoriser), si𝜃 est un réel :

1 +𝑒^𝑖𝜃 =. . . et 1−𝑒^𝑖𝜃 =. . . 4. Rappeler précisément la formule du binôme de Newton.

5. Pour chacune des applications suivantes, préciser si elle est injective, surjective, bijective. Dans le cas où elle est bijective, donner une expression de la réciproque.

(a) 𝑓 : ℝ −→ ℝ

𝑥 7−→ 𝑓(𝑥) =𝑥² . (b) 𝑔 : ℝ −→ ℝ⁺

𝑥 7−→ 𝑔(𝑥) =𝑥² . (c) ℎ: ℝ⁺ −→ ℝ⁺

𝑥 7−→ ℎ(𝑥) = 𝑥² . (d) 𝑘 : ℝ⁻ −→ ℝ⁺

𝑥 7−→ 𝑘(𝑥) =𝑥² . (e) 𝑚: ℂ −→ ℂ

𝑧 7−→ 𝑚(𝑧) = 𝑧² . Exercice 2

1. Déterminer les racines carrées de −3−4𝑖.

2. On considère le polynôme𝑃 défini par 𝑃(𝑧) = 𝑧³−𝑧²+ (−3 +𝑖)𝑧+ 6 + 2𝑖.

Montrer que ce polynôme 𝑃 possède une unique racine réelle, et déterminer celle-ci.

3. Déterminer alors toutes les racines de 𝑃.

–1/3– Lycée Faidherbe, Lille

(2)

PCSI₁-PCSI₂ DS n˚01 - SAMEDI 19 SEPTEMBRE 2020 - 3 heures 2020-2021 Exercice 3

Soit 𝜃∈ℝ.

1. Déterminer le module et un argument de 𝑧 =(

𝑒^𝑖𝜃+𝑒^3𝑖𝜃)4

. 2. Développer(𝑎+𝑏)⁴.

3. Résoudre l’équation : cos(4𝜃) + 4 cos(6𝜃) + 6 cos(8𝜃) + 4 cos(10𝜃) + cos(12𝜃) = 0.

Combien y a t-il de solutions distinctes dans l’intervalle [0,2𝜋[?

Exercice 4

Soit un réel 𝜃 ∈]0,2𝜋[et la suite complexe (𝑧_𝑛)_𝑛⩾0 par son premier terme 𝑧₀ = 1 et la relation :

∀𝑛∈ℕ, 𝑧_𝑛+1 =𝑒^𝑖𝜃𝑧_𝑛+1

2(1−𝑒^𝑖𝜃).

1. Montrer que la suite (𝑤_𝑛)_𝑛⩾0, définie par𝑤_𝑛=𝑧_𝑛− 1

2, est une suite géométrique.

2. En déduire directement, pour tout entier 𝑛 ⩾ 0, une expression de 𝑤_𝑛 puis de 𝑧_𝑛 en fonction de 𝑛 (et de 𝜃).

3. Pour tout entier𝑛 ⩾0, on définit la somme

𝑆_𝑛(𝜃) = 𝑧₀+𝑧₁+⋅ ⋅ ⋅+𝑧_𝑛=

𝑛

∑

𝑘=0

𝑧_𝑘. Montrer qu’on a :

𝑆𝑛(𝜃) = 𝑛+ 1

2 +𝑒^𝑖𝑛^𝜃² sin(_𝑛+1

2 𝜃) 2 sin(^𝜃₂) . 4. On pose¹, pour tout entier 𝑛⩾0 :

𝑇_𝑛(𝜃) = 𝑆_𝑛(𝜃)

𝑛+ 1 = 𝑧₀+𝑧₁+⋅ ⋅ ⋅+𝑧_𝑛

𝑛+ 1 .

Montrer² que l’on a :

𝑛→+∞lim (

𝑇𝑛(𝜃)− 1 2

)

= 0.

On dit que la suite complexe (𝑇_𝑛(𝜃))_𝑛⩾0 converge vers le nombre 1 2.

5. (a) Un entier𝑛étantfixé, déterminer³ la limite de𝑇_𝑛(𝜃), lorsque𝜃tend vers zéro : autrement dit calculer lim

𝜃→0𝑇𝑛(𝜃).

(b) Enfin, calculer et comparer les deux quantités :

𝑛→+∞lim (

lim𝜃→0𝑇_𝑛(𝜃))

et lim

𝜃→0

(

𝑛→+∞lim 𝑇_𝑛(𝜃) )

. Conclusion ?

1. 𝑇𝑛(𝜃)est la moyenne des𝑛+ 1 premiers termes de la suite(𝑧𝑛)𝑛⩾0. 2. Oui oui, les double-barres∣. . .∣repésentent bien le module de. . .! 3. On rappelle le résultat suivant : lim

ℎ→0

(sin(ℎ) ℎ

)

= 1

(3)

PCSI₁-PCSI₂ DS n˚01 - SAMEDI 19 SEPTEMBRE 2020 - 3 heures 2020-2021 Exercice 5

Pour tout entier naturel 𝑛⩾2, on considère l’équation suivante (𝐸_𝑛), d’inconnue 𝑧 ∈ℂ :

«𝑧^𝑛+𝑧+ 1 = 0 » (𝐸_𝑛) 1. Le cas𝑛 = 2.

Déterminer les solutions de l’équation (𝐸₂).

Vérifier qu’elles ont toutes des modules strictement inférieurs à 2.

2. Le cas𝑛 = 3.

(a) On note𝑓 :ℝ→ℝ, la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑡) = 𝑡³+𝑡+ 1.

A l’aide de l’étude de 𝑓, justifier que l’équation (𝐸₃) possède une et une seule solution réelle (que l’on notera 𝑟), et que celle-ci est dans l’intervalle ]−1,−¹₂[.

(b) On note𝑧₁ et𝑧₂ les deux autres solutions complexes de(𝐸₃)(qu’on ne cherchera pas à calculer). Si on définit le polynôme𝑃(𝑋) =𝑋³+𝑋+1, alors on sait qu’on a la factorisation :

𝑃(𝑋) = (𝑋−𝑟)(𝑋−𝑧₁)(𝑋−𝑧₂).

En déduire les valeurs de la somme (𝑧₁+𝑧₂) et du produit (𝑧₁𝑧₂) exprimées uniquement en fonction de 𝑟.

(c) Justifier l’encadrement strict : 1

2 <∣𝑧₁+𝑧₂∣<1.

De même, donner un encadrement de ∣𝑧1𝑧2∣.

(d) Si on suppose ∣𝑧₁∣⩾2, que peut-on affimer de ∣𝑧₂∣?

Justifier ∣𝑧₁∣<1 +∣𝑧₂∣, puis aboutir alors à une contradiction.

(e) Montrer que toutes les solutions de (𝐸₃) sont de modules strictement inférieurs à2.

3. On veut généraliser les résultats précédents à tous les entiers 𝑛 ⩾2.

(a) Soit un entier 𝑛⩾2.

Etudier (variations, limites, signe), sur l’intervalle [2,+∞[, la fonction 𝜑: [2,+∞[ −→ ℝ

𝑡 7−→ 𝜑(𝑡) = 𝑡^𝑛−𝑡−1 . (b) Montrer que, pour𝑧 ∈ℂ, on a l’implication, pour tout entier 𝑛⩾2 :

(𝑧^𝑛+𝑧+ 1 = 0)⇒(∣𝑧∣<2).

(c) Que penser de la réciproque de cette implication (justifier !) ?