Points extrémaux de la boule unité de L ( E )

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Points extrémaux de la boule unité de L ( E )

Leçons : 160, 161, 181 Définition 1

Un point extrémal deX est un point qui n’appartient à aucun segment[AB], où Aet B sont des points deX.

Théorème 2

SoitEespace euclidien. Les points extrémaux de la boule unité deL(E)sont les éléments deO(E)

Lemme 3

SiX est convexe, un point extrémal deX est un point qui ne peut s’écrire comme milieu de deux points distincts deX.

Démonstration.Supposons que z vérifie une telle propriété et que t x₁ + (1−t)x₂ = z où x_i ∈ X \ {z}. Quitte à échanger x₁ et x₂, on peut supposer t ¶ 1

2 et alors z = x₂ 2 + 2t x₁+ (1−2t)x₂

2 ce qui est absurde.

Démonstration (du théorème). Étape 1 : toutu∈O(E)est extrémal: Comme uest une isométrie,kuk=1. Supposons queu= v+w

2 où v,w∈B. Soit x ∈E de norme 1. Alors 1=ku(x)k=kxk¶1

2(kv(x)k+kw(x)k)¶ 1

2(kvk+kwk)¶1,

donc toutes les inégalités sont des égalités. En particulier, on a un cas d’égalité dans l’inéga- lité triangulaire pour une norme euclidienne donc il existeλ¾0 tel que v(x) =λw(x). Or, comme v,w ∈B, on a kv(x)k¶kxk=1 et kw(x)k¶1. De plus, 1

2(kv(x)k+kw(x)k) =1 donc kv(x)k=kw(x)k=1. Ainsi,λ=1 etv(x) =w(x).

Étape 2 : les éléments de B\O(E) ne sont pas extrémaux : soit uun tel élément, soitB une base orthonormée deE et Ala matrice deudans cette base. Par décomposition polaire, on peut trouverO∈O_n(R),S∈ S_n⁺⁺(R)tels queA=OS.

En outre, par le théorème spectral, il existe P ∈ O_n(R) tel que S = ^tP DP où D = Diag(d₁, . . . ,d_n)avec 0<d₁ ¶· · ·¶d_n. CommeAet O⁻¹ sont éléments de B,S l’est aussi, donc∀k∈J1,nK,d_k¶1. En effet, siB⁰= (e⁰₁, . . . ,e⁰_n)est une base de diagonalisation de de S et x=P

a_ie⁰_i, alors

kS(x)k²=X

d_i²|a_i|²¶(max

i (d_i))²kxk.

An’est pas orthogonale donc il existek∈J1,nKtel qued_k<1. Pour simplifier, on prend k=1. Il existe alorsα,β∈[−1, 1]tels qued₁ =α+β

2 . IntroduisonsD⁰=Diag(α,d₂, . . . ,d_n) et D⁰⁰=Diag(β,d₂, . . . ,d_n). On a alorsA=O^tP D⁰P+O^tP D⁰⁰P

2 .

Enfin, sikXk=1,

kO^tP D⁰P Xk² ^P^,O∈O= ⁿ^tX^tP D⁰P^tOO^tP D⁰P X =^tX^tP(D⁰)²P X =^t(P X)(D⁰)²P X ¶1

Gabriel L^EPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1

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car kP Xk = kXk = 1 et (D⁰)² a des coefficients diagonaux entre 0 et 1. Donc O^tP D⁰P et O^tP D⁰⁰P sont deux éléments distincts deB, de sorte queun’est pas extrémal.

Remarque.Selon le théorème de Krein-Milman (ou Minkowski), la boule unité de L(E) est donc l’enveloppe convexe deO(E).

Référence : Serge FRANCINOU, Hervé GIANELLA et Serge NICOLAS (2008). Exercices de mathématiques – Oraux X-ENS : Algèbre 3. Cassini, p. 130.

Gabriel L^EPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1