Les points A , B , C , D respectivement d'axes e ia , e ib , e ic , e id sont sur le cercle unité.

MPSI B Énoncé du DM 03 29 juin 2019

Exercice 1

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, les fonctions coordonnées sont notées x et y .

Les points A , B , C , D respectivement d'axes e ^ia , e ^ib , e ^ic , e ^id sont sur le cercle unité.

1. En utilisant

e ^ia + e ^ib , e ^ia − e ^ib

préciser les coordonnées d'un vecteur unitaire orthogonal à la droite (AB) et les coor- données du milieu de [A, B] .

2. Former une équation de la droite (AB) (chaque coecient contiendra seulement une fonction trigonométrique).

3. Soit M t le point d'axe e ^it , calculer la distance de M t à la droite (AB) . On la mettra sous la forme d'un produit de sinus. Peut-on écrire cette distance sans valeur absolue ? 4. Montrer que le quotient suivant est indépendant de t

d(M t , (AB)) d(M t , (CD)) d(M t , (AC)) d(M t , (BD))

Exercice 2

Ce problème

étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles.

Un triangle (A, B, C) est dit pseudo rectangle lorsque les mesures des angles géométriques A b , B b , C b (par dénition dans ]0, π[ ) vérient

B b − C b = π 2

Partie I

1. Quels sont les triangles pseudo-rectangles isocèles ? Décomposer un triangle équilatéral en trois triangles pseudo-rectangles.

2. On se donne deux points B et C et une droite passant par C faisant avec la droite (B, C) un angle γ ∈]0, ^π

[ . Comment peut-on construire un point A sur cette droite tel que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ?

D

∆

B β

γ

C

Fig. 1: D β et ∆ γ

Partie II

Soit B le point de coordonnées (−1, 0) et C le point de coordonnées (1, 0) . Pour tous réels β et γ , on dénit les droites (Fig. 1) D β et ∆ γ par :

D β passe par B et (D β \ , (BC)) = β

∆ γ passe par C et ((BC), \ ∆ γ ) = γ Attention, il s'agit d'angles orientés de droites.

1. Dans quel cas ces droites se coupent-elles ? Déterminer alors les coordonnées du point d'intersection noté A

2. Pour γ ∈]0, ^π

[ , comment doit-on choisir β pour que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ? Donner une expression simple des coordonnées de A .

Partie III

On considère un réel γ ∈]0, ^π

[ , un point B de coordonnées (−1, 0) , un point C de coor- données (1, 0) et un point A γ de coordonnées

(− 1

cos 2γ , − tan 2γ)

1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment BB

où B

est l'intersection de (BC) avec la droite perpendiculaire à (A _γ C) issue de A _γ .

1

d'après e3A 2001 M2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. Déterminer un vecteur directeur de la bissectrice intérieure en A γ au triangle (A γ , B, C) .

3. Déterminer les coordonnées du centre I γ du cercle circonscrit à (A γ , B, C) . Préciser le rayon R γ de ce cercle.

4. Déterminer les coordonnées de l'orthocentre du triangle (A γ , B, C) .

5. Former une équation cartésienne de l'ensemble des points A γ pour γ ∈]0, ^π

[ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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