Co-tutelle de thèse entre
l’Université de Caen Basse-Normandie (France) et
l’Université de Pisa (Italie) Arrêté du 6 janvier 2005
T H È S E
présentée par M. Gabriele RANIERI
et soutenue
le lundi 17 décembre 2007 en vue de l’obtenion du
DOCTORAT de l’UNIVERSITE de CAEN Spécialité : Mathématiques et leurs Applications
DOTTORATO, UNIVERSITÀ di PISA Spécialité : Matematica
Arrêté du 07 août 2006
Rang de l’image du groupe des unités ; conjecture de Bremner
MEMBRES du JURY
M. Francesco AMOROSO Professeur à l’université de Caen Directeur M. Yuri BILU Professeur à l’université de Bordeaux I Rapporteur M. Roberto DVORNICICH Professeur all’università di Pisa Co-Directeur M. Umberto ZANNIER Professeur alla scuola normale superiore di Pisa Rapporteur
Remerciements
En général au début des remerciements on dit à qui nous voulons dédier notre thèse. Je ne veux pas faire une exception. Tout d’abord je veux dédier ce travail à mon ami Michele Sonnenfeld. Une maladie incurable nous a séparés, mais elle ne pourra jamais attaquer notre amitié.
Je veux aussi dédier ma thèse à mon professeur et ami Ilario Marsili. Cher Ilario, tes cours, ta disponibilité, ta bonté, ton soutien ont été fondamentaux dans mes études et dans ma vie. Merci.
Enfin je veux dédier ce travail à mon grand-père Sabino et à mes grand-mères Alda et Genovina qui ont quitté cette terre. Je ne pourrais jamais oublier tout l’amour que vous m’avez donné.
Maintenant je peux commencer les véritables remerciements. Je tiens d’abord à remercier mon grand-père Giovanni. Personne, jamais, pourra mesurer tout le soutien, l’amour, l’amitié que tu m’a donnée et toutes les choses que tu m’a en- seignées.
J’exprime également toute ma reconnaissance à mon père et à ma mère qui m’ont toujours soutenu et aidé dans ma vie. Votre amour et votre soutien m’ont permis de surmonter toutes les adversités.
J’exprime toute ma gratitude à mon frère Daniele, et à Anastasia, bien sûr.
Merci pour votre amitié, pour nos discussions, pour les soirées ensembles,..., pour tout.
Je remercie aussi pour leur soutien mon oncle et ma tante. Je remercie mes très chères cousines Roberta et Martina, tout simplement parce qu’elles existent.
J’exprime toute ma reconnaisance aux Dottori Marco S. et Marco T. Notre amitié a toujours grandi et je pense que nous ne pourrons jamais oublier nos soi- rées entre Viareggio, Lucca et Pisa et nos participations ai rioni.
Il est également un plaisir exprimer toute ma gratitude à Emanuele, Alessio, Isabella, Marco S., Marco I. et Emiliano. Nos journées au Dipartimento di mate- matica à Pisa, nos soirées, nos jeux de rôle, nos jeux de cartes, nos dîners tous ensembles, nos grillades, le foot... Assez, il m’echappe déjà une larme. Merci.
3
Et Giulio, Fabio et Simone, est-ce que vous pensez que je vous ai oublié ? Merci pour votre amitié. Pourrons nous jamais oublier nos discussions intermi- nables sur la politique et les films de Mihazaky, nos sorties, nos soirées au cinema, nos dîners ?
Je devrais écrire un livre pour remercier tous les autres amis du Dipartimento di matematica, donc je me limite à dire merci Roberto, Laura L., Laura P., Luca C., Luca F., Dinora, Andrea, Marco C., Ylenia, Leandro, Eleonora, Gabriele, Harold, Massimiliano, Paolo, Graziella, Massimo, Fabio N., Giacomo, Raul.
Maintenant je prends l’avion de Pisa pour aller à Caen où d’abord je remer- cie mon cher ami Yawak. Ah nos quiches lorraines, notre sanglier à Volterra, nos discussions. Mais tous mes remerciements aussi à Marc, Corentin, Céline, Em- manuel, Chloé, Aleka, Thomas, Pierre G., Pierre F., Camille, Ludovic, Patrick, Louis, Mohammed, Laurent, Jean, Xavier, Ryuji, Mathieu, Benjamin. Votre sou- tien, votre amitié, votre sympathie, votre patience dans toutes les fois que j’ai demandé votre aide ont été tres importants dans mes journées à Caen. Pour ça quand je suis en Italie j’ai toujours nostalgie de la France.
J’exprime toute ma reconnaissance à mes amis (martyres) qui ont eu l’hon- neur, mais surtout le malheur, de partager le bureau111avec moi. Raffaele, Hou- ria, Hafedh, merci pour votre amitié et pour votre capacité de me supporter, même pendant mes interminables monologues.
Enfin je veux remercier tous les amis que j’ai rencontré dans les groupes de travail des mathématiques. Je pense à Ayhan, Carlos, Shabnab, Moustapha, Igna- zio, Fabien, Anna, Alex, Filippo, Philip et Karl. Merci.
Maintenant il est le moment de remercier toutes les personnes qui m’ont aidé dans cette thèse. J’exprime toute ma gratitude à mon directeur Francesco Amo- roso. Quand j’étais encore étudiant à Pisa j’avais déjà apprecié ses travaux et j’avais esperé de pouvoir devenir son étudiant. Pendant la thèse il m’a toujours donné toute sa disponibilité et tout son aide, qui a été grande et précieuse.
J’exprime toute ma reconnaissance aussi à mon co-directeur Roberto Dvorni- cich. Son aide aussi a été grande et précieuse et c’est de ses cours formidables à l’université de Pisa qu’est né mon intérêt pour la théorie des nombres.
Je tiens à remercier Yuri Bilu et Umberto Zannier qui ont accepté d’être rap- porteurs. Je suis très honoré de pouvoir présenter mes travaux à de si grands ma- thématiciens.
J’exprime toute ma reconnaissance à Bruno Anglès qui m’a beaucoup aidé
5 dans ce travail et qui m’a einsegné une infinité de choses. De plus ses groupes de travail ont été très précieux et ils m’ont permis d’apprendre beaucoup de nouvelles méthodes en théorie des nombres.
J’exprime toute ma gratitude à Andrea Bandini, John Boxall, Giovanni Gaiffi, Bernard Leclerc, Federico Pellarin, Denis Simon et David Vauclair qui m’ont bien voulu aider pendant la réalisation de ce travail avec une infinité d’idées, remarques et corrections. Grâce à vous j’ai pu apprendre d’innombrables choses.
Je remercie aussi Patrizia Gianni, André Sesboué et Denis Simon pour leur aide précieuse pour tous les calculs informatiques (en particulier avec PARI) conte- nus dans ce travail.
Je tiens à remercier Ilaria Del Corso. Il a été un très grand honneur de pou- voir faire mon mémoire avec elle et je la remercie pour sa disponibilité qu’elle a toujours montré à mes régards.
J’exprime toute ma reconnaissance et toute ma gratitude à Fulvio Lazzeri. Je ne pourrais jamais oublier toutes les discussions que nous avons eu pendant ces années, où j’ai appris beaucoup des aspects des mathématiques et de la vie. Je vous remercie pour l’infinité des choses que vous m’avez enseigné et pour votre estime et votre généreux soutien.
Enfin la tradition veut que je termine les remerciements avec quelques mots sur les mathématiques. Cependant je n’ai pas ni la capacité ni les connaissances pour dire quelque phrase intéressante. Alors je demande de l’aide au père de ma langue maternelle, Dante Alighieri. À la fin de son incroyable voyage, Dante est devant Dieu ; il écrit1:
Qual è il geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige, tal era io a quella vista nova ;
Ainsi qu’un géomètre appliqué tout entier A mesurer le cercle et qui point ne découvre Sans sa pensée le principe qu’il faut,
Je me troublai devant cette merveille :
Est-ce que c’est un event fortuit que le plus grand poète italien se compare à un mathématicien qui Non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige, pendant qu’il est sous l’extase d’un rencontre avec Dieu ? Trouvez vous la réponse.
1Divina Commedia, Paradiso, Canto XXXIII (133-136)
Table des matières
Remerciements 5
1 Introduction 9
1.1 Familles de corps proches d’un corpsCM. . . 9
1.2 Générateurs de l’anneau des entiers. . . 13
1.3 Unités hyperexceptionnelles. . . 15
2 Familles de corps proches d’un corpsCM 19 2.1 CorpsP CM. . . 19
2.2 Résultats préliminaires. . . 21
2.3 Modules sur algèbres sur groupes finis. . . 24
2.3.1 Le casM =C[G]. . . 26
2.3.2 Le casM =Vι. . . 28
2.4 Corps totalement réels. . . 37
2.5 Annullateurs du groupe des unités. . . 39
2.6 Corps totalement imaginaires. . . 41
2.7 Appendice : applications à des polynômes lacunaires. . . 44
3 Générateurs de l’anneau des entiers 49 3.1 Introduction. . . 49
3.2 Résultats préliminaires. . . 51
3.3 Preuve du théorème 3.5. . . 55
3.4 Appendice : Généralisations au corpsCM. . . 59
3.4.1 CorpsCM. . . 60
3.4.2 CorpsCM avec « peu » des racines de l’unité. . . 64
4 Unités hyperexceptionelles 69 4.1 Unités et suites exceptionnelles. . . 69
4.2 Unités hyperexceptionnelles et éléments stables. . . 72
4.3 Unités2hyperexceptionnelles. . . 76
4.4 Unités hyperexceptionnelles cyclotomiques. . . 80 7
4.5 Unités hyperexceptionnelles et ramification. . . 85
4.6 Exemples. . . 86
4.6.1 Unités hyperexceptionnelles. . . 86
4.6.2 Unités2hyperexceptionnelles. . . 87
Chapitre 1 Introduction
Nous nous intéressons à trois problèmes distincts qui correspondent aux trois chapitres de cette thèse : la caractérisation de certaines familles de corps de nom- bres introduites par F. Amoroso dans [Amo1], la généralisation d’un travail de I.
Gaál et L. Robertson ([Ga-Ro]) sur la conjecture de Bremner, et l’étude des pro- priétés d’une certaine famille d’unités. Dans les trois paragraphes suivants nous décrivons brièvement les résultats principaux obtenus dans ces trois chapitres.
1.1 Familles de corps proches d’un corps CM .
Les résultats du deuxième chapitre sont en partie l’object de l’article [Ran1].
Soit K un corps de nombres de degré d; notons ∆son discriminant et EK le groupe des unités de son anneau des entiers. SoitΓle groupe desQ-automor- phismes deK. Pour toutφ:=P
σ∈Γφσσ ∈Z[Γ], posons : kφk1 :=X
σ∈Γ
|φσ|
et, pour toutα∈K∗,
αφ:=Y
σ∈Γ
(σα)φσ. Notons aussirφle rang (surZ) du groupe
EKφ :={βφ, β ∈EK} et soit
δφ := min{h(u1) +h(u2) +. . .+h(urφ)},
oùhest la hauteur de Weil (logarithmique et absolue) et où le minimum est pris sur les familles d’unités deEKφ multiplicativement indépendantes.
9
Dans [Amo1] F. Amoroso obtient un résultat ( [Amo1, proposition 3.1]) qui entraîne une minoration pour l’exposanteK du groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombreK :
Théorème 1.1. Soitε > 0; alors il existe une constanteCε > 0telle que, sous l’hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction zêta du corpsK,
eK ≥ Cεd1−ε
kφk1(log log|∆|+rφlog(dδφ/rφ+ 2)) (1.1) avec la convention :rφlog(dδφ/rφ+ 2) = 0sirφ = 0.
Les techniques utilisées pour la démonstration de ce théorème sont une généra- lisation de celles de l’article [Am-Dv], où F. Amoroso et R. Dvornicich obtiennent des minorations pour l’exposant du groupe des classes d’idéaux d’un corpsCM. Les résultats du théorème 1.1 s’appliquent à des familles des corps K tels qu’il existeφ ∈Z[Γ]tel que :
kφk1max{rφ,1}log(dδφ/rφ+ 2) =o(d). (1.2) En particulier, il est nécessaire d’assurer
kφk1max{rφ,1}=o(d). (1.3) Nous donnons alors la définition suivante :
Définition 1.2. Soit {Kn}n∈N une famille de corps de nombres ; notons Γn le groupe desQ-automorphismes deKn,dn:= [Kn:Q]et supposons que
n→+∞lim dn= +∞.
Nous dirons que la suite {Kn}n∈N est une famille de corps proches d’un corps CM (en abrégéP CM) s’il existe des éléments non nulsφn ∈Z[Γn]tels que :
n→+∞lim
kφnk1max{rφn,1} dn
= 0. (1.4)
Remarquons que toute familleF :={Kn}n∈Nde corpsCM tels que
n→+∞lim [Kn :Q] = +∞ estP CM (paragraphe 2.1).
Un autre exemple remarquable de famille de corpsP CM (voir [Amo2]) est donné par les familles de corpsG:={Q(αn)}n∈N, oùαnest un nombre de Salem de degré≥n.
1.1. FAMILLES DE CORPS PROCHES D’UN CORPSCM. 11 Le problème de caractériser les corps P CM se pose. Notre stratégie pour donner une réponse repose sur l’étude des propriétés de certaines modules à droite de C[G], où G est un groupe fini (paragraphe 2.3). Cette stratégie nous donne une réponse dans le cas des corps de nombres totalement réels ; plus précisement (paragraphe 2.4) nous démontrons le résultat suivant :
Corollaire 1.3. Aucune famille de corps totalement réels n’est une famille de corpsP CM.
Nous considérons aussi le cas (paragraphe 2.6) des familles d’extensions ga- loisiennes de Q imaginaires. Dans ce cas nous donnons seulement une réponse partielle.
SoitK/Qune extension finie galoisienne totalement imaginaire. Alors si nous fixons un plongement de K dans C, il existe une involution1 ι ∈ Gal(K/Q) tel queι(α) = αpour toutα ∈K. Un tel élément dépend du plongement choisi. Plus précisément siτ est une involution deGal(K/Q)alors il existe un plongement de K dansC tel que τ(α) = α pour tout α ∈ K si et seulement si τ ∈ Cι, où Cι
est la classe de conjugaison deι. Dorénavant nous appellerons les éléments deCι
conjugaisons complexes.
Soit maintenant {Kn}n∈N une famille de corps de nombres totalement ima- ginaires telle que Kn/Q est une extension galoisienne ; notons Cιn la classe de conjugaison des conjugaisons complexes de Gal(Kn/Q). Le fait qu’une telle fa- mille soit une famille de corps P CM est très lié à certaines propriétés deCιn et de Hn := hCιni. Pour préciser ces propriétés nous avons besoin de la définition suivante :
Définition 1.4. Soit G un groupe fini d’ordre pair, soitι une involution de G et supposons que la classe de conjugaisonCι deι engendreG. Nous dirons queG est bien Cι-décomposable s’il existe un homomorphismef: G → Z/2Ztel que f(τ) = −1pour toutτ ∈Cι.
Grâce à l’étude des propriétés des groupes bien Cι-décomposables nous ob- tenons des critères pour établir si une famille d’extensions galoisiennes imagi- naires deQest une famille de corpsP CM. Soit{Kn}n∈N une suite de corps de nombres totalement imaginaires telle que Kn/Q est une extension galoisienne ; notons Gn := Gal(Kn/Q), soit Cιn la classe de conjugaison des conjugaisons complexes deGnet posonsHn =hCιni. Nous montrons :
Théorème 1.5. Supposons qu’il existe n0 ∈ Ntel que Hn est bien Cιn-décom- posable pour toutn ≥ n0. Si|Hn| = o(|Gn|)pourn qui tend vers+∞, alors la suite{Kn}n∈Nest une famille de corpsP CM.
1i.e. un élément d’ordre2.
Théorème 1.6. Supposons qu’il existe une constantecet un entier positifn0 tels que|Cιn| ≤cet queHnn’est pas bienCιn-décomposable pour tout entiern > n0. Alors{Kn}n∈Nn’est pas une famille de corpsP CM.
Soit K/Q une extension finie galoisienne totalement imaginaire. Toujours grâce à l’étude des propriétés des groupes bien Cι-décomposables nous détermi- nons aussi l’idéal des éléments deZ[Gal(K/Q)]qui annulent le groupe des unités de l’anneau des entiers deK (paragraphe 2.5). De plus nous construisons un cri- tère pour établir siKcontient un corpsCM; plus précisément nous montrons : Théorème 1.7. Soit K/Q une extension galoisienne totalement imaginaire de groupe de Galois G, soit Cι la classe de conjugaison des éléments de Gqui re- présentent la conjugaison complexe ; notonsH =hCιiet posons
I :={φ∈Z[G] t.q. rφ = 0}. Alors siHn’est pas bienCι-décomposable :
I =µ X
σ∈G
σ
¶
etKne contient aucun corpsCM.
Si par contreH est bienCι-décomposable etN est le groupe des éléments de H qui sontCι-pairs, nous avons
I =µ X
σ∈N
σ(1−τ),X
σ∈G
σ
¶ ,
où τ est un élément arbitraire de Cι. De plus KN est le plus grand corps CM contenu dansK etKN/Qest une extension galoisienne.
Enfin soit G un groupe fini, considérons l’algèbre C[G]. Dans l’appendice du deuxième chapitre nous décrivons une manière d’associer à un élément d’une telle algèbre un polynôme. Cette correspondance et les résultats du paragraphe 2.3 entraînent alors le résultat suivant :
Corollaire 1.8. SoitGun groupe abélien fini ; notonsd1, . . . , dkles entiers posi- tifs tels queGest isomorphe àZ/d1Z× · · · ×Z/dkZ.
SoitP ∈ C[x1, . . . , xk]un polynôme non nul tel que degxi(P)< dipour tout 1≤i≤k. NotonsΩP le nombre de coefficients deP non nuls et posons
Rd,P =|{ω ∈µd1 × · · · ×µdk t.q. P(ω)6= 0}|. Alors :
ΩP ≥ d1d2. . . dk Rd,P
. (1.5)
1.2. GÉNÉRATEURS DE L’ANNEAU DES ENTIERS. 13
1.2 Générateurs de l’anneau des entiers.
Tous les résultats du troisième chapitre à l’exception de ceux dans l’appendice (théorème 1.16, théorème 1.17 et corollaire 1.18 ci-dessous) font l’objet de la publication [Ran2].
SoitKun corps de nombres et soitOKson anneau des entiers. On dit queOK est monogène s’il existeα∈OK tel queOK =Z[α].
Il est rare (voir [Gyö2]) qu’un corps de nombres soit monogène. Par exemple M. N. Gras (voir [Gra1], [Gra2]) montre les résultats suivants
Théorème 1.9. Soit n ∈ N tel que (n,6) = 1. Toutes les extensions abéliennes de Q de degré n, sauf un nombre fini, ont un anneau des entiers qui n’est pas monogène.
Théorème 1.10. Soit K/Q une extension cyclique de degré premier l ≥ 5, et de conducteurf. AlorsOK n’est pas monogène, sauf sif est un nombre premier égal à2l+ 1(et alorsK =Q(ζf +ζf), oùζf est une racine primitivef-ième de l’unité).
Quand l’anneau des entiersOK est monogène le problème de déterminer tous les générateurs de OK (autrement dit tous les éléments α ∈ OK tels queOK = Z[α]) se pose. Plus précisément, puisque Z[α] = Z[α+k] pour tout entierk, il est intéressant de déterminer tous les générateurs α de OK à translation par en- tiers près. Dans [Gyö1] K. Györy obtient un résultat important : il montre que, à translation par entiers près, il existe seulement un nombre fini d’éléments qui engendrent l’anneau des entiers d’un corps de nombres fixé. En outre il y a beau- coup de résultats sur la détermination des générateurs de l’anneau des entiers de corps de nombres de petit degré (pour un résumé voir [Gaá]). De toute façon siK est un corps de nombres dont l’anneau des entiersOK est monogène, le problème de déterminer tous les générateurs deOKest très difficile.
Les corps cyclotomiques sont une famille de corps intéressante pour ce pro- blème car l’anneau des entiers d’un tel corps est toujours monogène. De plus, nous disposons de quelques exemples où tous les générateurs sont connus.
Soitnun entier positif et soitζnune racine primitiven-ième de l’unité dansC.
Alors il est bien connu queζn engendre l’anneau des entiers deQ(ζn). Considé- rons la relation d’équivalence suivante : soitα∈Z[ζn], nous dirons queβ ∈Z[ζn] est équivalent à α (notéα ∼ β) s’il existe σ ∈ Gal(Q(ζn)/Q)et un entier l tel queβ = ±σ(α) +l. Remarquons que siβ ∼ αet αest un générateur de Z[ζn], alorsβ engendreZ[ζn].
Soit maintenantpun nombre premier et considérons l’anneau Z[ζp]. Dans ce cas nous connaissons deux classes de générateurs de Z[ζp]: la classe de ζp et la classe deω:= 1/(ζp+ 1).
Le nombreω engendreZ[ζp]carω est une unité de norme1; par conséquent il existea1, a2, . . . , ap−1 ∈Ztels que :
−(a1+a2ω+· · ·+ap−1ωp−2) = 1 +ζp.
De plus on remarque queω+ω = 1et queζp n’est pas équivalent àωsip >3.
A. Bremner [Bre] conjecture qu’il n’existe pas d’autres classes de générateurs deZ[ζp], plus précisément :
Conjecture 1.11. Soitp un nombre premier, soitζp une racinep-ième primitive de l’unité et soitα ∈ Z[ζp]tel queZ[α] =Z[ζp]. Alors soitα est équivalent àζp, soitαest équivalent à1/(ζp + 1).
Cette conjecture a été vérifiée par L. Robertson [Rob1] pourp≤23etp6= 17.
De plus L. Robertson dans op.cit. montre :
Théorème 1.12. Soitα ∈ Z[ζp]tel queZ[α] = Z[ζp]. Alors soitαest équivalent àζp soitα+αest un entier impair.
La conjecture 1.11 se généralise aux corps cyclotomiques engendrés par une racineq-ième de l’unité, où qest la puissance d’un nombre premier, de la façon suivante : soitα∈Z[ζq]tel queZ[α] =Z[ζq]. Alors soitαest équivalent àζq, soit αest équivalent à1/(ζq+ 1). L. Robertson [Rob2] a montré cette conjecture dans le cas oùqest une puissance de2:
Théorème 1.13. Soitmun entier positif et soitαun générateur deZ[ζ2m]. Alors α∼ζ2m.
Ensuite, L. Robertson et I. Gaál [Ga-Ro] obtiennent un résultat similaire au théorème 1.12 pour les classes de générateurs deZ[ζq], oùqest la puissance d’un nombre premierp, plus précisément :
Théorème 1.14. Soitα ∈Z[ζq]tel queZ[α] =Z[ζq]. Alors si(h+q, p(p−1)/2) = 1, oùh+q est l’ordre du groupe des classes deQ(ζq+ζq), soitαest équivalent à ζqsoitα+αest un entier impair.
Nous montrons que l’hypothèse surh+q dans le théorème 1.14 n’est pas néces- saire. Plus précisément nous obtenons le résultat suivant :
Théorème 1.15. Soitα ∈ Z[ζq]tel queZ[α] = Z[ζq]. Alors soitαest équivalent àζq soitα+αest un entier impair.
Le fait qui joue un rôle essentiel dans notre démostration est que le groupe des unités réelles de Z[ζq] soit d’indice fini surZ[ζq]∗. Cette propriété est vraie pour un corpsCM arbitraire. Autrement dit siLest un corpsCM etELest son groupe
1.3. UNITÉS HYPEREXCEPTIONNELLES. 15 des unités alors[EL :EL+] <+∞, oùEL+ := EL∩R( [Was, Theorem 4.12]).
De plus par le théorème de Kronecker pour toutγ ∈ ELnous avons queγ/γ est une racine de l’unité. Nous obtenons (paragraphe 3.4.2) la généralisation suivante du théorème 1.15 :
Théorème 1.16. SoitLun corps CM et soitL+ le plus grand corps totalement réel contenu dansL. Soit K un sous-corps deL+ tel queL/K est une extension cyclique et notons D := [L : K]. De plus, soit σ un générateur de Gal(L/K).
Supposons qu’il existeα ∈OLtel queOL =OK[α]. Alors soit il existe un entier positifnet des entiersr1,r2 tels que :
σ2(α)−α
σ(α)−α = ζnr2 −1 ζnr2 −ζnr1, soitα+α ∈K.
Supposons maintenant que L soit un corps CM qui n’a pas de racines de l’unité autre que ±1. Dans ce cas nous pouvons préciser le théorème ci-dessus (paragraphe 3.4.2) :
Théorème 1.17. Soit L un corpsCM qui ne contient pas de racines de l’unité (sauf ±1). Soit K l’intersection de tous les sous-corps totalement réelsF de L tels queL/F est cyclique. Siαest un générateur deOLsurOK alorsα+α∈K.
Enfin nous utilisons les techniques développées et le résultat pricipal de [Gra1]
(théorème 1.9) pour trouver une famille de corps de nombres dont l’anneau des entiers n’est pas monogène. Plus précisément nous obtenons :
Corollaire 1.18. Soit n ∈ Ntel que (n,6) = 1. Toutes les extension abéliennes imaginairesL/Qtelles que :
1. Lne contient pas de racine de l’unité (sauf±1), 2. [L:Q] = 2n,
sauf un nombre fini, ont un anneau des entiers qui n’est pas monogène.
1.3 Unités hyperexceptionnelles.
Les résultats du quatrième chapitre feront l’objet de [Am-Ra].
SoitL/Kune extension cyclique de degréD≥2de corps de nombres ; notons OK,OLrespectivement les anneaux des entiers deK et deL. Soitσun générateur deGal(L/K)etγ ∈OL. Pour tout entieri≥0posons :
ui =γσ(ui−1) + 1, (1.6) avecu0 = 0. Doncu1 = 1et
ui =γ1+σ+···+σi−2 +. . .+γ1+σ +γ+ 1, (1.7) pour touti. Nous dirons queγest une unitéσ-hyperexceptionnelle si :
1. γ ∈O∗L;
2. u2, . . . , uD−1 sont des unités ; 3. uD = 0.
Nous dirons queγest une unité hyperexceptionnelle s’il existe un générateurσ ∈ Gal(L/K)tel queγ estσ-hyperexceptionnelle.
Soit maintenantnun entier positif et soientω1, ω2, . . . , ωndes éléments deOL. Nous dirons que l’ensemble{ωi}1≤i≤nest une suite exceptionnelle siωi−ωj ∈O∗L pour touti6=j. De plus nous appelons constante de LenstraM(L)du corpsL, la plus grande longeur d’une suite exceptionnelle :
M(L) := max{m∈Zt.q.∃ω1, . . . , ωm ∈OLt.q. ωi−ωj ∈O∗L∀1≤i<j≤m} Les suites exceptionnelles ont été introduites par la première fois par H. W.
Lenstra [Len]. Toujours dans [Len, pp. 239-241] Lenstra montre que si M(L) ≥ C, oùC est une certaine constante qui dépend de[L:Q]et du discriminant deL, alorsLest un corps euclidien2.
Une première propriété intéressante d’une unitéγ σ-hyperexceptionnelle est que la suite{u0, u1, . . . , uD−1} est une suite exceptionnelle. Donc si un corpsL contient une unitéσ-hyperexceptionelle alors
M(L)≥[L:Q]
(proposition 4.5).
Soit maintenantαun générateur deL/K. Nous dirons queαest stable si pour toutτ1, τ2 ∈Gal(L/K)tels queτ1 6=τ2, l’idéalIα := (τ1(α)−τ2(α))ne dépend pas deτ1etτ2. Nous notonsΨl’ensemble desα∈Lstables.
Soientα1, α2 ∈Ψ. Nous disons queα1 est équivalent àα2 (notéα1 ∼ α2) si et seulement s’il existeδ1 6= 0, δ2 ∈K etτ ∈Gal(L/K)tels que
α2 =δ1τ(α1) +δ2. Nous notonsΨl’ensembleΨ/∼.
2i.e. siα, β ∈ OL etβ 6= 0, alors il existeµ, δ ∈ OL tels queα =µβ+δet|NL/Q(δ)| <
|NL/Q(β)|.
1.3. UNITÉS HYPEREXCEPTIONNELLES. 17 SoitΓσl’ensemble des unitésσ-hyperexceptionnelles deL. Nous remarquons queGal(L/K)agit surΓσ et nous notonsΓσ l’ensemble quotientΓσ/Gal(L/K).
Nous construisons (paragraphe 4.2) une application bijective entre Γσ et Ψ; plus précisément nous démontrons :
Théorème 1.19. L’applicationFσ: Ψ→Γσ qui envoieα∈Ψsur γ := σ2(α)−σ(α)
σ(α)−α
est bien définie et surjective. De plusFσ induit une applicationFσbijective entre ΨetΓσ.
Soit maintenant L/K une extension cyclique de corps de nombres telle que [L:K] =d. Soitτ un générateur deGal(L/K). Nous dirons queγ0 ∈OLest une unitéτ-2hyperexceptionnelle si :
1. NL/K(γ0) = −1;
2. u2, . . . , udsont des unités.
Nous dirons queγ0 est une unité2-hyperexceptionnelle s’il existe un générateurτ deGal(L/K)tel queγ0 estτ-2hyperexceptionnelle.
Nous montrons que siγ0est une unité2hyperexceptionnelle alors{ui}0≤i≤2d−1 est une suite exceptionnelle. Donc
M(L)≥2[L:K].
De plus nous démontrons que siL/Kest une extension cyclique de degréD≥2 pair, si ι est l’élément de Gal(L/K) d’ordre 2 et Lι est le sous-corps de L fixé parι, alorsγ ∈Lι est une unité2hyperexceptionnelle si et seulement siγest une unité hyperexceptionnelle deL.
Un cas particulièrement intéressant pour l’étude des unités hyperexception- nelles est celui oùL= Q(ζ),ζ est une racine primitivep-ième de l’unité, p≥ 5 est un nombre premier etK = Q. Dans ce cas il est facile trouver des éléments stables et donc, par le théorème 1.19, des unités hyperexceptionnelles. En effet tout générateur deZ[ζ] est stable. Par ailleurs nous connaissons deux classes de générateurs de Z[ζ] : la classe de ζ et celle de1/(ζ+ 1). Il est particulièrement intéressant que l’unité associée à1/(ζ + 1)appartienne au sous-corpsQ(ζ +ζ), qui est le sous-corps de Q(ζ) fixé par la conjugaison complexe ι. Elle est donc une unité2hyperexceptionnelle ; d’où :
Théorème 1.20.
M(Q(ζ+ζ))≥p−1.
Signalons que l’existence d’une suite exceptionnelle avecp−1éléments dans Q(ζ +ζ) a été conjecturée par H. W. Lenstra dans [Len] et démontrée par A.
Leutbecher et G. Nicklash dans [Le-Ni] avec des méthodes différents.
Soit maintenantσun générateur deGal(Q(ζ)/Q)etgun entier tel queσ(ζ) = ζg. Soit Γισ,g l’ensemble des unitésγ σ-hyperexceptionnelles telles que γ est un élément de Q(ζ +ζ) et γ ≡ g mod (ζ −1). Notons Γισ,g l’ensemble quotient Γσ/Gal(Q(ζ +ζ)/Q). Le fait que nous pouvons construire des unités hyperex- ceptionnelles à partir des générateurs de Z[ζp] nous suggère une liaison entre le nombre des classes d’équivalence des unités hyperexceptionnelles et la conjecture de Bremner (conjecture 1.11). En effet nous montrons :
Théorème 1.21. La fonction Fσ du théorème 1.19 induit une correspondance bijective Fσ entre les classes des générateurs α de Z[ζ] tels que α +α est un entier impair etΓισ,g. En particulier, la conjecture de Bremner est équivalente à :
Card(Γισ,g) = 1
Enfin nous étudions deux autres cas où les unités hyperexceptionnelles peuvent être construites à l’aide d’un générateur de l’anneau des entiers. Dans le premier cas nous considérons des extensionsL/Kcycliques qui ne sont pas ramifiées dans les premiers finis. Dans le deuxième cas nous considérons des extensions L/K, oùOK est un P.I.D. et Lest contenu dans le corps de classe de rayon deK pour un certain idéal premierP.
Nous terminons ce paragraphe avec plusieurs exemples où parfois nous amé- liorions les minorations connues de la constante de Lenstra.
Chapitre 2
Familles de corps proches d’un corps CM
Dans [Amo1] F. Amoroso a introduit la notion de famille de corps proches d’un corps CM (en abrégé : P CM). Les familles des corps P CM ont de très intéressantes proprietés arithmétiques (voir [Amo1]) et le problème de les carac- tériser se pose ; nous donnons dans ce chapitre une réponse partielle, en montrant qu’une famille de corps totalement réels n’est jamais une famille de corpsP CM (théorème 2.21).
De plus nous trouvons des conditions nécessaires (paragraphe 2.5 et 2.6) qui doivent être satisfaites par une famille d’extensions de Galois totalement ima- ginaires pour être une famille de corps P CM. Pour tester ces conditions il est nécessaire de déterminer l’annullateur du groupe des unités d’une extension ga- loisienneK totalement imaginaire sur l’anneauZ[Γ], oùΓ = Gal(K/Q). Dans le paragraphe 2.5 nous déterminons cet annullateur et nous décrivons un critère pour établir siKcontient des corpsCM.
Pour obtenir ces résultats nous étudions et montrons quelques propriétés de deux C[G]-module à droite, où G est un groupe fini : le module C[G] (para- graphe 2.3.1) et un autre module que nous notonsVι (paragraphe 2.3.2).
Enfin dans l’appendice de ce chapitre nous montrons une autre application des résultats du paragraphe 2.3.1 concernant certains polynômes lacunaires.
2.1 Corps P CM .
Soit K un corps de nombres tel que [K : Q] = d; notons EK le groupe des unités de son anneau des entiers. Soit Γle groupe des Q-automorphismes de K
19
et, siφ=P
σ∈Gφσσ ∈Z[Γ], posons : kφk1 :=X
σ∈Γ
|φσ|.
En outre, pour toutα∈K∗, soit
αφ:=Y
σ∈Γ
(σα)φσ. Notons aussirφle rang surZdu groupe
EKφ :={βφ, β ∈EK}.
Définition 2.1. Soit{Kn}n∈Nune suite de coprs de nombres ; notonsΓnle groupe desQ-automorphismes deKn,dn := [Kn :Q]et supposons que
n→+∞lim dn= +∞.
Nous dirons que la suite {Kn}n∈N est une famille de corps proches d’un corps CM (en abrégéP CM) s’il existe des éléments non nulsφn ∈Z[Γn]tels que :
n→+∞lim
kφnk1max{rφn,1} dn
= 0 (2.1)
Nous remarquons que toute familleF:={Kn}n∈Nde corpsCM tels que
n→+∞lim [Kn :Q] = +∞
estP CM. En effet soitKn ∈ F. Notonsdn son degré surQet ιla conjugaison complexe. PuisqueKn est un corps CM, la restriction deι àKn est un élément du groupe de Q-automorphismes deKn. De plus pour toutγ ∈EKn et pour tout le plongement σ de Kn dans C, nous avons que |σ(γ)/ισ(γ)| = 1. Alors par le théorème de Kronecker γ/ι(γ)est une racine de l’unité. Donc r1−ι = 0. Par ailleursk1−ιk1 = 2.
Un autre exemple remarquable de famille de corpsP CM (voir [Amo2]) est donné parG:={Q(αn)}n∈N, oùαnest un nombre de Salem de degré≥n1. Rap- pelons que un nombre de Salemαest un nombre algébrique réel> 1réciproque tel que tous ses conjugués, à l’exception deα±1, sont de module1.
1dans [BDPS, p. 111] on montre qu’il existe des nombres de Salem de degré arbitrairement grand.
2.2. RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. 21 Soitτl’automorphisme deQ(α)qui envoieαdans1/α. Nous voulons calculer r1−τ. SoitP ∈Q[x]; notonsσun plongement imaginaire deQ(α)dansC. Alors :
σ(P(α)) =P(σ(α)) = P(σ(α−1)) =P(σ(ατ)) = σ(P(ατ)) et de même
σ(P(ατ)) = σ(P(α)).
Donc |σ(P(α)1−τ)|2 = 1. On en déduit que si µ est une unité de Q(α) alors
|µ(1−τ)σ|= 1. Par le Théorème des unités de Dirichlet nous obtenons quer1−τ ≤ 1. Par ailleursαest une unité et|α1−τ|=|α2| 6= 1. Par conséquentr1−τ = 1. De plusk1−τk1 = 2, d’où la familleGest une famille de corpsP CM.
2.2 Résultats préliminaires.
Soit K un corps de nombres avec signature(r1, r2) et soit Γson groupe des Q-automorphismes ; notonsMK l’ensemble des premiers (finis et infinis) de K.
Pour toutv ∈ MK posonsdv = [Kv : Qv]et soit| |v la valeur absoluev-adique normalisée dans la façon que la relation
Y
v∈MK
|α|dvv = 1
soit satisfaite pour toutα ∈ K∗. En outre notonsLle plongement logarithmique deK∗dansRr1+r2 définie dans la façon suivante :
L(α) = (log|α|v)v|∞. Soitφ=P
σ∈Γφσσ ∈Z[Γ]et posonsV :=L(K∗φ)⊗RetW :=L(EKφ)⊗R.
Puisque la restriction de LàEK a un noyau fini, la dimension deW dansRest égale au rangrφdeEKφ. De plus nous remarquons que
W ={x∈V t.q. X
v|∞
xv= 0}. Donc W = V si P
σ∈Gφσ = 0 et W est un hyperplan de V si nous avons P
σ∈Gφσ 6= 0. Donc si Rφ est la dimension de V sur R on a les relations sui- vantes :
rφ=
(Rφ, si P
σ∈Γφσ = 0;
Rφ−1 sinon. (2.2)
Le lemme suivant est un outil très important pour notre travail, car il nous permet de considérer seulement des extensions galoisiennes deQ.
Lemme 2.2. En utilisant les notations précédentes, soitLla clotûre galoisienne de K et soit G := Gal(L/Q). Alors pour toutφ ∈ Z[Γ]il existe ψ ∈ Z[G] tel que :
kψk1max{rψ,1}
[L:Q] ≤ kφk1max{rφ,1} [K :Q] . Preuve. Soitφ = P
σ∈Γφσσ ∈ Z[Γ]. Pour tout σ ∈ Γchoisissons un élément σe∈Gtel queeσcoïncide avecσsurK. Notons
φe=X
σ∈Γ
φσeσ.
Soit maintenant HK = Gal(L/K) et posons η = P
σ∈HK σ et ψ = φη. Il este alors évident, par construction, quemax{rψ,1} = max{rφ,1}. De plus, puisque kφk1 =kφek1etkηk1 =|HK|= [L:K], nous obtenons :
kψk1 ≤ X
σ∈HK
kφσe k1 =kφk1[L:K].
Donc, en observant que [L : Q] = [K : Q][L : K] et que max{rψ,1} = max{rφ,1}, on en déduit
kψk1max{rψ,1}
[L:Q] ≤ kφk1max{rφ,1}[L:K]
[L:K][K :Q] = kφk1max{rφ,1} [K :Q] .
¤
Soit maintenantGun groupe fini et considéronsφ ∈ C[G]. La multiplication à droite parφ(notéTφ1) est un endomorphisme linéaire deC[G]. On noteraR1φson rang.
Définition 2.3. SoitGun groupe fini qui contient une involution2 ι. Nous notons Vι le sous-module à droite deC[G]
Vι :=hσ+ισ, σ ∈Gi.
Il est facile de vérifier queVιa dimension|G|/2. En effet siB est un ensemble de représentants de chacune des classes latérales à droite deG/{ι,1}, nous avons que les éléments σ +ισ, où σ ∈ B, sont une base de Vι. Comme dans le cas précédent pour tout φ ∈ C[G], la multiplication à droite parφ (noté Tφι) est un endomorphisme linéaire deVι. On noteraRφι son rang.
2un élément d’ordre2.
2.2. RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. 23 Remarque 2.4. SoitK/Qune extension finie galoisienne totalement imaginaire.
Notons Gle groupe de Galois de K surQ. Alors si nous fixons un plongement deK dansC, il existe une involutionι ∈ Gtel que ι(α) = α pour toutα ∈ K.
Un tel élément dépend par le plongement choisi. Plus précisement si τ est une involution deGalors il existe un plongement deKdansCtel queτ(α) =αpour tout α ∈ K si et seulement si τ ∈ Cι, où Cι est la classe de conjugaison de ι.
Dorénavant nous appellerons les éléments deCιconjugaisons complexes.
Lemme 2.5. SoitK/Qune extension finie galoisienne avec groupe de Galois G.
En utilisant les notations précédentes, pour tout φ = P
σ∈Gφσσ ∈ Z[G] nous avons que :
1. siK est totalement réel alorsRφ=R1φ;
2. si K est totalement imaginaire alors Rφ = Rφι, où ι est une conjugaison complexe deG.
Preuve. 1. Puisque dans ce premier casKest un corps totalement réel, les places infinies deKsont en correspondance bijective avec les éléments deG. Donc, pour toutα ∈K∗,
L(α) = (log|α|v)v|∞ = (log|ασ|)σ∈G. SoitLφl’endomorphisme linéaire deL(K∗)⊗Rdéfini par :
Lφ((log|ασ|)σ⊗c) = (log|ασφ|)σ⊗c
pour tout α ∈ K∗ et pour tout c ∈ R. Puisque l’image de Lφ coincïde avec V =L((K∗)φ)⊗R, le rang deLφest égal àRφ.
Rappelons maintenant queφest un élément deZ[G]. La multiplication à droite parφest donc un endomorphisme linéaire deQ[G]et, par des simples arguments d’algèbre linéaire, on obtient que la dimension du noyau d’un tel endomorphisme est égale à dim(ker(Tφ1)) (on rappelle que Tφ1 est l’endomorphisme linéaire de C[G]qui agit sur les éléments deC[G]en multipliant à droite parφ). Par ailleurs, une famille d’éléments de Z[G] étant Z-libre si et seulement si elle est Q-libre, nous obtenons que dim(ker(Tφ1)) est égal au rang du sous-module de Z[G] des élémentsλ tels queλφ = 0. Notons maintenantn = dim(ker(Tφ1))et soit C un ensemble de cardinalité maximale d’éléments λi = P
σ∈Gλi,σσ ∈ Z[G] indé- pendants sur Z tels que λiφ = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n. Remarquons alors que V =L((K∗)φ)⊗Ret l’espace
V0 ={x∈L(K∗)⊗R t.q. X
σ∈G
λi,σxσ = 0 ∀i}
coïncident. En effet, pour tout α ∈ K∗ nous avons(log|αλiφ|) = 0 pour tout i.
Donc V est contenu dans V0. L’autre inclusion découle de la maximalité de C.
Par ailleurs, puisque les éléments λi sont indépendants pour tout 1 ≤ i ≤ n et n = dim(ker(Tφ1)), on obtient :
Rφ= dim(V) = dim(V0) =|G| −dim(ker(Tφ1)) =R1φ.
2. Supposons maintenant que K soit un corps totalement imaginaire et soit ι une conjugaison complexe de G. Dans ce cas si B est un ensemble de repré- sentantes de chacune classe latérale à droite deG/{ι,1}, les places infinies deK sont en correspondance avec les éléments deB. De plus pour toutα ∈K∗, nous avons :
L(α) = (log|α|v)v|∞ = (log|ασ+ισ|)σ∈B.
Comme dans la première partie siLφest l’endomorphisme linéaire deL(K∗)⊗R tel que :
Lφ(log(|ασ+ισ|)σ ⊗c) = log(|α(σ+ισ)φ|)σ ⊗c
pour toutα ∈K∗et pour toutc∈R, alors l’image deLφest égale àV. Donc, par définition de rang, nous avons que le rang deLφest égal àRφ.
Par ailleurs puisque les éléments σ +ισ (σ ∈ B) sont une base du sous- module à droite Vι de C[G], en sostituisantVι àC[G]etTφι àTφ1 et en suivant la même procedure de la première partie, nous obtenons enfinRφ=Rιφ.
¤
2.3 Modules sur algèbres sur groupes finis.
SoitG un groupe fini, soit Irr(G) l’ensemble des caractères irréductibles de G et soitM un C[G]-module à droite. La théorie des représentations (voir [Isa, Chapitre 1, 2]), nous dit que
M = M
χ∈Irr(G)
M εχ (2.3)
où εχ est l’idempotent associé au caractère χ. Nous appellerons composante χ- ième de M le module M εχ. Pour tout χ, M εχ est isomorphe (comme C[G]- module à droite) à la somme directe d’un nombre fini d’idéaux minimaux à droite deC[G]isomorphes entre eux (commeC[G]-modules à droite) et qui ont dimen- sion égale à χ(1). Nous noterons Iχ un de ces idéaux. Avec ces notations, nous
2.3. MODULES SUR ALGÈBRES SUR GROUPES FINIS. 25 disons que la composanteχ-ième deM est une somme directe d’un nombre fini de copies deIχ. Nous pouvons récrire (2.3) sous la forme :
M ∼ M
χ∈Irr(G)
Iχnχ,M, (2.4)
où nχ,M ∈ N et ∼ indique (ici et dans la suite) l’isomorphisme entre C[G]- modules à droite.
Soit maintenant φ ∈ C[G] et soit Tφ l’endomorphisme de M donné par la multiplication à droite parφ. Puisque pour tout caractère irréductibleχles sous- modules à droite irréductibles contenus dans la χ-ième composante de M sont
« des copies » deIχ(i.e. ils sont isomorphs àIχ), le rangRχ,φde la restriction de Tφà un tel sous-module ne dépend pas du sous-module choisi.
Dans la proposition suivante nous calculons le rangR(Tφ)deTφen fonction desRχ,φ.
Proposition 2.6. SoitGun groupe fini,M unC[G]-module à droite etφ un élé- ment deC[G]. SupposonsM ∼L
χ∈Irr(G)Iχnχ,M. Alors on a : R(Tφ) = X
χ∈Irr(G)
nχ,MRχ,φ. (2.5)
Preuve. Pour toutχla restrictionTχ,φdeTφàIχa rang égal àRχ,φ. De plus on remarque que si un espace vectoriel est une somme directe d’un nombre fini de sous-espaces stables sous l’action de l’endomorphisme, alors le rang d’un endo- morphisme d’un tel espace est égal à la somme des rangs de la restriction d’un tel endomorphisme à chacun terme de la somme directe. Donc :
R(Tφ) = X
χ∈Irr(G)
nχ,MRχ,φ.
¤ En vue du lemme 2.5, nous sommes intéressés à l’étude de deuxC[G]-modules à droite :C[G]etVι. Dans les deux sousparagraphes suivantes nous étuderions ces deux modules. Pour ce faire nous aurons besoin du lemme (élémentaire) suivante.
Lemme 2.7. Soient n, r entiers positifs et soient U1, . . . , Un matrices unitaires d’ordre r × r à coefficients dans C. De plus soient λ1, . . . , λn ∈ C et posons M =Pn
i=1λiUi. Alors
|T r(M)| ≤ µXn
i=1
|λi|
¶
R(M) (2.6)
oùT r(M)est la trace deM etR(M)son rang.
Preuve. Puisque la trace deM est égale à la somme de ses valeurs propres et le rang deM est égal au nombre de ses valeurs propres non nuls (toute valeur propre est comptée avec sa multiplicité algébrique), siµest une valeur propre de module maximum on a :
|T r(M)| ≤ |µ|R(M).
Il suffit donc de montrer l’inégalité :
|µ| ≤ Xn
i=1
|λi|.
Par hypothèse pour tout1 ≤ i ≤ n les matrices Ui sont unitaires. Donc, en considérant la normek.kinduite par le produit scalaire standard deCr, on a, pour toutv ∈Cr,
kUi(v)k=kvk.
Soit maintenantwun vecteur propre deM de norme1associé à la valeur propre µ. On obtient :
|µ|=kM(w)k=
°°
°° Xn
i=1
λiUi(w)
°°
°°≤ Xn
i=1
kλiUi(w)k= Xn
i=1
|λi|.
¤
2.3.1 Le cas M = C[G] .
Dans ce paragraphe nous montrons quelques propriétés du C[G]-module à droiteM =C[G]. Tout d’abord nous appliquons la proposition 2.6 a ce cas parti- culier, en montrant le suivant :
Corollaire 2.8. SoitGun groupe fini ; notonsφ =P
σ∈Gφσσun élément deC[G]
et R1φ le rang de l’endomorphisme deC[G]donné par la multiplication à droite parφ. Alors :
R1φ= X
χ∈Irr(G)
χ(1)Rχ,φ. (2.7)
Preuve. La théorie des représentations (voir [Isa, Chapitre 1, 2]) nous dit que : C[G]∼ M
χ∈Irr(G)
Iχχ(1).
Donc, par la proposition 2.6, nous obtenons : R1φ= X
χ∈Irr(G)
χ(1)Rχ,φ.
¤
2.3. MODULES SUR ALGÈBRES SUR GROUPES FINIS. 27 Maintenant nous avons tous les outils pour démontrer le résultat fondamental de ce paragraphe.
Théorème 2.9. SoitGun groupe fini ; notonsφ =P
σ∈Gφσσun élément non nul deC[G], soitR1φle rang de l’endomorphisme deC[G]donné par la multiplication à droite parφet soit enfinΩφle nombre desφσ 6= 0. Alors :
ΩφR1φ≥ |G|. (2.8)
En particulier, siφ∈Z[G]etφ 6= 0, on a
kφk1Rφ1 ≥ |G|. (2.9)
Preuve. Soitφ=P
σ∈Gφσσun élément non nul deC[G]. Posons kφk1 =X
σ∈G
|φσ|.
Pour tout σ ∈ G on akφk1 = kφσk1, R1φ = Rφσ1 et Ωφ = Ωφσ. Nous pouvons donc supposer|φ1| ≥ |φσ|pour toutσ ∈G. Par conséquent
kφk1 ≤Ωφ|φ1|. (2.10)
Définissons maintenant le nombre complexe βφ = X
χ∈Irr(G)
χ(1)X
σ∈G
φσχ(σ).
Démontrons tout d’abord que :
|βφ| ≤ kφk1R1φ. (2.11) Soitχ ∈ Irr(G)et fixons une base Bχ deIχ. Pour toutψ ∈ C[G]nous pouvons associer à l’application linéaire Tχ,ψ ∈ End(Iχ) qui envoie α ∈ Iχ sur αψ, la matriceMχ,ψdeTχ,ψdans la baseBχ. En particulier pour toutσ∈Gles matrices Mχ,σsont bien définies. De plus
Mχ,φ =X
σ∈G
φσMχ,σ.
Par définition de caractère, χ(σ) est la trace de la matrice Mχ,σ; en outre les matricesMχ,σ sont unitaires carTχ,σ est d’ordre fini. On peut donc appliquer le lemme 2.7 à la matriceMχ,φ, ce qui donne :
¯¯
¯¯ X
σ∈G
φσχ(σ)
¯¯
¯¯=|T r(Mχ,φ)| ≤ kφk1Rχ,φ.
Par cette relation et par (2.7) on a :
|βφ| ≤ X
χ∈Irr(G)
χ(1)
¯¯
¯¯ X
σ∈G
φσχ(σ)
¯¯
¯¯≤ kφk1R1φ. (2.12)
Calculons maintenant la valeur deβφà l’aide des lois d’orthogonalité entre les colonnes des tables des caractères (voir [Isa, Theorem 2.13, Corollary 2.14])
βφ= X
χ∈Irr(G)
χ(1)X
σ∈G
φσχ(σ)
=X
σ∈G
φσ X
χ∈Irr(G)
χ(σ)χ(1)
=φ1|G|. Par la relation (2.11), on en déduit :
kφk1R1φ ≥ |φ1||G|
d’où, puisqueΩφ|φ1| ≥ kφk1par la relation (2.10) et par le fait queφ1 6= 0(carφ est non nul), la relation (2.8).
Supposons maintenant queφ ∈ Z[G]. Alors siσ ∈ Getφσ est un coefficient non nul de φ,|φσ| ≥1. Donckφk1 ≥ Ωφet l’assertion suit immédiatement de la relation (2.8).
¤
2.3.2 Le cas M = V
ι.
Maintenant nous étudions quelques propriétés duC[G]-module à droiteVιque nous avons introduit dans la définition 2.3 du paragraphe 2.2. Tout d’abord nous voulons appliquer la proposition 2.6 dans le cas M = Vι. Pour ce faire nous devons calculer le nombre des copiesIχcontenues dans laχ-ième composante de Vι.
Proposition 2.10. SoitGun groupe fini d’ordre pair ; notonsιune involution de Get soitVιcomme auparavant. Alors :
Vι ∼ M
χ∈Irr(G)
I
1
2(χ(1)+χ(ι))
χ (2.13)
2.3. MODULES SUR ALGÈBRES SUR GROUPES FINIS. 29 Preuve. Écrivons Vι ∼ L
χ∈Irr(G)Iχnχ. Par la théorie des représentations (voir [Isa, Chapitre 1]), nχ = (χVι, χ). Il suffit donc de montrer que, pour tout χ ∈ Irr(G),
(χVι, χ) = 1
2(χ(1) +χ(ι)). (2.14)
Puisque Vι est un C[G]-module à droite, la représentation régulièreρVι deG qui envoieτ ∈Gdans l’endomorphisme donné par la multiplication à droite parτ est bien définie. Comme nous avon déjà remarqué dans le paragraphe 2.2, siBest un ensemble de représentants des classes latérales à droite de G/{ι,1}, alors les élémentsσ+ισ, où σ ∈ B, sont une base deVι. Par définition de représentation régulière nous avons :
ρVι(τ)(σ+ισ) =στ +ιστ (2.15) pour toutτ ∈ Getσ ∈B. Soit χVι le caractère associé àρVι. PuisqueχVι(τ)est la trace de la matrice associé à ρVι(τ)pour tout τ ∈ G, par (2.15) il est égal au nombre desσ∈B tels queσ+ισest fixé par la multiplication à droite parτ.
Soit 1 l’élément neutre de G. La multiplication à droite par 1 fixe tous les éléments deVι. Donc, puisque la dimension deVι est égale à|G|/2, on a :
χVι(1) =|G|/2.
Soit maintenant τ ∈ G tel que τ 6= 1 et soit σ ∈ G. Puisque στ 6= σ et στ =ισsi et seulement siιστ =σ, on a :
(σ+ισ)τ = (σ+ισ)⇐⇒στ =ισ.
Donc :
χVι(τ) = |{σ∈B t.q. σ−1ισ =τ}|. Par conséquent siτ 6∈Cι alorsχVι(τ) = 0.
Supposons queτ ∈Cι. Alors
Sτ :={σ∈G t.q. σ−1ισ =τ}
est de cardinalité |G|/|Cι|. De plusσ ∈ Sτ si et seulement si ισ ∈ Sτ. On en déduit :
|Sτ ∩B|= 1 2|Sτ|. Donc siτ ∈Cι
χVι(τ) = 1
2|G|/|Cι|. En résumant nous avons les relations suivantes :
χVι(1) =|G|/2;
χVι(τ) =|G|/(2|Cι|)si τ ∈Cι; χVι(τ) = 0sinon.
(2.16)
Soit maintenantχ∈Irr(G). Alors, par (2.16), (χVι, χ) = 1
|G| µ|G|
2 χ(1) + |G|
2|Cι||Cι|χ(ι)
¶
= 1
2(χ(1) +χ(ι)), ce qui montre (2.14) et achève la démonstration.
¤
En utilisant la proposition 2.10, on en déduit :
Corollaire 2.11. Soit G et ι comme dans la proposition 2.10. Alors, si φ = P
σ∈Gφσσ est un élément de C[G]et Rιφ est le rang de l’endomorphisme de Vι
donné par la multiplication à droite parφ, on a :
Rιφ= X
χ∈Irr(G)
1
2(χ(1) +χ(ι))Rχ,φ. (2.17) Nous avons maintenant tous les outils pour démontrer le résultat fondamen- tal de ce paragaphe. Ce résultat peut être considérer comme l’analogue du théo- rème 2.9 pour le moduleVι.
Théorème 2.12. Soit Gun groupe fini, notons ι ∈ Gun élément avec ordre2et soitCι la classe de conjugaison deι. Alors, siφ=P
σ∈Gφσσest un élément non nul deC[G], pour toutσ ∈Gnous avons :
kφk1Rιφ≥ |G| 2|Cι|
µ¯¯¯
¯φσ|Cι|+X
τ∈Cι
φτ σ
¯¯
¯¯
¶
. (2.18)
Preuve. Soitφ = P
σ∈Gφσσ un élément non nul de C[G]et soientχ1, . . . , χn
les caractères irréductibles deG. Définissons le nombre complexe : βφ= 1
2 Xn
i=1
(χi(1) +χi(ι))X
σ∈G
φσχi(σ).
2.3. MODULES SUR ALGÈBRES SUR GROUPES FINIS. 31 Démontrons tout d’abord que :
|βφ| ≤ kφk1Rιφ.
Soitχun caractère irréductible. Comme dans le théorème 2.9 nous choisissons une baseBχ de Iχ. Pour tout ψ ∈ C[G], notons Mχ,ψ la matrice qui représente l’endomorphisme deIχdonné par la multiplication à droite parψdans la baseBχ. Donc nous avons
Mχ,φ =X
σ∈G
φσMχ,σ.
Comme nous avons déjà remarqué dans la démontration du théorème 2.9, pour toutσ ∈ Gle nombreχ(σ)est la trace de la matriceMχ,σ; en outre les matrices Mχ,σsont unitaires carσest d’ordre fini. En appliquant le lemme 2.7 sur la matrice Mχ,φnous obtenons :
¯¯
¯¯ X
σ∈G
φσχ(σ)
¯¯
¯¯=|T r(Mχ,φ)| ≤ kφk1Rχ,φ.
D’une telle relation et par la relation (2.17) du corollaire 2.11 nous obtenons :
|βφ| ≤ 1 2
Xn i=1
(χi(1) +χi(ι))
¯¯
¯¯ X
σ∈G
φσχi(σ)
¯¯
¯¯≤ kφk1Rιφ.
Calculons maintenant la valeur deβφ: βφ= 1
2 Xn
i=1
(χi(1) +χi(ι))X
σ∈G
φσχi(σ)
= 1 2
X
σ∈G
φσ
Xn i=1
χi(σ)χi(1) + 1 2
X
σ∈G
φσ
Xn i=1
χi(σ)χi(ι)
= 1
2φ1|G|+ |G| 2|Cι|
X
τ∈Cι
φτ
= |G| 2|Cι|
µ
φ1|Cι|+ X
τ∈Cι
φτ
¶ .
Enfin puisque pour tout σ ∈ G nous avons kφk1 = kφσk1 et Rιφ = Rιφσ, nous obtenons :
kφk1Rιφ≥ |G| 2|Cι|
µ¯¯¯
¯φσ|Cι|+X
τ∈Cι
φτ σ
¯¯
¯¯
¶ .
¤
