UNIVERSITÉ MOHAMMED I

UNIVERSITÉ MOHAMMED I

Faculté Des Sciences Année Universitaire 2015/2016

Département De Mathématiques Section SMA, S₄

Et Informatique Module : Algèbre 6

O u j d a Responsable : M.AYADI

Session de rattrapage - Durée : 1H30'

Questions de Cours :

1. Soit A un anneau commutatif unitaire et A[X] l'anneau de polynômes à une variable et à coecients dans A.

(a) Donner la dénition d'un élément de l'anneau A[X]. (b) Donner la propriété universelle de l'anneau A[X].

3. Identier alors les groupes suivants :

Z/316Z×Z/73076Z et Z/4Z×Z/158Z×Z/36538Z.

EXERCICE I : Soit G un groupe, alors G opère sur lui-même par conjugaison ; par suite deux éléments de G sont en relation si et seulement s'ils sont conjugués dans G.

2. Donner à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d'ordre 23092016 = 2⁴×79×18269.

1. Montrer que cette relation de conjugaison est une relation d'équivalence dans G.

4. Soient g un élément d'un groupe G, n l'ordre de G et m celui de g, quel est l'ordre d'un conjugué de g dans G?

6. la relation de conjugaison est-elle compatible avec la loi de S₃? justier votre réponse.

2. Écrire en comprehension la classe d'un élément g quelconque dans G. 3. Déterminer la classe d'un élément g lorsque le groupe Gest abélien .

5. Déterminer la classes de conjugaison du cycle (123)dans le groupe symétrique S₃.

EXERCICE II : Soit Gun groupe d'ordre 2n engendré par deux éléments a etb tels que : ord(b) =n et ord(a) =ord(ab) = 2.

1. Montrer que le sous-groupe de G engendré par b, est distingué dans G et en déduire que G={e, b, b²,· · ·, bⁿ⁻¹} q {a, ab, ab²,· · ·, abⁿ⁻¹} où q est le symbole " réunion disjointe ".

2. a) Quel est l'élément de Gcorrespondant au produit ba? 3. Montrer que le groupe G est abélien si et seulement si n= 2.

4. Montrer que f est un isomorphisme de groupes. Un tel groupe G est dit Diédral d'indice n, et est noté par D_n.

5. Donner la structure de G dans les cas de n = 2 etn = 3. 6. Donner à isomorphisme près tous les groupes d'ordre 4 et6.

Bon courage et bonne chance ...

Examen d'Algèbre 6

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Faculté Des Sciences Année Universitaire 2015/2016

Département De Mathématiques Section SMA, S₄

Et Informatique Module : Algèbre 6

O u j d a Responsable : M.AYADI

Session de rattrapage - Durée : 1H30'

Examen d'Algèbre 6 avec correction Questions de Cours :

1. Soit A un anneau commutatif unitaire et A[X] l'anneau de polynômes à une variable et à coecients dans A.

(a) Donner la dénition d'un élément de l'anneau A[X].

Rép : Un élément P de l'anneau A[X] est un polynôme à une indéterminée X et à coecients dansA, il est caractérisé par l'existence et l'unicité de (a₀, a₁,· · ·, a_n)∈Aⁿ⁺¹ aveca_n 6= 0 tel que P =a₀+a₁X+· · ·+a_nXⁿ.

(b) Donner la propriété universelle de l'anneau A[X].

Rép : Soit R un anneau contenant A, engendré en tant que A-algèbre par A et un élémentU algébriquement indépendant sur A, alors il existe un et un seul isomorphisme d'anneaux deA[X]dansRqui prend la valeurU enX. (Voir Théorème 4.1 du polycopie : Notes de Cours)

2. Donner à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d'ordre 23092016 = 2⁴×79×18269.

Rép : L'exposant du groupe abélien G est dans

{2⁴×79×18269,2³×79×18269,2²×79×18269,2×79×18269};

la classication se fait alors par l'exposant de G comme suit :

- l'exposant de G est 2⁴×79×18269, alors Gest cyclique donc isommorphe à Z/(2⁴×79×18269)Z;

- l'exposant de G est 2³×79×18269, alors Gest isommorphe à Z/(2³×79×18269)Z×Z/2Z

- l'exposant de G est 2²×79×18269, alors Gest isommorphe à l'un des deux groupes : Z/(2²×79×18269)Z×Z/2²Z ou Z/(2² ×79×18269)Z×Z/2Z×Z/2Z;

- l'exposant de G est 2×79×18269, alorsG est isommorphe à Z/(2×79×18269)Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z

3. Identier alors les groupes suivants :

Z/316Z×Z/73076Z et Z/4Z×Z/158Z×Z/36538Z.

Rép : le ppcm des ordres des groupes facteurs est le même dans les deux groupes, à savoir 2²×79×18269, mais par passage au quotient le premier est cyclique tandis que le deuxième quotient est de Klein , ainsi on a :

Z/316Z×Z/73076Z'Z/(2²×79×18269)Z×Z/2²Z et

Z/4Z×Z/158Z×Z/36538Z'Z/(2²×79×18269)Z×Z/2Z×Z/2Z.

EXERCICE I : Soit G un groupe, alors G opère sur lui-même par conjugaison ; par suite deux éléments de G sont en relation si et seulement s'ils sont conjugués dans G.

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1. Montrer que cette relation de conjugaison est une relation d'équivalence dans G.

Rép : Cette relation est une relation d'equivalence car les orbites (d'une action) denissent une partition de G. Autre justication elle est à la fois reexive , symétrique et transitive, en eet la relation R est telle que

gRg⁰ ⇔ ∃h∈G|g⁰ =hgh⁻¹, par suite :

- g =ege où e l'élément neutre, donc R est rééxive ; - Si g⁰ =hgh⁻¹ alors g =h⁻¹g⁰h, donc R est symétrique ;

- Si g⁰ =hgh⁻¹ et g⁰⁰=h⁰g⁰h⁰⁻¹ alors par substitution on obtient que

g⁰⁰ =h⁰hgh⁻¹h⁰⁻¹ =h⁰⁰gh⁰⁰⁻¹ où h⁰⁰ =h⁰h, donc R est transitive. D'où R est d'équivalence.

2. Écrire en comprehension la classe d'un élément g quelconque dans G. Rép : La classe de g est g¯={hgh⁻¹, h∈G}.

3. Déterminer la classe d'un élément g lorsque le groupe G est abélien . Rép : Si G est abélien le conjugué de g est hgh⁻¹ =g donc g¯={g}.

4. Soient g un élément d'un groupe G, n l'ordre de G et m celui de g, quel est l'ordre d'un conjugué de g dans G?

Rép : L'ordre d'un conjugué de g est le même que l'ordre de g car un conjugué de g est une transformation de g par un automorphisme interieur de G, donc ord(g) =ord(hgh⁻¹) = m 5. Déterminer la classes de conjugaison du cycle (123) dans le groupe symétrique S₃.

Rép : La classe de (123) contient τ₁₂(123)τ₁₂ = (132) = (123)², donc clairement cette classe est {(123),(132)}, puisque elle ne peut contenir à la limite que des éléments d'ordre 3. 6. la relation de conjugaison est-elle compatible avec la loi de S₃? justier votre réponse.

Rép : Non, car la relation de conjugaison ne coincide pas avec la relation d'équivalence dénie par la classe de l'élément neutre (S3 non abélien).

EXERCICE II : Soit G un groupe d'ordre2n engendré par deux éléments a et b tels que : ord(b) =n etord(a) = ord(ab) = 2.

1. Montrer que le sous-groupe de G engendré par b, est distingué dans G et en déduire que G={e, b, b²,· · ·, bⁿ⁻¹} q {a, ab, ab²,· · ·, abⁿ⁻¹} où q est le symbole " réunion disjointe ".

Rép : Le sous-groupe hbi engendré par b est d'indice 2 dans G, par suite les classes à gauche et les classes à droite modulo hbi coincident, donc hbi est distingué dans G. les deux classes disjointes, cl(e) = hbi et cl(a) = ahbi forment une partition de G, par suite G={e, b, b²,· · ·, bⁿ⁻¹} q {a, ab, ab²,· · ·, abⁿ⁻¹}

2. a) Quel est l'élément de G correspondant au produit ba? Rép : De abab=e=aa, on tire que ba=abⁿ⁻¹.

b) En déduire l'élément de Gcorrespondant au produit bⁱa, où i∈ {1, ..., n−1}. Rép : Il s'agit de bⁱa=abⁿ⁻ⁱ qu'on peut obtenir par réccurence nie sur i.

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3. Montrer que le groupe G est abélien si et seulement si n= 2.

Rép : Si n = 2 alors les éléments de G autre que l'élément neutre sont tous d'ordre 2, donc Gest abélien (autre démonstration : d'après la formule ci-dessus, on a bien ab=baet comme Gengendré par a etb alors Gest abélien).

Réciproquement, siGest abélien, alors ab=ba=abⁿ⁻¹; par multiplication des deux membres par a, on obtient alors que b=bⁿ⁻¹, par suite n = 2 car n est l'ordre de b.

Remarque : Si G est un groupe d'ordre 2n, engendré par deux éléments a et b tels que ord(a) =ord(ab) = 2 et ord(b) =n;les questions 1) et 2) ci-dessus, montrent que la table de multiplication de G est complètement déterminée, autrement dit, que la structure de groupe sur l'ensemble G = {e, b, b²,· · ·, bⁿ⁻¹} q {a, ab, ab²,· · ·, abⁿ⁻¹} est unique ; la justication en est la suivante :

Soient Get G˜ deux groupes de même ordre 2n ayant chacun deux générateurs a etb (resp.a˜ et˜b) tels que : ord(a) = ord(a b) = ord(˜a) = ord(˜a ˜b ) = 2 et ord(b) = ord(˜b) = n. Soit la bijectionf de G dans G˜ dénie par :

f (aⁱ b^j) = ˜aⁱ

˜bj

(i, j)∈ {0,1} × {0,· · ·, n−1}.

4. Montrer que f est un isomorphisme de groupes. Un tel groupe G est dit Diédral d'indice n, et est noté par D_n.

Rép : L'application f est bijective, reste à verier que c'est un homomorphisme de groupes.

Soit alors x = aⁱ b^j et y = a^k b^l deux éléments quelconque de G, montrons que f(xy) = f(x)f(y) c-à-d f aⁱ b^ja^k b^l

= f (aⁱ b^j)f a^k b^l Sik = 0 l'expression de gauche s'écrit .

f aⁱ b^j b^l

= f aⁱ b^j+l

= ˜aⁱ ˜b^j+l = ˜aⁱ ˜b^j˜b^l =f (aⁱ b^j)f b^l

; Sik = 1, alors b^ja=ab^n−j, donc

f aⁱ b^j ab^l

= f aⁱ⁺¹b^n−j+l

= ˜aⁱ⁺¹ ˜b^n−j+l= ˜aⁱ ˜a˜b^n−j˜b^l= ˜aⁱ ˜b^j˜a˜b^l= f (aⁱ b^j)f a b^l . 5. Donner la structure de G dans les cas de n= 2 etn = 3.

Rép : Pourn= 2,le groupe est abélien d'ordre4, mais pas cyclique, car tout élément dierent de e est d'ordre 2 donc le groupe est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z (groupe de Klein).

Pourn = 3, le groupe est d'ordre6 non abélien, donc isomorphe S3 (le plus petit groupe non abélien).

6. Donner à isomorphisme près tous les groupes d'ordre 4 et6.

Rép : Ceux d'ordre4sont en deux types : cyclique isomorphe à Z/4Zou abélien non cyclique isomorphe à Z/2Z×Z/2Z.

Ceux d'ordre 6 sont en deux types : cyclique isomorphe à Z/6Z ou non abélien isomorphe à S₃.

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