Vision à la Grossberg: simulation du modèle monoculaire préattentif

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Vision à la Grossberg: simulation du modèle monoculaire préattentif

BRIFFOD, Claude Dominique E., BURGI, Pierre-Yves

Abstract

Ce travail porte sur les mécanismes monoculaires préattentifs que Grossberg a élaboré dans sa théorie générale sur la vision. Le modèle qui en résulte se divise en trois processus principaux qui sont étudés successivement: le prétraitement monoculaire qui élimine les effets d'une illumination non uniforme au moyen d'une interaction on-center off-surround; le Boundary Contour System (BCS) qui détecte et complète les contours des objets à partir des données fournies par le prétraitement; le Feature Contour System (FCS) qui permet de retrouver les caractéristiques des objets en effectuant une diffusion du signal prétraité. La description générale du modèle est accompagnée d'un exposé des contraintes de conception du modèle (principes d'incertitude et de complémentarité) et d'un résumé des différents résultats psychophysiques (perception de la brillance et paradoxes visuels) permettant de découvrir les règles qui régissent les mécanismes de chacun de ces processus.Trois versions du modèle de BCS sont décrites: une version simple et non récurrente, une version récurrente qui est à la [...]

BRIFFOD, Claude Dominique E., BURGI, Pierre-Yves. Vision à la Grossberg: simulation du modèle monoculaire préattentif. 1991

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http://archive-ouverte.unige.ch/unige:47996

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CENTRE UNIVÉRSITAIRE D'INFORM(\TIQUE

GROUPE IA ET VISION

Date:

No

RAPPORTDERECHERCHE VISION

15 avril 1991 91.05

Vision à la Grossberg:

simulation du modèle monoculaire pré attentif

C. Briffod et P.-Y. Burgi

Computing Science Center, University ofGeneva 12, rue du Lac, CH-1207 Geneva SWITZERLAND

Tel: +41(22) 787 65 80, fax:+41(22) 735 39 05. e-mail: [email protected]

•

UNIVERSITE DE GENEVE FACULTE DES scn;NCES

CENTRE UNIVERSITAIRE D'INFORMATIQUE Travail de Licence

Mars 1991

Briffod Claude

Ce tfavail porte sur les mécanismes monoculaires préattentifs que Grossberg a élabo~é dans sa théorie générale sur la vision. Le modèle qui en résulte se divise en trois processus principau.x qui sont étudw successivement: le prétraitement mono- culaire qui élimine les effets d'une illumination non uniforme au moyen d'une inte- raction on-center off-surround; le Boundary Contour System (BCS) qui détecte et complète les contours des objets à partir des données fournies par le prétraitement;

le Feature Contour System (FCS) qui permet de retrouver les caractéristiques des objets en effectuant une diffusion du signal prétraité. La description générale du modèle est accompagnée d'un exposé des contraintes de conception du modèle (prin- cipes d'incertitude et de complémentarité) et d'un résumé des différents résultats psychophysiques (perception de la brillance et paradoxes visuels) permettant de dé- couvrir les règles qui régissent les mécanismes de chacun de ces processus.

Trois versions du modèle de BCS sont décrites: une version simple et non récur- rente, une version récurrente qui est à la base des travaux de Grossberg concernant la synthèse des contours et une version améliorée de cette dernière. La décomposi- tion des modèles en plusieurs niveau.x de traitements (détection de contrastes, seuillage, compétitions et coopération) est exposée ainsi que les équations correspon- dantes et la construction de certains champs récepteurs.

Ce travail se termine par un exposé critique portant sur le fond et la forme des tra- vaux de Grossberg suivi d'une énumération (non exhaustive) des problèmes restés ouverts et des voies de recherche possibles.

. 1 Introduction.... ... ... ... .. ... ... ... ...

¹

1.1 Système visuel, incertitudes et paradoxes ...

1

1.2 Organisation du travail ...

2

2 Description du modèle ...

3

2.1 Motivations ...

3

2.1.1 Elimination de l'illumination supe:rflue ... 3

2.1.2 Diffusion ... 3

2.1.3 Synthèse des contours ... 4

2.2 Modèle ...

⁵

2.2.1 Description du modèle .. . . . .. .. .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 5

2.2.2 Prétraitement monoculaire (MP) ... . .. . ... ... ... . . ... .. . . .. .. . .. .. . .. 8

2.2.3 Boundary contour system (BCS) ... 10

2.2.4 Feature contour system (FCS) ... 11

3 Prétraitement monoculaire . . . . ... . . . .. . .... .. .. .. . .. .. . . .. . .. .. . . . ... .. .. . . . . . ...

13

3.1 Entrée du prétraitement. ...

13

3.2 Equation de la membrane ... ... ..

13

3.3 Equations du prétraitement ...

16

3 .4 Choix des paramètres et comportement de l'équation ...

19

3.4.1 Difficulté du choix ... 19

3.4.2 Comportement pour une entrée uniforme... 20

3.4.3 Comportement pour un saut d'intensité (step edge) ... 22

3.4.3.1 Réponse du prétraitement pour un saut.. ... 23

3.4.3.2 Estimations pour certaines valeurs... 26

3.4.3.3 Relations entre ces points ... ... ... ... 27

3.4.3.4 Etude du signe de la dérivée... 30

3.4.3.5 Résumé ... ... ... ... ... ... ... 31

3.6 Quelques exemples ... ... ... ... ... ... .... .... ....

36

3.6:1 Paramètres utilisés ... 36

3.6.2 Exemples... 37

4 Boundary Contour System ...

50

4.1 Préambule ...

50

4.2 BCS non récurrent ... ...

50

4.2.1 Modèle ... .. . ... ... ... .. . .. .. . ... . ... ... 50

4.2.2 Equations et comportement... 52

4.2.2.1 Premier niveau ... 52

4.2.2.2 Deuxième et troisième niveaux ... ... .. . . .... .... . ... .. .... .. ... 67

4.2.2.3 Niveau quatre: sortie du BCS ... 75

4.3 BCS récurrent ... ... ... ... ...

76

'4.3.1 Modèle ... 76

4.3.2 Equations... 81

4.3.2.1 OC Filter ... 81

4.3.2.2 CC Loop ... 83

4.4 BCS version récurrente améliorée ... ... ... .

88

4.4. l Modèle ... .. ... .... ... ... ... ... 88

4.4.2 Equations ... 90

4.4.2.1 OC Filter ... .. ... ... ... 90

4.4.2.2 CC Loop ... ... ... ... ... .. ... 90

5 Feature Contour System ...

96

5.1 Description du FCS ...

96

5.2 Equations ... ...

97

5.3 Résolution de l'équation de diffusion ... ...

98

5.3.1 Existence d'une solution ... 98

5.3.2 Calcul par des méthodes itératives ... 100

7

Co~clusions

... 110

f

7 .1 Cnt1ques ...

110

7 .2 Problèmes ouverts ... ... ... ... .... .

111

7 .3 Petit glossaire ...

112

8 Bibliographie... 115

Vision à la Grossberg

1

J 'e;r.âminai Ces Wis cfe (a pensée et Ces postulats sur fesquefs reposent Ces sy{{ogismes cfe (a fo- gique et peu à peu je m'aperçus qu'à mon point cfe vue, c'est à aire r.e point cfe vue cfe que{qu 'un

qui dierdie (a vérité et (a réalité, (a fogique supposait une croyance à Ca réalité o6jective

ie

Ca classification, croyance que mes étucfes 6ioCogiques et minéraCogiques m'avaient reniues impos- si6f.e. La Cogique, me sem6Ca-t-i!, s'est emparée a'un tféfaut inliérent à ['esprit ft.umain et Ca orienté afin

ie

créer un système

ie

raisonnement qui soit e;r.ac.t aans ses proc.écfé.s. 'Et moi, cf'ac.- corrf avec (a grancle masse cfes ilietrés, je m'étais figuré que (a Cogique se proposait

ie

fournir une science et une métft.ocfe sûre pour (a recft.erc.ft.e et Cezyression

ie

Ca réalité.

9-f.(j. 'WELLS

1 Introduction

1.1 Système visuel, incertitudes et paradoxes

S. Grossberg et ses disciples (E. Mingolla, D. 'lbdorovic et M. ^A. Cohen) ont élaboré une théorie de la vision, basée principalement sur une étude psychophysique de laper- ception visuelle, rejoignant certaines découvertes dans le domaine de la neurophysio- logie. Les auteurs ont aussi énoncé différents concepts et postulats généraux, sur lesquels repose la construction de cette théorie; il m'a donc semblé utile de commencer ce travail par un bref exposé de ées idées.

Le rôle du système visuel étant de permettre à un individu d'acquérir des informa- tions malgré les changements de l'environnement, Grossberg met en évidence l'aptitu- de que possède le système visuel à synthétiser une représentation globalement non ambiguë à partir d'informations localement ambiguës. Plus spécifiquement, le système visuel est capable de détecter l'invariance de surfaces colorées sous une illumination variante ainsi que des contours d'objets, invariants, malgré le bruit causé par les objets environnants et les défauts du système optique (point aveugle, veines de la rétine, etc ... ).

Les processus d'acquisition d'informations étant soumis à des incertitudes, Gross- berg, en référence à la mécanique quantique, met en avant l'importance des principes d'incertitude et de la notion de complémentarité comme contraintes de développement de sa théorie. Ces deux concepts sont exprimés par le fait que la résolution d'un type d'incertitude par un processus neural fait souvent apparaître un autre type d'incerti- tude et que le processus neural détectant des surfaces colorées invariantes est complé-

mentaire à celui détectant des contours invariants. Les incertitudes ne sont donc pas diminuées séquentiellement d'un traitement à l'autre mais le système, dans sa totalité,

1.

les réso.ut par des niveaux parallèles et hiérarchiques de traitements (hetercirchical compensation for uncertainties of measurement), chaque processus compensant les li-

'

mitations de l'autre.

Pour surmonter ces incertitudes, le système visuel a dû développer des mécanismes capable de générer la propriété adaptative de la perception visuelle. Grossberg consi- dère que ces différents mécanismes sont aussi la cause de certains paradoxes visuels et que ces illusions perceptives peuvent être utilisées pour découvrir les règles régis- sant ces mécanismes.

Les multiples sources d'informations utilisées par le système visuel pour synthéti- ser une perception cohérente, font apparaître la nécessité de pouvoir faire coopérer les différents traitements du modèle et donc de prévoir une compatibilité entre les infor- mations traitées par les différents processus. Il faut donc, selon Grossberg, élaborer une "machine de vision préattentive à but général" (,general purpose preattentive vision machine) formée de modules moins spécialisés et plus aptes à traiter différents types d'informations.

1.2 Organisation du travail

Le présent travail se restreint à l'étude des mécanismes monoculaires préattentifs de cette théorie ainsi qu'à la simulation du modèle qui en résulte. Les simulations sont limitées à des images statiques et monochromatiques. Le modèle se décompose en trois modules: un prétraitement et deux sous-systèmes. Uun des sous-systèmes (Boundary Contour system ou BCS) et effectue une segmentation "émergeante" donnant lieu à des contours, alors que l'autre sous-système effectue une diffusion de l'image prétraitée de manière à retrouver ses caractéristiques (Feature contour system ou FCS). L'interac- tion de ces deux sous-systèmes génére une représentation visuelle.

La description du modèle est abordée en deux parties; à savoir premièrement par une description générale du modèle et un exposé des motivations amenant à son archi- tecture (chapitre 2); puis deuxièmement par une description de chaque module (Pré- traitement, BCS, FCS) en examinant les équations décrivant les interactions neurales, l'interaction des sous-modules et, s'il y a lieu, les différentes architectures proposées (chapitres 3, 4 et 5). Cette description est suivie de simulations (chapitre 6).

Ce travail se termine par une revue des différentes critiques qui sont apparues lors de l'étude de cette théorie, suivi d'une liste des différents problèmes restés ouverts (chapitre 7).

2 Description du modèle

;

2.1

~otivations

'

2.1.1 Elimination de l'illumination superflue

Lorsqu'un objet est éclairé par une ou plusieurs sources, la quantité de lumière qui atteint l'œil d'un observateur à partir de chaque point de l'objet est déterminée par le produit de deux facteurs: i) le pouvoir de réflexion de l'objet (réflectance), qui est une valeur constante et propre à l'objet; ii) la quantité de lumière utilisée pour illuminer l'objet, quantité variable suivant le temps etJou la position. La nature variable de l'in- formation transmise à l'œil fait donc apparaître une incertitude tant au niveau de la mesure de la couleur ou de la brillance des objets qu'au niveau de la mesure de leur forme, d'où la nécessité d'un mécanisme capable de surmonter cette incertitude.

Land et ses collègues ont mis en évidence la nature de ce mécanisme lors d'expérien- ces sur la perception des couleurs sous une illumination non uniforme [18]. Lors de ces expériences, une image formée de patches de couleur superposés étaient observés sous différentes conditions de lumière. Les expériences de Land ont démontré que le systè- me visuel possédait une propriété de stabilité pour la perception des couleurs et que la sensation de couleur était déterminée par le contraste relatif sur la frontière des pat- ches, la luminance à l'intérieur n'étant pas prise en compte. En effet, comparer la lu- minance de deux positions proches de part et d'autre de la frontière de deux objets permet d'éviter les effets d'une illumination non uniforme et de calculer un quotient des réflectances de chaque objet.

Selon Grossberg, le mécanisme capable de surmonter cette incertitude devra être sensible à la direction et à la quantité de contraste d'une scène. La sensibilité à la di- rection du contraste permet de savoir de quel coté de la frontière se trouve la plus gran- de réflectance. La sensibilité à la quantité de contraste implique une atténuation du signal à l'intérieur des objets ce qui élimine le surplus de lumière (discount the illumi- nant) et permet de calculer une estimation de la réflectance aux frontières des objets.

Le signal sortant d'un tel traitement sera en quelque sorte une "image de contours co- lorés" que Grossberg appelle le FC signal (Feature contour signal).

2.1.2 Diffusion

La nature de ce prétraitement fait apparaître une nouvelle incertitude quand à la couleur ou brillance à l'intérieur de l'objet, qui peut être surmontée par une diffusion du signal de "contours colorés". En effet, en admettant la nature du prétraitement, le

fait que nous voyons des objets formés de surfaces colorées et non de contours colorés, démontre bien l'existence d'un mécanisme transformant le signal de "contours colorés"

en surfaces colorées. Les mécanismes de diffusion du système visuel sont mis 'en évi-

'

dence par certaines expériences comme celles dite d'image stabilisée ou par certainea

•

illusions comme les illusions de "neon colorspreading".

2.1.3 Synthèse des contours

Un carré de Kanizsa. Le carré illusoire est induit par la paire de "pac-men" noire et la paire blanche. Les contours illusoires du carré mettent en évidence une coopération entre les bords horizontaux de même direction de contraste et ceux verticaux de direction de contraste oppo- sée

La résolution du problème concernant la couleur de l'objet par une diffusion fournit une nouvelle incertitude concernant la forme du dit objet et fait apparaître le besoin d'un mécanisme capable de retenir la diffusion à l'intérieur de l'objet et donc capable de synthétiser les contours de l'objets afin d'éviter la "catastrophe perceptuelle" qui dé- coulerait d'une diffusion non maintenue dans les limites des objets formant la scène.

Ce mécanisme permet aussi de surmonter les incertitudes provenant des défauts du système optique (point aveugle, veines de la rétine etc.) qui fragmentent les contours de l'image rétinienne; il devra donc détecter les frontières des objets et les compléter.

La nature adaptative du mécanisme synthétisant les contours étant mise en évidence par certaines illusions de contours (i.e. figures d'Ehrenstein et de Kanisza), l'étude de ces illusions peut permettre de découvrir les règles auxquelles obéit ce mécanisme.

Dans la figure 1, un carré illusoire (carré de Kanisza) est induit par les quatre figures possédant la forme d'un secteur circulaire plus communément appelées pac-men. Les

contours de ce carré sont formés, d'une part des contours réels décrivant les bords de la "bouche" des pac-men et de l'autre de contours illusoires générés par le mécanisme

. r

chargé de compléter les contours. Les contours du carré sont synthétisés par la coopé- ration de frontières de même orientation, çorrespondant soit

'

à une même direction de contraste (contours horizontaux), soit à une direction de contraste opposée (contours verticaux). Cette brève analyse démontre qu'à l'inverse du prétraitement, le mécanis- me de détection et complétion de contours est sensible à l'orientation et à la quantité de contraste mais non à leur direction. De plus ce mécanisme ne différencie pas les con- tours illusoires des contours réels, les contours étant visible que lorsqu'ils bloquent la diffusion entre deux zones de brillance différente.

2.2 Modèle

2.2.1 Description du modèle

Le modèle est décomposable en trois modules¹ principaux, chaque module accom- plissant la tâche d'un des mécanismes mis en évidence ci-dessus, i.e. l'élimination de l'illumination superflue, la synthèse de contours, la diffusion du signal de contours co- lorés. L'interaction de ces trois modules permet de synthétiser une représentation vi- suelle. Le premier module est un prétraitement de l'image d'entrée (prétraitement monoculaire) qui permet de surmonter l'incertitude due à une illumination non unifor- me. La sortie de ce prétraitement est envoyée parallélement au deux autres modules.

Le deuxième module est chargé de la synthèse des contours des objet formant l'image (Boundary Contour system ou BCS). Une fois les contours définis, ce module envoie en sortie un signal au troisième module en vue de retenir la diffusion à l'intérieur des ob- jets. Le troisième module diffuse le signal venant du prétraitement de manière à re- trouver les caractéristiques des objets telles leur brillance ou leur couleur Œ'eature Contour system FCS). La visualisation de l'image se produit à la sortie du troisième mo- dule ce qui implique que les contours ne sont visible que s'ils séparent deux zones de brilllance différente, celles-ci étant définies par le mécanisme de diffusion (c.f. Figure 7).

Cette description qualitative de la nature et de l'interaction des différents traite- ments formant le modèle montre bien leur complémentarité pour la résolution des in- certitudes inhérentes à la perception du monde réel.

1. La décomposition du modèle en trois module n'est pas toujours évidente dans les articles de Grossberg car souvent le processus du prétraitement est mal défmi ou inclue dans le FCS. Pour la consistance de ce travail, j'ai décider de définir le prétraitement comme un module à part entière telle qu'il est défini dans l'article de Grossberg et Todorovic [15].

Principaux composants d'un réseau de neuronnes. Chaque neurone (l,J,K,L) est caractérisé par son activité s,,(t) qui est transformée par la fonction de sortie du neurone fp(1;,) (p=ij,k,l) de manière à définir le signal propagé vers les autres neurones à travers les différentes voies d'accès W pq (p=ij,k,l et q=ij,k,l). Le signal entrant dans un neurone par une de ces voies d'ac- cès est le produit du poids associé à cette voie et du signal propagé (eg. fj(a_1)*wlk). En général, l'activité d'un neurone est donc une fonction des signaux entrants et de son activité antérieur (eg. F(ak, f1(a₁)*w_{1k•···))}

Le modèle est réalisé par un réseau de neurones. Avant de décrire le modèle, il sem- ble nécessaire de définir les principaux aspects d'un réseau de neurones. Dans un ré- seau, les neurones sont regroupés en ensembles ou populations de différents niveaux.

La description d'un réseau commence généralement par la spécification de l'agence- ment topographique des neurones au sein d'un ensemble. Chaque neurone est caracté- risé par son activité ou potentiel représentant son état au temps t. L'activité d'un seul neurone correspond souvent à une caractéristique locale qui devient significative lors- que l'on considère l'activité de tous les neurones d'une même population. L'activité du neurone est propagée vers les autres cellules sous forme d'un signal défini par sa fonc- tion de sortie (les cas les plus répandus sont des fonctions de type seuil ou la fonction identité). Les neurones sont connectés entre eux par différentes voies d'accès (pathway)

leur permettant d'interagir, chaque voie d'accès étant pondérée de manière à détermi- ner la répartition du signal de sortie d'un neurone vers les neurones ciblés (c.f. Figure 2). Les voies d'accès peuvent être récurrentes (i.e. reliant les neurones d'un même en-_{f . .} semble ou provenant de neurones d'une population supérieure, elle même activée par les neurones de la population d'arrivée) ou non-récurrentes (i.e. provenant d'une popu- lation inférieure) (c.f. Figure 3). Les connections peuvent être de deux types: inhibitoi- res ou excitatoires. La connection est inhibitoire si le signal entrant baisse l'activité du neurone, elle est excitatoire si elle augmente son activité. Le champ récepteur d'un neurone est défini par l'ensemble de ses connections afférentes. La forme du champ ré- cepteur est décrite par l'agencement des neurones au départ des connections et lapon- dération de chaque voie d'accès. Le variation de l'activité d'un neurone dans le temps en fonction des différentes connections est définie par une règle d'activation. Les neu- rones d'un même ensemble ont généralement la même règle d'activation et le même type de champ récepteur.

Fi re 3

II)

1)

B)

Les neurones représentés dans les schémas A) et B) sont assemblés en deux populations dis- tinctes (1) et II)). Les voies d'accès qui permettent aux neurones d'interagir sont de deux ty- pes: les voies d'accès 1 sont non-récurrentes (feed-forward), les voies d'accès 2 sont récurrentes <feed-back).

Le modèle étant destiné au traitement d'image, les neurones d'une même popula- tion sont donc organisés de manière à former un tableau hi-dimensionnel. Cet agence- ment permet une compatibilité avec la représentation des images échantillonées. A chaque point de l'image corréspond un neurone, l'activité du neurone exprimant soit di- rectement la luminance (ou une fonction de la luminance) de cette position, soit une ca-

ractéristique de la partie de l'image en son voisinage (e.g. contraste local, partie d';m contour ~te.). Les connections entre neurones sont définies au sein de la règle d'acti·•, t-

tion. Cette règle est exprimée par une équation différentielle décrivant la variation de l'activité au cours du temps en fonction des signaux provenant des autres neuroner

•

)t

des pondérations de leurs différentes voies d'accès.

Chacun des modules composant le modèle est constitué d'une ou de plusieurs por L-

lations de neurones. De manière à effectuer les traitements correspondant à chaq·-rn module, les réseaux correspondants sont organisés selon une architecture et des règles différentes. Une brève description qualitative est donnée ci-dessous pour chaque mo- dule. Une description mathématique se trouve dans les trois chapitres suivants.

2.2.2 Prétraitement monoculaire (MP)

Fi e4

A)

B)

Dans le schéma A), le neurone (en gris) est excité par la population se trouvant au centre (flè- che avec+) et est inhibé par celle se trouvant sur sa périphérie (flèche avec-). Le schéma B) représente le profil d'un champ récepteur de ce type (à gauche) et le champ récepteur vue de dessus (à droite), celui-ci présente effectivement une similitude avec un chapeau mexicain.

Le réseau correspondant au prétraitement est formé d'un seul ensemble de neuro- nes activé par les niveaux d'intensité de l'image d'entrée. Ces neurones ont un champ

1 .

récepteur circulaire, semblable (selon Grossberg) à celui des cellules de bas niveau du

f

système visuel comme les cellules ganglionaires de la rétine ou les cellules du corps ge- nouillé. L'architecture utilisée est du type "on-center off-surround" où le champ récep- teur a la forme d'un chapeau mexicain. Le neurone est excité par la population se trouvant au centre de son champ récepteur et est inhibé par celle se situant sur sapé- riphérie, i.e. l'activité du neurone est augmentée si la luminance au centre de son champ récepteur est plus élevée que celle dans sa périphérie, une condition inverse de luminance diminuant son activité (c.f. Figure 4).

Ce type d'organisation possède les propriétés mises en évidence dans la première partie de ce chapitre: i) de part sa forme circulaire, le champ récepteur est insensible à l'orientation des contrastes, ii) la sensibilité à la quantité de contraste vient du fait que l'activité de la cellule réceptrice est corrélée avec la quantité du contraste entre la lu- minance centrale et périphérique atteignant son champ de réception, iii) la sensibilité à la direction du contraste apparait en considérant deux neurones dont les champs ré- cepteurs sont localisés de part et d'autre d'un bord séparant deux régions de luminance différentes, le neurone centré sur la région de luminance plus élevée aura un niveau d'activité plus élevé que celui centré sur la région de plus basse luminance (c.f. Figure 5).

Fi re 5

A) B)

Les profils des champs récepteurs des neurones du prétraitement sont représentés en gris (la partie gris foncé représente la partie excita~ire, la partie gris clair le champ inhibitoire).

Dans le schéma A), la partie excitatoire est entièrement centrée dans la région de faible lu- minance alors que la partie inhibitoire est en partie positionnée dans la région de forte lumi- nance. Dans le schéma B), la partie excitatoire est entièrement centrée dans la région de forte luminance, la partie inhibitoire étant en partie positionnée dans la région de faible luminan- ce. La cellule correspondant au champ récepteur du schéma A) aura donc une activité plus faible que celle correspondant au schéma B).

2.2.3 Boundary contour system {BCS)

La sinthèse des contours par le BCS nécessite une architecture plus complexe que celle dtl prétraitement. Le BCS est composé de plusieurs niveaux ou étages de traite- ment, chaque niveau comprenant plusieurs populations de neurones, chaque popula- tion correspondant à une orientation spécifique. Le traitement effectué par le premier niveau du BCS est une détection orientée de contraste. Pour ce faire les cellules appar- tenant à cet étage ont un champ récepteur allongé selon l'orientation qu'ils représen- tent. Le champ récepteur de chaque cellule est sensible à l'orientation et à la quantité de contraste mais non à la direction du contraste (cf 2.1 et Figure 1), ainsi une cellule appartenant à une population correspondant à une certaine orientation peut être acti- vée par une frontière de même orientation séparant soit une zone claire d'une zone fon- cée soit une zone foncée d'une zone claire. Ce processus de détection de frontière est appelé OC Filter (OC correspondant à oriented contrast).

Fi re6 Diffusion (FCS)

Prétraitement

Q..

Q

~ Q

u

1

u

Schéma des différents traitements qui eomposent le Boundary Contoour System.

Les signaux provenant des populations de cellules du OC Filter entrent dans un pro- cessus appelé CC loop (CC pour competition-cooperation). Ce processus est formé de deux étages de compétition suivis d'un étage de coopération. Le premier étage de com- pétition correspond à une compétition entre les cellules d'une population de même

orientation, mais située à des positions différentes. Le second étage effectue une com- pétition entre les cellules correspondant à une même position mais appartenant à des

1

populations d'orientations perpendiculaires. La sortie du dernier étage de compétition entre dans l'étage de coopération dont le rôle est de compléter les contours. Le champ

'

récepteur d'une cellule de l'étage de coopération est centré sur la même position que cette cellule et s'étend de part et d'autre de cette position selon l'orientation de sa po- pulation. Une cellule de l'étage de coopération est donc activée par les cellules de même orientation qui sont alignée de part et d'autre de son champ récepteur (i.e. alignée selon cette même orientation). La sortie de cet étage de coopération est réinjectée dans le pre- mier étage de compétition. Les contours sont synthétisés par l'addition des activités des cellules de toutes les populations lorsque le système a atteint un point d'éqùilibre.

2.2.4 Feature contour system (FCS)

Les neurones formant le FCS sont regroupé de manière à former un syncytium de cellules. Un syncytium est une structure hi-dimensionnelle de neurones dont la parti- cularité est que l'activité d'une cellule peut se propager vers les cellules contiguës à tra- vers les membranes qui les séparent. L'activité des neurones formant ce syncytium est initialisée par le signal de "contours colorés" du prétraitement. La propagation de l'ac- tivité entre les cellules se fait par un mécanisme de diffusion. Afin de contenir cette dif- fusion à l'intérieur des objets, les signaux provenant du BCS bloquent la propagation de l'activité, en augmentant la résistance des membranes dont la position correspond à une frontière.

;

@

Fi re 7

VISUALISATION

0

Feature Contour System

(FCS)

Prétraitement Monoculaire (MP)

0

ENTREE

@

Boundazy Contour System (BCS)

Diagramme des interactions entre les différents modules du modèle. Le prétraitement (MP) envoie parallèlement le signal de "contours colorés" au BCS et au FCS (fi.èches n° 8). Le BCS synthétise et complète les contours, puis envoie au FCS des signaux qui expriment la topo- graphie de la scène de manière à maintenir la diffusion à l'intérieur des objets (flèche n° 8).

La diffusion au sein du FCS est déclenchée par le signal venant du prétraitement et est at- ténuée soit par son extension spatiale, soit par le signal venant du BCS. La sortie du FCS est l'image visualisable (fi.èche n° 0). Les différentes étapes du traitement d'une image par le mo- dèle sont illustrée par les graphiques

CD à©.

Ces graphiques représentent une coupe de l'i- mage avant et après chaque traitement.

3 Prétraitement monoculaire

3.1

~ntrée

du prétraitement

Le prétraitement est appliqué directement sur une image. Cette image est repré-

'

sentée par un tableau hi-dimensionnel où chaque élément Iii correspond à l'intensité de la position (iJ). La similitude existant entre la représentation d'une population de neurones et celle d'une image permet de considérer l'entrée du prétraitement comme un ensemble de cellules dont l'activité serait égale à l'intensité de l'image.

De manière à étudier le comportement de l'équation du prétraitement lors de varia- tions de l'intensité totale de l'image, Grossberg considère l'intensité Iii comme une fonction dépendant du temps (i.e. Iii = Ii}t)) [9]. Cette intensité est alors décomposée comme le produit de deux facteurs: / .. (t) = J(t)9 .. où J(t) =

"'1,.

₁

m

est l'intensité totale

IJ lJ ~

de l'image ou l'intensité de fond (backround intensity) variant à cause des fluctuations de la source lumineuse et 9 .. est la pondération de l'entrée à la position (iJ); c'est une

IJ

quantité fixée qui suit la relation ~9 _~ ..

=

1. Si l'entrée est éclairée de manière unifor-

lJ

me, 9 .. correspond à la réflectance de la scène au point (iJ),.

lJ

3.2 Equation de la membrane

L'équation décrivant le prétraitement est dérivée de l'équation de la membrane dé- finie par Hodgkin et Huxley¹ dont l'équation de Grossberg est une adaptation. L'exposé suivant n'est qu'un compte rendu succinct et simplificateur de certains aspects de l'é- tude électrophysiologique du potentiel des cellules nerveuses.

La membrane d'une cellule est caractérisée par une différence de potentiel non nul- le, sa face externe étant chargée positivement par rapport à sa face interne. On appelle cette quantité le potentiel de repos ou potentiel de la cellule. Lorsqu'une cellule nerveu- se est excitée ou inhibée ce potentiel varie, on parle alors de potentiel d'action ou d'ac- tivité de la cellule. C'est ce potentiel qui, propagé de neurones en neurones, permet à ceux-ci d'interagir.

La convention veut que l'on mesure le potentiel de la cellule en prenant la différen- ce de potentiel entre l'intérieur et l'extérieur, ce qui implique que son potentiel de repos est négatif (i.e (Vrepo•

=

Vint - Vut> < O ). Le potentiel de repos est pris comme référence lors des variations de potentiel, une augmentation du potentiel externe correspond à une diminution du potentiel de la cellule alors qu'une augmentation du potentiel inter-

1. Les travaux de Hodgkin et Huxley sur ce sujet datent de 1952, mes sources ne sont pas directes mais proviennent d'un ouvrage général sur la biophysique [5] et de l'Encyclopédia universalis.

ne correspond à une augmentation de celui de la cellule.

L'exi~tence du potentiel de la membrane vient des différences de concentrations io- niques entre l'intérieur et l'extérieur de la cellule. Les variations dé ce potentiel pro- viennent de la perméabilité variable de la membrane ' à certains ions; Hodgkin et Huxley ont mis en évidence trois ions diffusibles, à savoir le Na+, le K+ et le c1-.

Au repos la concentration de K+ est plus importante à l'intérieur de la cellule et cel- les de Na+ et CI- sont plus importantes à l'extérieur. Les différences de concentrations entre le Na+ et K+ sont maintenues par des mécanismes de pompes qui attirent les ions K+ à l'intérieur et chassent ceux de Na+ vers l'extérieur. La membrane, lors du repos, est pratiquement imperméable au Na+ et K+ et seul le cation c1-se déplace en quantité égale à travers la membrane, sans pour autant altérer son potentiel (c.f. Figure SA).

On peut donc considérer le potentiel d'équilibre du c1-comme étant égal au potentiel de repos de la membrane. Si la cellule est excitée, la membrane devient perméable aux Na+ qui pénetrent à l'intérieur de la cellule (en raison du gradient de concentration et de la valeur du potentiel de repos), ce qui a pour effet d'augmenter le potentiel de la membrane (c.f. Figure SB). Lors de l'inhibition la perméabilité de la membrane aux ions K+ est augmentée, ceux-ci se déplacent alOrs vers l'extérieur de la cellule provo- quant une diminution de son potentiel (c.f. Figure SC).

Fi es

K+

CI-

A) B) C)

Schéma de la diffusion ionique à travers la membrane pendant le repos (A), lors de l'excita- tion (perméabilité aux ions Na+) (B) et lors de l'inhibition (perméabilité aux ions K+) (C).

Le circuit électrique équivalent à ces mécanismes est présenté dans la figure 9. Il est formé de quatre branches parallèles: la première comprend un condensateur C qui correspond à la capacité de la membrane et les trois autres symbolisent chacune la par- tie perméable de la membrane à un ion particulier. Ces branches sont composées d'une source de tension dont la force électro-motrice équivaut au potentiel d'équilibre du ion

considéré et d'une résistance dont l'inverse (i.e. la conductance) correspond à la per- méabilité de la membrane pour ce ion. La branche correspondant au cation passif c1-

1

est forll]-ée d'une source dont la f.e.m. V,. est égale au potentiel de repos, la perméabilité étant représentée par une simple résistance R,.. Les branches correspondant aux ions actifs Na+ et K+ sont composées chacune d'une f.e.m. de valeur V Na et respectivement V K• la perméabilité variable de la membrane pour ces ions étant simulée par les résis- tances variables RNa et Rx. En l'absence d'activité, tout se passe comme si la capacité C était chargée par la source de tension V,., la valeur des résistance RNa et Rx étant pratiquement infinies (ce qui donne pour les conductances respectives gNa = gK = 0).

Lorsque la cellule est activée, les résistances RNa et Rx diminuent en fonction de l'ex- citation et de l'inhibition (augmentation de la conductance), la capacité C est alors sou- mise aux trois sources.

Fi re 9 Extérieur

V c

Intérieur

Circuit électrique de la membrane.

L'équation du circuit se résout en utilisant la loi de Kirchhoff: lc+lx+l,.+INa =O.

_Les courants des quatre branches sont définis par:

dV le= C dt

1 _r = (V - V _r )g _r où g _r

=

_R,. ^...!:._

lx= (V-Vx)gK oùgK

=;

K

1_{Na· = (V-}V Na)gNa OÙ gNa = R l Na

(1)

(2)

(3)

(4)

;

Etant donné la convention de mesure pour le potentiel de la membrane, on a:

(6)

ce qui implique que le potentiel V(t) varie entre les bornes définies par Vk et V Na·

3.3

Equations du prétraitement

L'équation décrivant les variations de l'activité

xip>

de la cellule vii du prétraite- ment correspondant à la position (i,j) est dérivée de l'équation (5) comme suit:

a) On pose la capacité C

=

1.

b) Les différents potentiels sont définis par: Vr

=

0 (ce qui correspond à éliminer la source de tension de la deuxième branche du circuit de la figure 9), V Na

=

B et ^{V K} = -D. La relation (6) implique que les constantes:B > 0 et ^D:::: 0

c) On pose la conductance passive ^gr =A, où A est une constante positive.

d) Les conductances variables excitatoire ^gNa et inhibitoire ^gK sont influencées par l'entrée du prétraitement. On note gNa

=

^Cii et Kx

=

^Eij• où ^Cii est l'entrée excitatoire totale et Eii est l'entrée inhibitoire totale de la cellule vij· Ces deux valeurs sont définies en convoluant l'entrée avec les fonctions ^Cpqij et ^Epqi/

(7)

Cpqij et Epqij sont des fonctions décrivant une diminution de l'influence de l'en- trée ^lpq sur le potentiel ^x,i avec l'accroissement de la distance entre ces deux positions. Elles sont définies par les gaussiennes (8) et (9) centrées en (i,J) :

c - c (

l 2 ((p-i)²+ (q-;)²))

pqij - exp - og a.₂ (8)

E .. ·== E (-1 2 ((p-i)2+ (q-;)2))

pqiJ exp og ~2 (9)

L'exposant de ces fonctions est multiplié par un facteur log2 de manière à ob- tenir une exponentielle en base 2. Le choix de cette base permet de calculer fa- ,cilement les courbes de niveau correspondant awi: rayons 1 a, 2a ... et ~. 2~ ... , et

1 donc d'évaluer l'extension spatiale de ces fonction. Par exemple: la valeur de la fonction (8) pour les points (p, q) se trouvant à une distance ex du centre (i,j)

est égale à C/2.

L'architecture On-center Off-surround est obtenue en choisissant les coeffi- cients de telle manière que C > E et en posant a<~ pour les rayons de chaque noyau gaussien.

L'équation devient donc:

(10)

l'activité :x:ip> est comprise entre les valeurs B et -D qui sont appelés les points de saturation, respectivement excitatoire et inhibitoire. La solution générale de cette équation est:

(11)

(

e:x:p(-(A+C .. +E .. )K₁₎₎

avec K

= -

^{A+c ..} '~E.~J où K₁ est une constante

IJ IJ

(12)

Pour calculer l'activité de la cellule vii on prend la valeur à l'équilibre de l'équation (10) en posant ;txij

=

0 (ce qui correspond à la valeur asymptotique de la solution (11), i.e lim:x:ÎJ{t)).

..

La solution est alors donnée par:

(13)

Fi re 10

Vue en 3D du champ :récepteur

Le numérateur de l'équation (13) représente une différence de gaussiennes qui for- me le champ récepteur (c.f. Figure 10) de la cellule vil Cet opérateur est utilisé dans de nombreux modèles pour simuler les champs récepteurs du système visuel. Il possè- de, entre autres, la propriété de détecter les contours et, sous certaines conditions, d'ap- proximer au mieux le laplacien d'une gaussienne [20]. Néanmoins, l'équation du prétraitement se distingue d'une différence de gaussiennes (qui correspond générale- ment à un filtre pass-band) de plusieurs manières, notamment à cause du dénomina- teur qui normalise l'activité xii' ·

Pour comprendre le fonctionnement du prétraitement, on peut considérer qu'il réa- git aux données fournies par l'entrée excitatoire totale Cii et l'entrée inhibitoire totale Eii au lieu de l'entrée Ipq· Les convolutions LCpqi/pq et "'LEpqi/pq effectuent une ana- lyse statistique de l'entrée: chaque noyau gaussien définit une région circulaire (dont la taille dépend des paramètres a et ~ ) sur laquelle les données sont statistiquement groupées. Si on néglige le terme ^A, l'équation (13) correspond alors à l'évaluation d'un contraste local entre l'entrée excitatoire et inhibitoire (c.f. Figure 11).

Les cellules du prétraitement émettent un signal de sortie que si elles sont dépola- risées (i.e. si leur activité est positive). Ce signal de sortie correspond à la partie posi- tive de l'activité obtenue en seuillant l'activité à partir de zéro:

(14) Xii étant le signal de sortie de la cellule ^vii'

Figure 11

;

I1 -12 contraste = -

1 I (1)

1 + 2

Comparaison entre le calcul d'un contraste entre deux régions de brillance I ₁ et 1

2 et le cal- cul de l'activité d'une cellule du prétraitement en considérant les entrées définies par les sta- tistiques Cii et Eii.

3.4 Choix des paramètres et comportement de l'équa- tion

3.4.1 Difficulté du choix

Pour pouvoir utiliser l'équation (13), il faut donner des valeurs aux sept paramètres

A, B, C, D, E, a et IL Cette opération est rendue difficile par la forme de l'équation: sa non-linéarité rend impossible l'approche par des méthodes utilisées pour les systèmes linéaires (transformée de Fourier, fonction de transfert, ... ) et l'utilisation de gaussien- nes rend ardue toute approche mathématique par passage dans le domaine continu ^(à cause des intégrales).

Les articles traitant de ce modèle ont généralement une approche qualitative du comportement des différents traitements. Ils ne contiennent donc pas de valeurs nu- mériques, ni même de discussions sur la manière de fixer les paramètres des différen- tes équations. On trouve néanmoins des valeurs dans quelques rares articles [15] et

[2] (l'article [2] traite d'un modèle quelque peu différent et uni-dimensionnel), données sans ju7tifications. Les valeurs provenant de l'article [15] sont: B = 90 et D = 60 pour les po.l,nts de saturations, C

=

^{18 et E = 0.5} pour les coefficients des gaussiennes, o. = 0.25

•

et ~

=

3 pour leur rayon respectif et A = 1.

Les seules contraintes restreignant le choix des paramètres sont données par les re- lations suivantes: C > E et a.<~ qui proviennent de l'architecture on-center off sur- round, on peut ajouter la relation B >D qui découle des valeurs généralement observées in vivo [8]. Etant donné le caractère physiologique de l'équation, certaines valeurs peuvent provenir d'expériences dans ce domaine, de manière à simuler le sys- tème visuel de certains êtres vivants. Il semble néanmoins utile d'essayer de trouver certaines règles permettant de fixer ces paramètres en fonctions du comportement du prétraitement pour des entrées particulières.

3.4.2 Comportement pour une entrée uniforme

L'étude de la transformation d'une entrée uniforme (i.e. Iii = H pour tout (i,j), où H est une constante positive) par le prétraitement est motivée par deux facteurs: la simplicité des calculs et une propriété définie par Grossberg dans deux articles. Dans ces articles ( [8] et [9]), l'auteur attribue à cette équation la propriété de featural noise supression qui est exprimée par le fait que le réseau supprime toute entrée uniforme.

L'activité des cellules du prétraitement pour une entrée constante Iii = H est défi- nie par l'équation suivante (équation (13) avec lpq

=

^{H pour tout (p, q)):}

(15)

Cette propriété defeatural noise supression implique que la numérateur de (13) doit être négatif ou nul (car le signal de sortie est la partie positive de l'activité), ce qui s'ex- prime par la relation:

(16)

L'équation du prétraite~ent ne possède pas cette propriété, les cellules étant, selon des hypothèses physiologiques, réglées de manière à avoir une activité non négligeable

pour les zones homogènes (comme les cellules ganglionaires de la rétines [15]). Il faut donc inverser l'inégalité (16) pour obtenir une relation répondant au hypothèse ci-des-

1 .

sus: _;

(17)

On peut approximer cette inégalité en remplaçant les sommes par l'intégrale cor- respondante (passage dans le domaine continu):

(p-i)2+ (q-J)2 -log2u2+u•

-log 2 a2 a' 7C

~ e ::

J J

^{e dudv}

= -cr2

~ log2 (18)

pq

L'approximation (18) est valable pour un échantillonage satifaisant (e.g. en choisis- sant cr~ 1 et en echantillonant la gaussienne centrée sur 6cr x 6cr ). En utilisant cette ap- proximation, on obtient alors:

qui peut s'écrire de la manière suivante:

BCa.2 - - > 1 DE~²

(19)

(20)

Le passage dans le domaine continu permet aussi de calculer l'activité d'une cellule dont le champs récepteur est positionné sur une zone homogène de l'image d'entrée. En remplaçant les sommes de l'équation (13) par l'approximation (18), on obtient:

Hlo:2

(BCa.2-DE~2)

xij

=

- - - -1t-

A + (Ca²+E~²)H

1

^og

2

(21)

Cette expression peut être simplifiée en choisissant les paramètre de telle sorte que:

' ' _(Ca² _+E~²_)-" ^{7t A} -

log2 H

L'estimation de l'activité xii donnée par (21) devient alors:

BCa²-DE~² x .. = - - - - -

i;- Ca2+E~2

• Exemple numérique:

Les paramètres du prétraitement sont fixés comme suit:

(22)

(23)

a

=

1 et ^~

=

3, C

=

18 et E

=

1 pour les rayons et les coefficients des gaussiennes, B

=

60 et D

=

60 pour les points de saturations et A

=

1 pour le decay.

La formule (23) nous donne la valeur: xii

=

40.

Les valeurs numériques calculées avec le programme simulant le prétraitement pour des images uniformes d'intensités: H = 0.2, 1, 100 sont:

xii

=

38.4299 pour H

=

0.2 xii = 39.9989 pour H = 1 xii

=

39.9992 pour H

=

100

On remarque que pour des valeurs de H > 0.1, le prétraitement est, dans ce cas, très peu dépendant de l'intensité H.

3.4.3 Comportement pour un saut d'intensité (step edge) Les sauts sont souvent utilisés pour tester les réactions des traitements sensibles aux contrastes. Ils sont définis par une fonction du type: Jij = H₁ si j < m et Iii = H₂ pour ^{j > m,} où ^H2^~H1 sont des constantes. La figure 12 présente la coupe d'une telle fonction qui correspond à la version uni-dimensionnelle d'un saut. L'étude de la trans- formation de cette fonction par le prétraitement permet de simuler son comportement pour des zones non-uniformes, telles les bords d'un objet. Il est donc intéressant de pou- voir définir la forme de la réponse du prétraitement pour une entrée de ce type et d'es- sayer de comprendre, le cas échéant, l'influence des paramètres sur celle-ci.

Fi re 12

A)

B)

Réponse du prétraitement (en B) à une entrée de type saut d'intensité (step edge) (en A). On remarque la eeneibilité au contraete et à ea direction, le maximum se trouvant sur la partie de plus haute intensité, le minimum sur celle plus basse. Lee valeurs des paramètres de l'é- quation (13) sont a = 4, ~

=

^{8, A}

=

l, B = 90, C

=

^{4, D = 60, E}

=

^1.

3.4.3.1 Réponse du prétraitement pour un saut

Pour commencer, il faut modifier l'équation (13) de manière à pouvoir esquisser la forme de la réponse en la calculant pour certaines valeurs. Pour simplifier les calculs, les équations ne seront développées que selon une dimension.

i) La version uni-dimensionnelle de l'équation (13) est donnée par:

(24)

(k - i) ² (k - i) ²

où

c,,i

= Cexp(...:.log2 ) et E,,i = Eexp(-log2---

a2 ~2 (25)

ii) Le passage dans le domaine continu s'effectue de la manière suivante:

.• On définit l'entrée par la fonction l(w) = H₁ pour w < 0 et l(w) = H₂ pour w > 0 aYec H₂>H₁

• Les noyaux gaussiens définis en (25) deviennent:

(w-z)~ (w-z)~

- J o g 2 - - -Jog2--

C(w, z) = Ce a

2 et E(w, z) = Ee P

2

• L'équation (24) pour xi devient une fonction x(z) définie par:

Br-

C(w, z)l(w)dw -D j:_E(w, z)l(w)dw

x(z)

= - - - -

A+

J:.

(C(w,z)+E(w,z))l(w)dw

iii) On modifie l'équation (27) de manière à sortir la fonction l(w) des intégrales:

• On utilise la séparation de l'intégrale et la définition de la fonction l(w):

J:.

C(w, z)l(w)dw

=

H

1

^{J~ C(w, z)dw + H}

2

^{J~ C(w, z)dw}

•On pose: H₂

=

H₂-H₁ +H₁ et sachant que J:_C(w,z)dw

=

(CaJic)l(../îog2) On obtient alors:

(26)

(27)

(28)

(29)

iv) Substitution de la variable d'intégration:

• Etudions le cas z > O:

; en effectuant la substitution R = w -z, on obtient:

(w-z)² If

- l o g 2 - - -1og2-

J-

₀ e ^{a2 d} w

= f-

^{-ze a2dR (30)}

la séparabilité de l'intégrale et le fait que l'exponentiel est une fonction paire:

K2 K2

-log2- c -log2- c

f

^{O e a2} d R + - - -^{1 ./1t} =

^Jz

e ^a2 dR+-¹ - -^./1t

-z 2 Jîog2

°

^{2 Jiog2 (31)}

•Pour z<O:

la formule (31) reste valable. Pour la calculer, il faut tenir compte de la valeur négative dè z qui change le signe devant l'intégrale comme suit: soit z = -r avec r > 0 on obtient:

K2 K2 If

-log2- -log2- -log2-

J -r

_{o e} ^{a2 dR}

_{= -} f

o _-re a2 dR _{= -}

fr

_oe ^{a2 dR} (32)

v) Résultat:

R2

Ji

• On note G0(R) = exp(-log2-), et K

=

~

cr2 -11og2

• La nouvelle formulation de (29) est définie par:

(H₂-H₁₎

(BCf~Ga(R)dR-DEf~G~(R)dR)

⁺

~

^(H₁ ^+H_{2 )} (BCa.-DEp)

x(z) = (33)

A+ (H₂-H₁₎

(Cf~Ga(R)dR+Ef~G~(R)dR)

⁺

~

^(H1 +H₂₎ (Ca.+EP)

Pour ies valeurs négatives de z on utilisera la formule suivante:

(H₁ -H_{2 )}

(BCJ~zGa(R)dR-DEJ~zGli(R)dR) +~

(H₁ +H_{2 )}

(BCa-DE~)

x(z) = (34)

A+ (H₁ -H_{2 )}

(CJ~zG 0 (R)dR+EJ~zGli(R)dR)

+

~

(H₁ +H_{2 )}

(Ca+E~)

3.4.3.2 Estimations pour certaines valeurs

Maintenant nous pouvons utiliser (33) et estimer la forme de la réponse du prétrai- tement en calculant l'activité pour certaines valeurs de z. Pour ce faire, il faudra recou- rir à quelques approximations.

i) Définitions des valeurs:

• Définissons -W₀ et W0 tel que G0(z)::O et

f~Ga(R)dR =~a

pour

z~-Wa

et

z~Wa

· •Définissons -Wli et W.li de la même manière pour G11

•On a: -W11 <-Wa<W⁰ <W.li car ~>a (c.f. Figure 12).

Remarque 1: Une définition quantitative de ces points est problématique. En effet, étant donné la forme gaussienne des fonctions G₀ et Gli, il est difficile de définir à partie de quelle position celles-ci peuvent être considérées comme nulles. Néan- moins, en ce qui concerne l'intégrale, on peut se baser sur la relation suivante:

J

^{z K}

(Jk;g2 )

0 G J.R)dR = "2 ail> -

0- z (35)

et certaines table nous donnent 4>(3):: 1 où 4>(z) = ]xge-t

2

dt.

ii) Valeurs de la fonction x(z) pour z = -W 11, ^{-W a•} 0, W a• W p:

; K((H₁ +H₂)12) (BCa.-DE~) x(o) =A +K((H₁ +H₂) /2) (Ca.+E~)

KH₂ (BCa.-DE~)

x(z) = A+KH

2

(Ca.+E~) pourz~Wp

KH₁ (BCa.-DE~)

x(z)

=

A+KHi(Ca.+E~) pour zS-Wp

K

Jw

^K

(H₁ -H₂₎ (BC

2

^{a.-DE 0} "Gp(R)dR) +

"2

(H₁ +H₂₎ (BCa.-DEp) x(-W~= ~~~~--,K=-~J=w~~~-K=-~~~~~

A+ (H₁-H₂₎ (C

2^{a.+E 0} "Gp(R)dR) +

2^{(H1 +H2) (Ca.+Ep)}

3.4.S.S Relations entre ces points i) Relation pour x(-Wb), x(O) et x(Wb)

• Si BCa. >DE~, on a la relation:

x(-WiY <x(O) <x(W_{8 )}

c

t Pour voir x(-Wp) <x(O) <x(Wp) il faut considérer la fonction f{t) =A ~

+ 2t

où

cl

⁼ K(BCa.-DEp) et C2

=

^{K(Ca.+Ep) > 0}

On a: x(-Wp)

= fi,H

_1), x(O)

=

f((H₂+H₁)/2) et x(Wp)

=

f(H₂₎

Si C ₁ > 0, f est strictement croissante, ce qui implique l'inégalité ( 41)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)