Le morphisme de transition en codimension1

version du 2016-11-14 à 13h36TU (19c1b56)

Table des matières

1. Le morphisme de transition en codimension1. . . 3

1.1. Notations. . . 3

1.2. Cas d’un trait strictement hensélien. . . 3

1.3. Cas d’un schéma local strictement hensélien intègre excellent de dimension 1. . . 9

1.4. Cas général. . . 9

2. Complexes dualisants putatifs et potentiels. . . 9

2.1. Définition des complexes dualisants putatifs et potentiels. . . 9

2.2. Fonctorialité par rapport aux morphismes étales. . . 10

2.3. Compléments sur les spécialisations. . . 10

2.4. Construction d’un complexe dualisant potentiel dans le cas régulier. . . 11

3. Morphismes de transition généraux et classe de cohomologie en degré maximal. . . 13

3.1. Énoncés des théorèmes principaux. . . 13

3.2. Dimension cohomologique. . . 14

3.3. Morphismes finis. . . 14

3.4. Le cas de la dimension2. . . 15

3.5. Morphismes de transition en codimension arbitraire. . . 18

3.6. Fin de la démonstration. . . 20

4. Compléments sur les complexes dualisants potentiels. . . 22

4.1. Énoncés. . . 22

4.2. Changement de base par un morphisme régulier. . . 23

4.3. Démonstration de la proposition 4.1.1. . . 24

4.4. Démonstration de la proposition 4.1.2. . . 27

5. Existence et unicité des complexes dualisants potentiels. . . 27

5.1. Énoncé du théorème. . . 27

5.2. Préliminaires sur les faisceaux pervers. . . 27

5.3. Cas d’un schéma normal. . . 28

5.4. Un résultat de recollement. . . 30

5.5. Cas général. . . 32

6. Le théorème de dualité locale. . . 32

6.1. Énoncé du théorème. . . 32

6.2. Constructibilité, tor-dimension, dimension quasi-injective. . . 32

6.3. Le théorème en degré négatif ou nul. . . 35

6.4. L’argument de [SGA 4½[Th. finitude] 4.3]. . . 35

6.5. Fin de la démonstration. . . 36

7. Anneaux de coefficients généraux. . . 38

7.1. Énoncés. . . 38

7.2. Systèmes locaux. . . 38

7.3. Partitions galoisiennes. . . 40

7.4. Dévissages. . . 41

7.5. Complexes dualisants surD^b_c(X_´et, A). . . 43

7.6. Complexes dualisants surD^b_ctf(X_´et, A). . . 45

7.7. Élimination de l’hypothèse noethérienne surA. . . 48

Appendice A. Produits tensoriels de complexes non bornés. . . 50

A.1. K-platitude. . . 50

A.2. RésolutionsK-plates. . . 51

A.3. Compléments. . . 53

Appendice B. Complexes inversibles. . . 54

Appendice C. Coefficients universels. . . 55

C.1. Énoncés pour RHom. . . 55

C.2. Conséquences pour Rj_?eti^!. . . 57

Appendice D. Modules ind-unipotents. . . 57

1

D.1. Définitions. . . 57

D.2. Propriétés. . . 58

D.3. Modules ind-unipotents pour un sous-groupe distingué. . . 59

Appendice E. Le morphisme de bidualité. . . 59

E.1. Accouplements. . . 60

E.2. Fonctorialité. . . 60

E.3. Application àf^?. . . 62

E.4. Le morphisme de Künneth. . . 62

Références. . . 63

Ce texte vise à fournir une rédaction des résultats annoncés par Ofer Gabber dans [Gabber, 2005] concernant les complexes dualisants dans le contexte étale sur les schémas noethériens excellents.

On fixe un entier natureln≥2, on noteΛ=Z/nZ: ce sera notre anneau de coefficients. SiXest unZ1 n

- schéma noethérien, on noteD^b_c(X_´et, Λ)la sous-catégorie deD^b(X_´et, Λ)formée des complexes ayant des fais- ceaux de cohomologie constructibles,D^b_tf(X_´et, Λ)la sous-catégorie pleine deD^b(X_´et, Λ)formée des complexes de tor-dimension finie etD^b_ctf(X_´et, Λ) :=D^b_c(X_´et, Λ)∩D^b_tf(X_´et, Λ).

Définition 0.1. — SoitXunZ₁

n

-schéma noethérien. Uncomplexe dualisantsurXest un objetK∈D^b_c(X_´et, Λ) tel que le foncteur de dualité DK = RHom(−, K)préserve D^b_c(X_´et, Λ) et que pour tout L ∈ D^b_c(X_´et, Λ), le morphisme de bidualitéL→DKDKL(cf. exp.XVI,4.7.7et aussi §E) soit un isomorphisme.

Cette définition diffère de celle de [SGA 5 I 1.7] dans la mesure où on ne demande pas à un complexe dualisant d’être de dimension quasi-injective finie.

Le théorème suivant récapitule l’essentiel des résultats de Gabber que nous allons établir dans ces notes : Théorème 0.2. — SoitXunZ₁

n

-schéma noethérien excellent muni d’une fonction de dimension (cf. définition2.1.1).

Alors,Xadmet un complexe dualisantK, unique à produit tensoriel avec un objet inversible près (cf. propositionB.2). Ce complexe dualisantKappartient àD^b_ctf(X_´et, Λ); il est de dimension quasi-injective finie (autrement dit est un complexe dualisant au sens de[SGA 5I1.7]) si et seulement siXest de dimension de Krull finie.

Par ailleurs, on a les résultats suivants :

– siXest régulier, le faisceau constantΛest un complexe dualisant ;

– sif:Y →Xest un morphisme plat et à fibres géométriquement régulières avecYnoethérien excellent, alorsf^!Kest un complexe dualisant ;

– sif:Y→Xest un morphisme de type fini compactifiable, alorsf^!Kest un complexe dualisant.

La démonstration s’appuie sur la notion de complexe dualisant potentiel (définition2.1.2) sur un Z₁

n

- schéma noethérien excellent Xmuni d’une fonction de dimension δ : il s’agit de la donnée d’un complexe K ∈ D⁺(X_´et, Λ)muni d’isomorphismes (appelés épinglages) RΓx(K) →^∼ Λ(δ(x))[2δ(x)]pour tous les points x∈X, qui soient compatibles aux morphismes de transition associés aux spécialisations immédiates de points géométriques deX(cf. section1). Gabber montre dans [Gabber, 2004, lemma 8.1]⁽ⁱ⁾ que si unZ₁

n

-schéma noethérien admet un complexe dualisant, alors il admet une fonction de dimension ; cette hypothèse du théo- rème0.2est donc bien nécessaire.

Dans la section2, nous verrons notamment que sur unZ₁

n

-schéma noethérien régulier excellent, le fais- ceau constant Λ est un complexe dualisant potentiel pour la fonction de dimension −codim (cf. proposi- tion2.4.4.1). Pour ce faire, nous utiliserons de manière essentielle le théorème de pureté cohomologique abso- lue démontré par Gabber, ainsi que les propriétés des morphismes de Gysin établies dans exp.XVI,2.

Dans la section3, nous construirons un isomorphismeΛ→^∼ H^2d_x,´et(X, Λ(d))oùXest unZ₁

n

-schéma noe- thérien excellent local strictement hensélien normal de dimensiondet de point ferméx, vérifierons que cet isomorphisme est compatible aux spécialisations immédiates et nous servirons de ce résultat pour construire des morphismes de transition Hⁱ_y(X, K)→H^i+2c_x (X, K(c))pour une spécialisationy→xde codimensioncar- bitraire entre points géométriques d’unZ₁

n

-schéma noethérien excellentX, pour toutK∈D⁺(X_´et, Λ). Nous utiliserons notamment la résolution des singularités pour les schémas noethériens excellents de dimension2.

(i)Dansloc. cit., il faut remplacer l’hypothèse «n > 0» par «n >» : lorsque l’anneau de coefficientsA=Z/nZest nul, les entiersn(x)ne sont pas définis.

Dans la section5, nous montrerons l’existence et l’unicité à isomorphisme unique près d’un complexe dua- lisant potentiel sur unZ₁

n

-schéma noethérien excellent muni d’une fonction de dimension. Dans le cas d’un schéma normal, nous nous appuierons sur les résultats de la section3et sur les résultats généraux de Gabber sur l’existence det-structures définies par des fonctions de perversité. Nous montrerons aussi que les com- plexes dualisants potentiels vérifient de bonnes propriétés de stabilité par rapport aux morphismes plats et à fibres géométriquement régulières et aux morphismes de type fini.

Dans la section6, nous montrerons qu’un complexe dualisant potentiel est un complexe dualisant. Une fois les propriétés de finitude établies, nous procéderons par récurrence sur la dimension, en utilisant d’une part une généralisation d’un argument de [SGA 4½[Th. finitude] 4.3] et d’autre part le théorème d’algébrisation partielle exp.V,3.1.3.

Dans la section7, nous montrons qu’à partir d’un complexe dualisant à coefficientsΛ, on peut construire des complexes dualisants pour des anneaux de coefficients plus généraux. Ces résultats sont essentiellement indépendants des sections précédentes. Cependant, ce n’est qu’en combinant les résultats des sections précé- dentes sur les complexes dualisants potentiels avec le résultat d’unicité des complexes dualisants de la pro- position7.5.1.1que l’on peut déduire le théorème0.2. En vertu de ce théorème0.2, les constructions de cette section donnent en particulier des complexes dualisants pour des anneaux de coefficients généraux sur les schémas noethériens excellents munis de fonctions de dimension. Il semble très probable qu’il soit possible d’étendre les résultats d’Ofer Gabber à des énoncés de dualité avec des coefficients `-adiques. Toutefois, le rédacteur a renoncé à les rédiger.

Enfin, les sectionsA,B,C,DetEcontiennent quelques résultats nécessaires à ce qui précède. On y décrit notamment une construction du produit tensoriel dérivé sur la catégorie dérivée toute entière des faisceaux de modules sur un topos annelé (commutatif).

1. Le morphisme de transition en codimension1 1.1. Notations. —

Définition 1.1.1. — SoitXunZ1 n

-schéma, soitx ∈ X, soit K ∈ D⁺(X_´et, Λ). On pose RΓx(K) = i^!_xK_|X(x) ∈ D⁺(x_´et, Λ)oùi_xest l’inclusion du point fermé du localiséX_(x)⁽ⁱⁱ⁾. Sixest un point géométrique deXau-dessus dex⁽ⁱⁱⁱ⁾, on note RΓ_x(K) =RΓ_x(K)_x ∈D⁺(Λ); cet objet s’identifie à la cohomologie à supports dans le point fermé de la restriction deKà l’hensélisé strictX_(x). Les objets de cohomologie de RΓx(K)seront notés Hⁱ_x(K) pour touti∈Z.

Définition 1.1.2([SGA 4VIII7.2], exp. XIV,2.1.1, exp. XIV,2.1.2). — Siyetxsont deux points géométriques d’un schémaX, unespécialisationy→xest unX-morphismeX_(y)→X_(x)entre les hensélisés stricts corres- pondants, ce qui revient à la donnée d’unX-morphismey→X_(x). On définit lacodimension d’une spécialisa- tioncomme étant la dimension de l’adhérence du point deX_(x)en-dessous dey. On dit qu’une spécialisation estimmédiatesi elle est de codimension1.

On se propose ici de définir un morphisme de transition sp^X_y→x:RΓy(K)→RΓx(K)(1)[2]dansD⁺(Λ)pour toute spécialisation immédiatey→xde points géométriques sur unZ₁

n

-schéma excellentX, quel que soit K∈D⁺(X_´et, Λ).

1.2. Cas d’un trait strictement hensélien. — SoitXun trait strictement hensélien de point génériqueηet de point fermés. Soitηun point géométrique au-dessus deη. On va définir le morphisme de transition

RΓ_η(K)→RΓ_s(K)(1)[2]

pour toutK∈D⁺(X_´et, Λ).

On notepl’exposant caractéristique du corps résiduel deX, que l’on suppose inversible dansΛ. On dispose d’une suite exacte canonique de groupes profinis :

1→S→Gal(η/η)→G→1,

(ii)On obtiendrait une définition équivalente en remplaçant le schéma localX_(x)par son hensélisé.

(iii)Dans la suite, pour ne pas alourdir inutilement le texte, si on fixe un pointxd’un schémaX,xdésignera un point géométrique au- dessus dexet inversement, si on fixe un point géométriquex→X, on noteraxle point de l’espace topologique sous-jacent àXau-dessus duquelxse trouve. Dans cet exposé, on fera toujours l’hypothèse implicite que l’extension de corpsκ(x)/κ(x)est algébrique et séparable, autrement dit queκ(x)est une clôture séparable deκ(x).

oùGest le groupe d’inertie modérée, canoniquement isomorphe àZb⁰(1)^(iv)et oùS, le groupe de ramification sauvage, est un pro-p-groupe (cf. [Gabber & Ramero, 2003, proposition 6.2.12]).

On rappelle que l’ordre d’un groupe profini est un nombre surnaturel (cf. [Serre, 1994, § 1.3, chapitre I]). On peut alors énoncer que l’ordre deGest multiple de(#Λ)^∞: ce fait sera utile au lecteur scrupuleux qui voudrait vérifier en exercice les détails passés sous silence dans cette sous-section.

1.2.1. Algèbre du groupeZb⁰(1). —

Définition 1.2.1.1. — L’algèbre de groupeΛ[[G]]est l’anneau des endomorphismes du foncteur d’oubli de la catégorie desΛ-modules discrets munis d’une action continue deGvers celle desΛ-modules. Cette algèbre est naturellement topologisée : elle est munie de la topologie la moins fine qui soit telle que pour toutΛ-module discretMmuni d’une action continue deGet tout élémentm∈M, l’applicationΛ[[G]]→Mqui àa∈Λ[[G]]

associe le résultata.mde son action surmsoit continue.

On a un isomorphisme canonique d’anneaux topologiques Λ[[G]]→^∼ limΛ[G/H],

oùHparcourt l’ensemble ordonné des sous-groupes ouverts distingués deG et oùΛ[G/H]est l’algèbre de groupe usuelle (discrète) du groupe finiG/H. On peut identifier lesΛ-modules discrets munis d’une action continue deGauxΛ[[G]]-modules discrets.

L’action naturelle deΛ[[G]]surΛmuni de l’action triviale deGdéfinit un morphisme continu d’augmenta- tionε:Λ[[G]]→Λ. On noteIGle noyau deε: c’est l’idéal d’augmentation.

Proposition 1.2.1.2. — LeΛ[[G]]-moduleIGest libre de rang1, engendré par1−σsiσest un générateur topologique de G. (Plus généralement, sid≥1est un entier premier àp, le noyau du morphisme d’anneaux canoniqueΛ[[G]]→Λ[µd] est unΛ[[G]]-module libre engendré par1−σ^d.)

La démonstration de cette proposition est laissée en exercice au lecteur.

Le lemme suivant nous sera utile au §1.2.2:

Lemme 1.2.1.3. — SoitMun objet injectif dans la catégorie desΛ[[G]]-modules discrets. Le morphisme évidentM→ HomΛ[[G]](I_G, M)(qui àxassociea7−→ax) est surjectif.

Notonsσ un générateur topologique de G. Soitϕ:I_G → Mun morphisme de Λ[[G]]-modules. Notons m := ϕ(1−σ). CommeM est discret, il existe un entierd ≥ 1 premier à ptel que σ^d(m) = m. Notons Cd∈GL1+d(Λ)la matrice suivante :

C=















1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 1 0 1 0 . . . 0 ... . .. ... 0 0 0 . . . 0 1 0















On introduit unΛ-module libreVdde rang1+ddont une base est notéeB = (f, e0, e1, . . . , ed−1). On note c∈AutΛ(Vd)l’automorphisme dont la matrice dans la baseBsoitC, c’est-à-dire quec(f) =f+e0,c(ei) =ei+1

si0≤i≤d−2etc(ed−1) =e0. On en déduit l’identité suivante :

C^d=

















1 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 1 0 1 . .. ...

... ... . .. 1 0 1 0 . . . 0 1

















Si on noted⁰ := d·#Λ, il vient ensuite queC^d0 = Id et quec ∈ AutΛ(Vd)est d’ordred⁰. L’entierd⁰ étant premier àp, on en déduit une structure deΛ[[G]]-module discret sur leΛ-moduleVdtelle que le générateur topologiqueσ ∈ Gagisse parc: Vd → Vd. NotonsV_d⁰ ⊂ Vd le sous-Λ-module engendré par(e0, . . . , ed−1).

C’est aussi un sous-Λ[[G]]-module discret et on peut considérer l’applicationΛ-linéaireψ: V_d⁰ →Mqui àei

associeσⁱ(m). On a ainsi construit un morphismeψ:V_d⁰ →MdeΛ[[G]]-modules discrets. L’injectivité deM

(iv)Pour qu’il n’y ait aucune ambiguité de signe, Gal(η/η)est le groupeAut_κ(η)(κ(η))et pour tout entierninversible dansX, le morphisme composé Gal(η/η)→bZ⁰(1)→µnenvoieσ∈Aut_κ(η)(κ(η))sur^σ(π_π0⁰⁾oùπ⁰∈κ(η)est une racinen-ième d’une uniformisante deX.

fait que ce morphisme se prolonge en un morphisme ˜ψ:Vd→M. Posons ˜m:=ψ(f)˜ ; laΛ[[G]]-linéarité de ˜ψ implique queϕ(1−σ) =m=ψ(e₀) =ψ(e˜ ₀) =ψ(σ(f) −˜ f) =σ(m) −˜ m˜. D’après la proposition1.2.1.2), l’idéal I_Gest engendré par1−σ; on a donc plus généralementϕ(a) =am˜ pour touta∈I_G.

Remarque 1.2.1.4. — La proposition1.2.1.2permet de montrer que leΛ[[G]]-moduleV_d intervenant dans la démonstration précédente est isomorphe au quotientΛ[[G]]/J_doùJ_d est l’idéal deΛ[[G]]engendré par(1− σ)(σ^d−1), l’isomorphisme envoyant la base(f, e0, e1, . . . , ed−1)deVdsur(1, σ−1, σ²−σ, . . . , σ^d−σ^d−1).

L’inclusionV_d⁰ →Vds’identifie alors à l’inclusionIG/Jd→Λ[[G]]/Jd.

1.2.2. Description de la cohomologie à supports. — Il est clair que la catégorie des faisceaux (d’ensembles) surX_´et est naturellement équivalente à la catégorie des flèches de Gal(η/η)-ensembles (discrets)Ms→Mηtelles que l’action de Gal(η/η)surMssoit triviale.

Pour tout faisceau deΛ-modulesM surX_´et, on poseF⁰M :=Ms,F¹M :=Mη^S,F²M :=HomΛ[[G]](IG,Mη^S) oùMη^Sdésigne le sous-groupe des points-fixes sousSde l’action de Gal(η/η)sur la fibreMη. Le morphisme canoniqueη→Xinduit un morphismeα:F⁰M →F¹M. On définit un morphismeβ:F¹M →F²M de telle sorte que sim∈Mη^Seta∈IG, alorsβ(m)(a) =am. En posant,F^qM =0pourq6∈{0, 1, 2}, on définit ainsi un complexeFM dans la catégorie desΛ-modules :

· · ·→0→Ms

→α Mη^S

→β HomΛ[[G]](IG,Mη^S)→0→. . . oùMsest placé en degré0. On notera que le foncteur qui àM associeFM est additif.

Pour tout complexeKdans la catégorie des faisceaux deΛ-modules surX_´et, on noteFK:=Tot((F^qK^p)_(p,q)∈Z2) où(F^qK^p)_(p,q)∈Z2est le bicomplexe évident (cf. exp.XVI,4.4pour les conventions de signes sur le complexe simple). Autrement dit,(FK)ⁿ :=F⁰Kⁿ⊕F¹Kⁿ⁻¹⊕F²Kⁿ⁻²et la différentielledFK: (FK)ⁿ →(FK)ⁿ⁺¹est décrite par la matrice suivante





dK 0 0

(−1)ⁿα dK 0

0 (−1)ⁿ⁻¹β dK





On définit ainsi un foncteurFde la catégorie des complexes de faisceaux deΛ-modules surX_´etvers celle des complexes deΛ-modules. Les conventions de signes font que pour toutK, on dispose d’un isomorphisme canonique de complexesF(K[1]) ' (FK)[1](dont la définition ne fait pas intervenir de signe). SiK →^f L est un morphisme de complexes, l’image parFdu triangle distinguéK →^f L → cône(f) → K[1]s’identifie (sans intervention de signes supplémentaires) àFK ^F(f)→ FL → cône(F(f)) → F(K)[1]. On observe en outre que, les foncteursF^qpourq∈{0, 1, 2}étant exacts, siKest acyclique, alorsFKaussi. De ces remarques, il résulte queF préserve les quasi-isomorphismes et induit un foncteur trianguléF:D⁺(X_´et, Λ)→D⁺(Λ).

Observons enfin que si M est un faisceau de Λ-modules sur X_´et, alors on a une égalité Γ_s(X_´et,M) = Ker(α: F⁰M → F¹M). Ainsi, pour tout complexeKde faisceaux deΛ-modules surX_´et, si on noteΓs(X, K) le complexe obtenu en appliquantΓs(X_´et,−)aux faisceaux constituant le complexeK, on dispose d’une trans- formation naturelleΓs(X_´et, K)→FK.

Proposition 1.2.2.1. — La transformation naturelle Γs(X_´et, K) → FK induit pour toutK ∈ D⁺(X_´et, Λ)un isomor- phisme

RΓs(X_´et, K)→^∼ FK dansD⁺(Λ).

Il s’agit de montrer que siKest un complexe borné inférieurement formé d’objets injectifs, alors le mor- phismeΓ_s(X_´et, K) →FKest un quasi-isomorphisme. Cet énoncé se ramène aussitôt au cas oùKest constitué d’un unique faisceau deΛ-modules injectifM placé en degré0. Compte tenu du fait queΓs(X,M) =H⁰(FM) pour tout faisceau deΛ-modules, il suffit de montrer queH^q(FM) =0pourq∈{1, 2}siM est injectif.

On remarque que Ker(β)s’identifie àΓ(η,M)puis que l’on a un isomorphismeH¹(FM)'Coker(Γ(X,M)→ Γ(η,M))pour tout faisceau deΛ-modules. Un faisceau injectif étant flasque, on obtient bien queH¹(FM) =0 siM est injectif.

Il reste à montrer queH²(FM) =0siM est injectif. Le foncteur de restriction des faisceaux deΛ-modules deX_´etàη_´etadmettant un adjoint à gauche exact, siM est injectif, alorsM_|ηaussi. De même, le foncteur image directe associé au morphisme de topos évidentu: η_´et→BG(cf. [SGA 4IV4.5.2]) préserve les injectifs. Comme u?M_|η =Mη^S, siM est injectif, alorsMη^Sest injectif dans la catégorie desΛ[[G]]-modules discrets et on peut conclure queH²(FM) =Coker(β)est nul en utilisant le lemme1.2.1.3.

1.2.3. Définition du morphisme de transition. — Soitσun générateur topologique deG. SoitMunΛ[[G]]-module discret. On observe que l’on a un isomorphisme canonique de groupes abéliensM(−1)'Hom(G, M). On dé- finit un morphisme de groupes abéliensM(−1)→HomΛ[[G]](IG, M)viales isomorphismes suivants, cf. pro- position1.2.1.2:

M(−1) ^∼ //Hom(G, M) ^ev_∼^σ //Moo^ev1−σ_∼ HomΛ[[G]](I_G, M).

SiM est un faisceau deΛ-modules surX_´et, on peut appliquer la construction ci-dessus auΛ[[G]]-module discretM_η^S, ce qui fournit un morphismeM_η^S(−1)→HomΛ[[G]](IG,M_η^S) =F²M. Le groupe profiniSétant un pro-p-groupe etpétant inversible dansΛ, on dispose d’un projecteur canoniqueMη→Mη^Squi après torsion fournit un morphismeMη(−1)→Mη^S(−1)que l’on peut composer avec celui précédemment construit pour obtenir un morphisme Mη(−1) → F²M et donc un morphisme de complexes s_σ: Mη(−1) → FM[2]. En tensorisant ce morphisme avecΛ(1)(ou en appliquants_σau faisceauM(1), cela revient au même), on obtient un morphisme de complexess_σ(1) :Mη → F(M)(1)[2]. Sans ajout de signe supplémentaire, on en déduit un morphismes_σ(1) :K_η →F(K)(1)[2]pour tout complexe de faisceaux deΛ-modulesKsurX_´et. Compte tenu de la proposition1.2.2.1, on peut procéder à la définition suivante :

Définition 1.2.3.1. — On note sp^X_η→s:RΓη(K)→RΓs(K)(1)[2]le morphisme dansD⁺(Λ)défini parsσ(1)fonc- toriellement pour tout objetK∈D⁺(X_´et, Λ). D’après le lemme suivant, ce morphisme sp^X_η→sest indépendant du générateurσdeG: c’est le morphisme de transition associé à la spécialisationη→sde points géométriques deX.

Lemme 1.2.3.2. — Siσetσ⁰sont deux générateurs topologiques deG, il existe une unique homotopie fonctorielle en le faisceauM reliant les deux morphismesMη(−1)→F(M)[2]donnés pars_σets_σ⁰

On voit aussitôt qu’on peut se limiter auxM tels queMs =0et queSagisse trivialement surMη. On peut identifier cette catégorie de faisceaux à celle desΛ[[G]]-modules discrets.

SoitMunΛ[[G]]-module discret. NotonsM le faisceau surX_´etcorrespondant. On noteF_σ(M)le complexe . . . //0 //M ^1−σ //M //0 //. . .

concentré en les degrés1et2. On noteΨσ:FM →^∼ Fσ(M)l’isomorphisme de complexes défini de façon évi- dente à partir deσ:

FM

∼ Ψσ

. . . //0

//Mη //HomΛ[[G]](IG,Mη)

ev1−σ

∼ //0 //

. . .

Fσ(M) . . . //0 //M ^1−σ //M //0 //. . .

Notons ϕσ: Mη(−1) →^∼ M l’isomorphisme défini par l’évaluation en σ via l’isomorphisme canonique Mη(−1) ' Hom(G,Mη). Notons tσ: M → Fσ(M)[2]le morphisme de complexes représenté par les flèches verticales ci-dessous :

M

t_σ

. . . //0

//0

//M //0

//. . . Fσ(M)[2] . . . //0 //M ^1−σ //M //0 //. . . On dispose ainsi d’un carré commutatif de complexes, fonctoriel enM:

Mη(−1) ^sσ //

ϕσ

∼

F(M)[2]

Ψσ

∼

M ^tσ //Fσ(M)[2]

On a ainsitσ =Ψσ◦sσ◦ϕ⁻¹_σ . Posonsfσ,σ⁰ = Ψσ◦sσ⁰ ◦ϕ⁻¹_σ . Les flèches verticales du diagramme ci-dessus étant des isomorphismes de complexes, montrer que les morphismessσ, sσ⁰:Mη(−1)→F(M)[2]sont (fonc- toriellement) homotopes revient à vérifier que les deux morphismest_σ, f_σ,σ⁰:M→F_σ(M)[2]le sont.

On peut ainsi représenter la situation de façon plus concrète : . . . //0 //

0

//M

Id ^g //0 //

. . .

. . . //0 //M ^1−σ //M //0 //. . . oùgest la transformation naturelle induite parfσ,σ⁰.

CommeΛ[[G]]désigne précisément l’anneau des transformations naturellesM→M, on peut identifier Id etgà des éléments1etgdeΛ[[G]]respectivement. Montrer l’existence et l’unicité de l’homotopie fonctorielle entres_σet s_σ⁰ se ramène donc à montrer l’existence et l’unicité deh ∈ Λ[[G]]tel que (1−σ)·h = 1−g. D’après la proposition1.2.1.2, cela revient à montrer queε(g) =1. Par définition def_σ,σ⁰, si on noteul’unité deΛ[[G]]telle que(1−σ⁰) =u·(1−σ)et qu’on noteαl’élément deZb^0×tel queσ⁰=σ^α, alors on a la relation u·g=α. Pour montrerε(g) =1, on est donc ramené à montrer queε(u) =ε(α). Pour cela, on utilise la formule suivante :

1−σ^β 1−σ =

β−1X

i=0

σⁱ.

Cette formule est évidemment juste pourβ∈N; on peut lui donner un sens pour toutβ∈Zben prolongeant chacun des membres par continuité. En appliquant cette formule avecβ=α, on obtient le résultat voulu :

ε(u) =ε

α−1X

i=0

σⁱ

!

=

α−1X

i=0

1=ε(α), ce qui achève la démonstration du lemme.

1.2.4. Compatibilité avec la classe du point fermé. —

Proposition 1.2.4.1. — Dans le cas du faisceauΛ, l’image de1 ∈ Λpar le morphisme de transitionsp^X_η→s: Λ → RΓs(X_´et, Λ(1))[2]est la classeCls→X∈H²_s,´et(X, Λ(1))de exp.XVI,2.3.1.

Le seul enjeu de la démonstration de cette proposition est de s’assurer que le signe est correct. C’est ce qui justifie la précision des conventions de signes discutées dans exp.XVI,4, puisqu’elles permettent de donner un sens précis à l’énoncé ci-dessus.

Définition 1.2.4.2. — Pour les besoins de la démonstration de la proposition1.2.4.1, on introduit un foncteurE de la catégorie des complexes de faisceaux deΛ-modules surX_´etvers celle desΛ-modules de la façon suivante.

Pour tout complexe de faisceauxK, on noteE^p,0K:=F¹K^p= (K^p_η)^S,E^p,1K:=F²K^p=HomΛ[[G]](IG,(K^p_η)^S)et E^p,qK=0pourq6∈{0, 1}. On définit un bicomplexe(E^p,qK)_(p,q)∈Z2en notantd_h:E^p,qK→E^p+1,qKpourq∈ {0, 1}les morphismes induits par les différentielles surKetd_v:E^p,0K→E^p,1Kle morphismeβ: F¹K^p→F²K^p. On poseEK:=Tot((E^p,q)_(p,q)∈Z2). Autrement dit,(EK)ⁿ :=F¹Kⁿ⊕F²Kⁿ⁻¹et la différentielledEK: (EK)ⁿ → (EK)ⁿ⁺¹est décrite par la matrice :

dK 0 (−1)ⁿβ dK

Pour tout faisceau deΛ-modulesM surX_´etet pour toutn∈Z, le noyau deβ:F¹M →F²M s’identifie ca- noniquement àΓ(η_´et,M). On en déduit une transformation naturelleΓ(η_´et, K)→EKpour tout complexeKde faisceaux deΛ-modules surX_´et. De même que dans le §1.2.2,Ecommute au foncteur[1](sans introduction de signe supplémentaire), préserve les quasi-isomorphismes, induit un foncteur trianguléE:D⁺(X_´et, Λ)→D⁺(Λ) et le morphisme canonique RΓ(η_´et, K) → EKest un isomorphisme dans D⁺(Λ)pour toutK ∈ D⁺(X_´et, Λ).

(Comme la construction ne dépend que de la restriction de K à η, on pourra se permettre d’utiliser cette construction pourK∈D⁺(η_´et, Λ).)

Définition 1.2.4.3. — On définit une transformation naturelle Ψ: EK[−1] → FK pour tout complexe K de faisceaux de Λ-modules surX_´et de la façon suivante. En degré n ∈ Z, elle est donnée par le morphisme F¹Kⁿ⁻¹⊕F²Kⁿ⁻²→F⁰Kⁿ⊕F¹Kⁿ⁻¹⊕F²Kⁿ⁻²décrit par la matrice suivante :





0 0

(−1)ⁿ 0 0 (−1)ⁿ





Viales isomorphismes canoniquesEK'RΓ(η_´et, K)etFK'RΓs(X_´et, K)(cf. proposition1.2.2.1),Ψinduit un morphismeΨ:RΓ(η_´et, K)[−1]→RΓs(X_´et, K)pour toutK∈D⁺(X_´et, Λ).

Lemme 1.2.4.4. — Pour toutK∈D⁺(X_´et, Λ), le morphismeΨ:RΓ(η_´et, K)[−1]→RΓs(X_´et, K)induit pour toutn∈Z le morphisme bordδ:Hⁿ⁻¹_´et (η, K)→Hⁿ_s,´et(X, K)(cf. exp.XVI,4.7.6).

On peut supposer queKest un complexe borné inférieurement formé d’objets injectifs. Soit[γ]∈Hⁿ⁻¹_´et (η, K) une classe de cohomologie représentée par un élémentγ ∈ Γ(η, Kⁿ⁻¹)tel quedγ = 0. (Dans cette démons- tration, on notera simplementdles différentielles induites par les différentiellesdK deK.) On peut calculer δ([γ])∈Hⁿ_s,´et(X, K)en utilisant exp.XVI,4.7.6. Le faisceauKⁿ⁻¹étant flasque, on peut choisir ˜γ∈Γ(X, Kⁿ⁻¹) tel que ˜γ_|η=γ. On a alorsdγ˜ ∈Γ_s(X, Kⁿ⁻¹)etδ([γ]) = [dγ]˜ ∈Hⁿ_s,´et(X, K).Vial’isomorphisme RΓ_s(X_´et, K)'FK, la classe δ([γ]) = [dγ]˜ ∈ Hⁿ_s,´et(X, K) est décrite par le cocycle (dγ, 0, 0)˜ ∈ F⁰Kⁿ ⊕F¹Kⁿ⁻¹ ⊕F²Kⁿ⁻² = (FK)ⁿ. La classe[γ]∈Hⁿ⁻¹_´et (η, K)étant représentéevial’isomorphismeEK'RΓ(η_´et, K)par le(n−1)-cocycle (γη, 0) ∈ F¹Kⁿ⁻¹⊕F²Kⁿ⁻² = (EK)ⁿ⁻¹ de EK, la classe Ψ([γ]) ∈ Hⁿ_s,´et(X, K) est décrite par le n-cocycle (0,(−1)ⁿγ_|η, 0)∈(FK)ⁿ. Pour conclure, il suffit d’observer que les deuxn-cocycles(dγ, 0, 0)˜ et(0,(−1)ⁿγ_|η, 0) du complexeFKsont cohomologues, ce qui vient de la relation

dFK(γ, 0, 0) = (d˜ γ,˜ (−1)ⁿ⁻¹γ_|η, 0)∈F⁰Kⁿ ⊂F⁰Kⁿ⊕F¹Kⁿ⁻¹⊕F²Kⁿ⁻²= (FK)ⁿ.

Définition 1.2.4.5. — On choisit une uniformisanteπdeXet un élémentπ⁰ ∈κ(η)tel queπ⁰ⁿ =π(on rappelle queΛ = Z/nZ.). On noteRle sous-groupe deκ(η)^× engendré parµn etπ⁰. On poseR := R⊗Z/nZ, c’est- à-dire queRest le quotient deRpar le sous-groupe engendré parπ. (On noteraRadditivement.) L’action de Gal(κ(η)/κ(η))surRse factorise en une action du groupe d’inertie modéréeG. On en déduit une structure de Λ[[G]]-module discret surRet on dispose d’une suite exacte évidente deΛ[[G]]-modules discrets :

0→µ_n→R→^p Z/nZ→0. (Le morphismep:R→Z/nZenvoie la classeπ⁰deπ⁰sur1.)

Lemme 1.2.4.6. — Il existe un unique morphisme deΛ[[G]]-modulesZ:IG→µntel que pour toutσ∈G,Z(1−σ) =

π⁰

σ(π⁰). En particulier, siσest un générateur topologique deGet queζ∈µnest l’image deσparG'Zb⁰(1)→µn, alors Z(1−σ) =ζ⁻¹.

Soitτ∈IG. En tant qu’élément deΛ[[G]],τinduit un endomorphisme deR. Queτ∈IGsignifie queτ(π⁰)∈ µn ⊂R. On peut donc poserZ(τ) :=τ(π⁰). On vérifie facilement queZ:IG→µnest un morphisme deΛ[[G]]- modules et que c’est le seul à satisfaire la relationZ(1−σ) = _σ(π^π00) pour toutσ∈G(cf. proposition1.2.1.2).

Lemme 1.2.4.7. — Grâce aux définitions(Eµn)¹=F²µn =HomΛ[[G]](IG, µn), l’élémentZdu lemme1.2.4.6peut- être considéré comme un1-cocycle du complexeEµn.Vial’isomorphisme canoniqueRΓ(η_´et, µn) ' Eµn, l’élémentZ correspond à la classe dansH¹_´et(η, µ_n)du torseurT des racinesn-ièmes de l’unité deπ.

Le torseurT des racinesn-ièmes de πs’identifie au faisceau d’ensembles surη_´et muni de l’action deµ_n correspondant à l’image inverse de1par le morphismep:R →Z/nZ. On noteδ: H⁰_´et(η,Z/nZ)→H¹_´et(η, µ_n) le morphisme de bord associé à la suite exacte

0→µn→R→^p Z/nZ→0

de la définition1.2.4.5; on peut en effet identifier cette suite exacte courte deΛ[[G]]-modules discrets à une suite exacte courte de faisceaux deΛ-modules surη_´et. Grâce à la construction exp.XVI,4.3.1, il vient que la classe du torseurT estδ(1)∈H¹_´et(η, µn). Pour conclure, il va s’agir de décrireδen termes du foncteur triangulé E'RΓ(η,−). Le morphisme de bordδest en effet celui provenant de la construction habituelle appliquée à la suite exacte courte de complexes deΛ-modules0→Eµn →ER→EZ/nZ→0. On part de1 ∈(EZ/nZ)⁰ = Z/nZque l’on relève enπ⁰ ∈ (ER)⁰ = R. La différentielledπ⁰ := β(π⁰) ∈ (ER)¹ = HomΛ[[G]](IG, R)est par construction l’image deZ ∈HomΛ[[G]](IG, µn) = (Eµn)¹par la composition avec l’inclusionµn →R. On en déduit queδ(1) = [Z]∈H¹(Eµ_n).

Nous pouvons enfin démontrer la proposition1.2.4.1. Pour déterminer l’image de1∈Γ(η_´et, Λ)par sp^X_η→s, il s’agit d’utiliser la définition desσappliquée àΛ(1) =µnpourσun générateur topologique deG. Si on suit la construction du §1.2.3, on fait d’abord correspondre à1 ∈ Λ 'µn(−1)un élément de HomΛ[[G]](IG, µn) qui est−Z. On considère alors−Zcomme un élément de(Fµn)²=F²µn =HomΛ[[G]](IG, µn)et il vient donc que sp^X_η→s(1) = [−Z] ∈ H²(Fµ_n) ' H²_s(X, µ_n). Le morphisme−Zpeut aussi être pensé comme un élément

de(Eµn)¹= F²µn =HomΛ[[G]](IG, µn)et on a bienΨ(−Z) = −ZoùΨest le morphismeΨ:Eµn[−1]→Fµn

de la définition1.2.4.3. En combinant les énoncés des lemmes1.2.4.4 et1.2.4.7, on obtient que sp^X_η→s(1) = [−Z] = [Ψ(−Z)] =δ([−Z]) = −δ([T])oùδ: H¹_´et(η, µ_n)→H²_s,´et(X, µ_n)est le morphisme bord etT le torseur des racinesn-ièmes deπ. Le calcul fait au cours de la démonstration de exp.XVI,3.4.8permet de conclure que sp^X_η→s(1) = −δ([T]) =Cls→X.

Remarque 1.2.4.8. — SiM est un faisceau deΛ-modules sur le trait strictement hensélienX, le morphisme H⁰(sp^X_η→s) : Mη → H²_s(X,M(1)) induit un isomorphisme (Mη)_Gal(η/η) →^∼ H²_s(X,M(1)) où l’on a noté

−_Gal(η/η)les co-invariants sous le groupe Gal(η/η).

1.3. Cas d’un schéma local strictement hensélien intègre excellent de dimension 1. — Soit Xun Z₁

n

- schéma local strictement hensélien intègre excellent de dimension1. Soitηle point générique deX. Soitηun point géométrique au-dessus deη. Soitsle point fermé deX. Soit ˜X→^f Xla normalisation deX. Le schéma ˜Xest un trait strictement hensélien (de point fermé ˜s). L’extension finie ˜s/sne peut être que purement inséparable, ce qui permet de remarquer quefest un homéomorphisme universel et donc que le foncteur image inversef^? induit une équivalence entre les catégories des faisceaux surX_´etet ˜X_´et(cf. [SGA 4VIII1.1]).

Définition 1.3.1. — Viales identifications ci-dessus, le morphisme de transition sp^X_η→sest induit par_[s:s]˜¹ sp^X_η^˜_→s˜ (cf. définition1.2.3.1).

1.4. Cas général. —

Définition 1.4.1. — Soit X un Z₁

n

-schéma excellent. Soit y → x une spécialisation immédiate de points géométriques de X. Pour définir le morphisme de transition sp^X_y→x: RΓy(K) → RΓx(K)(1)[2]pour toutK ∈ D⁺(X_´et, Λ), quitte à remplacerKpar son image inverseviale morphisme canoniqueX_(x)→X, on peut supposer queXest local strictement hensélien (excellent) de point ferméx. On note alorsZl’adhérence du point deX en-dessous deyeti:Z→Xson immersion dansX. CeZ₁

n

-schémaZest local strictement hensélien intègre excellent de dimension1, le morphisme de transition sp^Z_y→za été introduit dans la définition1.3.1. Pour tout K∈D⁺(X_´et, Λ), on définit le morphisme de transition sp^X_y→xde façon à faire commuter le diagramme suivant où les flèches verticales sont les isomorphismes évidents :

RΓy(K)

∼

sp^X_y→x

//RΓx(K)(1)[2]

∼

RΓy(i^!K) ^sp

Z

y→x//RΓx(i^!K)(1)[2]

Remarque 1.4.2. — Pour toute spécialisationx⁰ → xde codimension0 entre points géométriques deX(es- sentiellement, un élément du groupoïde de Galois absolu du corps résiduel d’un des points deX), on a un isomorphisme évident RΓ_x⁰(K)→^∼ RΓ_x(K), que l’on note sp^X_x⁰_→x. Il est évident que siz→yety→xsont des spécialisations composables telles que la codimensioncdez→xsoit0ou1, on a une égalité de morphismes

sp^X_z→x=sp^X_y→x◦sp^X_z→y:RΓz(K)→RΓx(K)(c)[2c].

Ainsi, les morphismes de transition associés aux spécialisations se composent bien dans l’étendue où ces constructions ont été faites jusqu’à présent. Nous définirons plus tard des morphismes de transition en co- dimension arbitraire et ce de façon compatible à la composition, mais seulement au niveau des groupes de cohomologie (cf. théorème3.1.2).

2. Complexes dualisants putatifs et potentiels 2.1. Définition des complexes dualisants putatifs et potentiels. —

Définition 2.1.1. — Une fonction de dimension sur un schéma localement noethérien X est une fonction δ: X → Ztelle que pour toute spécialisation immédiatey → xde points géométriques de X, on aitδ(y) = δ(x) +1.

Localement pour la topologie de Zariski, un schéma excellent admet une fonction de dimension, cf. exp.XIV,2.2.1.

Définition 2.1.2. — Soit X unZ₁

n

-schéma noethérien excellent muni d’une fonction de dimension δ. Un complexe dualisant putatifconsiste en la donnée deK ∈D⁺(X_´et, Λ)et pour toutx ∈ Xd’un isomorphisme (appeléépinglageenx) RΓ_x(K)→^∼ Λ(δ(x))[2δ(x)]dansD⁺(x_´et, Λ). Un complexe dualisant putatif est un com- plexe dualisant potentiel si pour toute spécialisation immédiatey→x, le diagramme suivant est commutatif :

RΓy(K)

∼

''

sp^X_y→x

//RΓx(K)(1)[2]

∼

Λ(δ(y))[2δ(y)]

Autrement dit, les épinglages sont compatibles aux morphismes de transition associés aux spécialisations im- médiates. (On notera que puisque les objets apparaissant sur le diagramme ci-dessus n’ont qu’un seul objet de cohomologie non nul, il suffit d’énoncer la commutativité du diagramme après passage aux groupes de cohomologie de degré−2δ(y).)

Les notions de complexes dualisants putatifs et potentiels (à coefficientsΛ) ne sont définis que pour les Z₁

n

-schémas noethériens excellents munis d’une fonction de dimension. Certains des énoncés à venir contiendront donc implicitement ces hypothèses sur les schémas. La fonction de dimension ne sera pas non plus systématiquement mentionnée dans les énoncés.

Remarque 2.1.3. — SiXest connexe et queK∈D⁺(X_´et, Λ)est muni de deux structures de complexe dualisant potentiel, pour vérifier que les épinglages sont les mêmes en tous les points deX, il suffit de le faire en un seul point.

L’objectif de cette section est de montrer que sur un schéma régulier excellent muni de la fonction de dimen- sion−codim, le faisceau constantΛest naturellement muni d’une structure de complexe dualisant potentiel.

2.2. Fonctorialité par rapport aux morphismes étales. — Des propriétés de stabilité importantes des com- plexes dualisants potentiels par rapport à certaines classes de morphismes seront obtenues dans la section4.

Pour le moment, mentionnons simplement la compatibilité suivante pour les morphismes étales : Proposition 2.2.1. — Soit f: Y → X un morphisme étale entreZ₁

n

-schémas noethériens excellents. On suppose queXest muni d’une fonction de dimensionδ_X. On définit une fonction de dimensionδ_Y surY en posantδ_Y(y) = δ_X(f(y))pour touty∈Y. SoitKun complexe dualisant putatif surX. Alors,f^?Kest naturellement muni d’une structure de complexe dualisant putatif et c’est un complexe dualisant potentiel siKen est un.

Siyest un point deY, quex= f(y)et que l’on noteg:y →xle morphisme induit parf, on a un isomor- phisme canoniqueg^?RΓ_x(K) ' RΓ_y(f^?K). Ceci permet de définir les épinglages surf^?K. On vérifie aussitôt que siKest un complexe dualisant potentiel, alorsf^?Kaussi.

La construction de cette proposition passe évidemment à la limite : le résultat vaut aussi pour des localisa- tionsX_(x)→X,X^h_(x)→XouX_(x)→X. Nous utiliserons librement ces observations simples dans la suite.

2.3. Compléments sur les spécialisations. —

Définition 2.3.1. — SoitX⁰ → Xun morphisme de schémas. Soit y⁰ → x⁰ ety → xdes spécialisations de points géométriques deX⁰etXrespectivement. Si l’on se donne desX-morphismesy⁰ →yetx⁰ →xtels que le diagramme évident ci-dessous commute, alors on dit quey⁰→x⁰estau-dessusdey→x.

y⁰

//X⁰_(x0)

y //X_(x)

Proposition 2.3.2. — SoitX⁰ →Xun morphisme de schémas. Soity⁰→x⁰une spécialisation de points géométriques deX⁰. Alors, à des isomorphismes uniques près, il existe une unique spécialisationy →xde points géométriques deX en-dessous dey⁰→x⁰.

C’est évident.

Proposition 2.3.3. — Soit X⁰ → X un morphisme fini et y → xune spécialisation de points géométriques de X.

Soity⁰ → X⁰ un point géométrique deX⁰ au-dessus dey(i.e.on s’est donné unX-morphismey⁰ → y). Alors, à des isomorphismes uniques près, il existe une unique spécialisation de points géométriques deX⁰au-dessus dey→xde la formey⁰→x⁰.

On peut supposer queXest local strictement hensélien de point fermé x. Le schémaX⁰ étant fini surX, c’est une réunion disjointe finie de schémas locaux strictement henséliens. Quitte à remplacerX⁰ par la com- posante connexe contenanty⁰, on peut supposer queX⁰est lui-aussi local strictement hensélien. Il n’y a alors manifestement plus d’alternative :x⁰est le point fermé deX⁰.

2.4. Construction d’un complexe dualisant potentiel dans le cas régulier. — 2.4.1. Un complexe dualisant putatif. —

Proposition 2.4.1.1. — Soit X un Z1 n

-schéma noethérien régulier excellent muni de la fonction de dimension

−codim. AlorsΛest naturellement muni d’une structure de complexe dualisant putatif.

Soit x ∈ X. Pour définir l’épinglage en x, on peut supposer que Xest local de point fermé x. On note i: x → Xl’inclusion de ce point fermé. Le morphisme de Gysin Cli: Λ(δ(x))[2δ(x)] → i^!Λ= RΓx(Λ)est un isomorphisme d’après le théorème de pureté cohomologique absolue (cf. exp.XVI,3.1.1). L’épinglage enxest l’isomorphisme inverse.

2.4.2. Cas d’un trait. —

Proposition 2.4.2.1. — SoitXun trait excellent, muni de la fonction de dimensionδ = −codim. On suppose queX est unZ₁

n

-schéma.

(a) Le complexe dualisant putatifΛde la proposition2.4.1.1pourXest un complexe dualisant potentiel.

(b) SiKest un complexe dualisant putatif surX, il existe un unique morphismeΛ→Kcompatible aux épinglages au point générique.

(c) SiKest un complexe dualisant potentiel surX, le morphismeΛ→Kdéfini ci-dessus est un isomorphisme (compa- tible aux épinglages).

Notonsi: s → Xl’inclusion du point fermé sdeXet j: η → Xl’inclusion de son point génériqueη. La proposition1.2.4.1énonce précisément la compatibilité (a) dans le cas oùS est strictement hensélien ; le cas général en résulte puisque la classe de cohomologie Clidu point fermésdansH²_s(X, Λ(1))induit la classe de sdans le hensélisé strictX_(s)(cf. exp.XVI,2.3.2). Établissons (b). SoitKun complexe dualisant putatif surX. On a un triangle distingué canonique, que l’on peut récrire en présence d’épinglages :

i?i^!K

∼ //K //Rj?j^?K

∼ //i?i^!K[1]

∼

i?Λ(−1)[−2] //K //Rj?Λ //i?Λ(−1)[−1]

En appliquant le foncteuri-ème faisceau de cohomologieHⁱ, on obtient l’annulation deHⁱKpouri < 0et un isomorphisme canoniqueH⁰K'Λ. En vertu des propriétés élémentaires de lat-structure canonique sur D⁺(X_´et, Λ), on obtient un unique morphismeΛ'H⁰K→Kcompatible à l’épinglage au point générique.

Pour obtenir (c), supposons queKsoit un complexe dualisant potentiel. On considère le diagramme com- mutatif induit par le morphisme canoniqueΛ→ Kde (b) et la fonctorialité du morphisme de spécialisation associé à un choix de spécialisationη→sau-dessus des pointsηets:

RΓη(Λ) //

sp^X_η→s

RΓη(K)

sp^X_η→s

RΓs(Λ)(1)[2] //RΓs(K)(1)[2]

CommeΛetKsont des complexes dualisants potentiels, les flèches verticales sont des isomorphismes. Par construction, le morphisme du haut est un isomorphisme. Il en résulte que le morphisme du bas aussi. Par conséquent le morphismeΛ→ Kinduit un isomorphisme après application dej^? et dei^!: c’est un isomor- phisme.

2.4.3. Fonctorialité par rapport aux morphismes quasi-finis. —

Proposition 2.4.3.1. — Soitf: Y→Xun morphisme quasi-fini. SoitKun complexe dualisant putatif surXpour une certaine fonction de dimensionδXsurX. Alorsf^!Kest naturellement muni d’une structure de complexe dualisant putatif pour la fonction de dimensionδYsurYdéfinie parδY(y) =δX(f(y))pour touty∈Y(cf. exp.XIV,2.5.2).

Soity∈ Y. Notonsx=f(y)etπ: y→xle morphisme fini induit parf. On a un isomorphisme canonique dansD⁺(y_´et, Λ):

RΓ_y(f^!K)'π^!RΓ_x(K).

L’épinglage en x donne un isomorphisme RΓ_x(K) ' Λ(δ_X(x))[2δ_X(x)]. Pour obtenir l’isomorphisme voulu RΓy(f^!K)'Λ(δY(y))[2δY(y)], il suffit de définir un isomorphismeΛ→^∼ π^!Λ: on utilise le morphisme de Gysin Clπ.

Remarque 2.4.3.2. — Soitg: Z→Y un autre morphisme quasi-fini.Vial’isomorphisme de transitivitég^!f^! ' (f◦g)^!, la structure de complexe dualisant putatif surg^!(f^!K)obtenue en appliquant cette construction àfpuis àgest la même que celle obtenue en appliquant directement la construction àf◦g: cela résulte aussitôt des propriétés de composition des morphismes de Gysin.

Proposition 2.4.3.3. — Soitf:Y→Xun morphisme fini et surjectif etKun complexe dualisant putatif surX. AlorsK est un complexe dualisant potentiel si et seulement si le complexe dualisant putatiff^!Kde la proposition2.4.3.1est un complexe dualisant potentiel.

En vertu des propositions2.3.2et2.3.3, on peut supposer queXetYsont des schémas locaux strictement henséliens intègres de dimension1et que les fonctions de dimension prennent les valeurs0et−1. Compte tenu de la remarque2.4.3.2, il vient alors qu’il suffit de traiter deux cas :

(1) Yest le normalisé deX; (2) XetYsont des traits.

On obtient la conclusion dans le cas (1) en utilisant le fait que le morphisme de transition pourX et K est défini à partir de celui pourY etf^?K(cf. définition1.3.1) et que siM/Lest une extension finie purement inséparable de corps, le morphisme de Gysin Clπ: Λ→ π^!Λassocié au morphismeπ: Spec(M) → Spec(L) s’identifie à la multiplication par le degré deM/Lviales isomorphismes tautologiquesπ^!Λ'π^?Λ'Λ.

La démonstration dans le cas (2) va utiliser le lemme général suivant : Lemme 2.4.3.4. — Soit f:Y → Xun morphisme quasi-fini entreZ₁

n

-schémas noethériens excellents réguliers de dimension relative virtuelle−c. On munitXde la fonction de dimensionδ_X= −codimetYde la fonction de dimension δ_Ydéfinie par composition avecfcomme dans la proposition2.4.3.1. Compte tenu de la relationδ_Y(y) = −codimY(y)−c pour touty∈Y, la proposition2.4.1.1munitΛ(−c)[−2c]d’une structure de complexe dualisant putatif pour la fonction de dimensionδY surY. La proposition 2.4.1.1donne une structure de complexe dualisant putatif surΛsurX, dont on déduit, par la proposition2.4.3.1, une structure de complexe dualisant putatif sur f^!Λsur Y pour la fonction de dimension δY. Alors, l’isomorphisme de pureté Clf: Λ(−c)[−2c] →^∼ f^!Λest compatible aux épinglages de ces deux complexes dualisants putatifs.

Étudions les épinglages en un pointy ∈ Y. Notons x = f(y). On peut supposer queXet Y sont locaux (strictement henséliens) de points fermés respectifsxety. On a un diagramme commutatif :

y ^j //

g

h

Y

f

x ⁱ //X

Les schémas apparaissant sur ce diagramme sont affines et réguliers et les morphismes entre eux sont de type fini. Ces morphismes sont donc localement d’intersection complète (lissifiables), on peut leur appliquer la théorie des morphismes de Gysin (cf. exp.XVI,2.5). Le résultat du lemme découle alors aussitôt de leur compatibilité à la composition, puisqu’elle donne un diagramme commutatif dansD⁺(y_´et, Λ), où l’on a noté