1S1 Devoir n˚ 13 Vendredi 24 janvier 2014
Exercice 1: 8 points
1. Le graphique joint comporte les tangentes aux points d’abscisses−1;5;7et13à la courbeCf d’une fonctionf. Par lecture directe sur le dessin :
a. donner les valeurs des nombres dérivés de la fonctionf en−1;5;7et 13.
b. Donner une équation des tangentes à la courbeCf aux points d’abscisses−1et7.
2. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la fonction f et de sa dérivéef 0 pour un certain nombre de valeurs.
x −3 1 3 9 11
f(x) -1 7 5 -9 -7
f 0(x) 4 -0 -2 0 2
a. À l’aide des valeurs de ce tableau tracer les tangentes à la courbeCf aux points d’abscisses−3; ; 3 ; 9 et 11.
b. Déterminer, en détaillant les calculs, les équations des tangentes aux points d’abscisses 3 et 11 à la courbe Cf.
c. Construire la courbeCf.
Exercice 2: (8 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, −→
ı , −→
, unité graphique : 1cm.
La figure sera faite sur une feuille petits carreaux séparée.
Soient A(−3; −2 ), B( 0; −4 ), C( 4; 2 )et D( 10; −2 ).
1. a. Placer les points A, B, C et D sur le graphique.
b. Déterminer l’équation cartésienne réduite de la droite (AB). Construire (AB).
2. On considère la droite(d)d’équation3x−2y−8 = 0.
a. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur−→u de(d). Placer un représentant de−→u sur le graphique.
b. Montrer que−→u et−→BC sont colinéaires.
c. Le point B appartient-il à(d)?
d. Que peut-on dire des droites(d)et (BC) ? Tracer (BC).
3. a. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
b. Déterminer une équation cartésienne de (CD).
4. On considère le point E défini par−→
AE=2 3
−→BD.
a. Déterminer les coordonnées de E.
b. Placer E sur la figure.
c. Déterminer une équation cartésienne de la droite (DE). Tracer (DE).
5. a. Résoudre le système
( 3x−2y−8 = 0 4x+ 19y−2 = 0
b. En déduire les coordonnées du point d’intersection des droites (BC) et (DE).
Exercice 3: 4 points
Pour se faire de l’argent de poche, Pierre et Jean ont travaillé pendant les vacances de Noël. Pierre a reçu 600 euros après un certain nombre d’heures de travail.Jean a travaillé 10 heures de plus que Pierre, il a reçu que 660 euros.
Trouver le nombre d’heures de travail et le salaire horaire de chacun sachant que le salaire horaire de jean est inférieur de 1 euros de celui de Pierre.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 1
NOM:
−10
10 5
−1
−1
5
−7
7
−1
13
BernardGAULTLycéeBlaisePascalSegré2
Corrigé
Exercice 1: 8 points
1. Le graphique joint comporte les tangentes aux points d’abscisses−1;5;7et13à la courbeCf d’une fonctionf. Par lecture directe sur le dessin :
a. Donner les valeurs des nombres dérivés de la fonctionf en−1;5;7et 13.
f 0(−1) = 2;f 0(5) =−4;f 0(7) =−2;f 0(13) = 4 .
b. Donner une équation des tangentes à la courbeCf aux points d’abscisses−1et7
Au point d’abscissex=−1:f(x) = 5etf 0(x) = 2donc la tangente a pour équationy= 2x+p.
Six=−1alorsy= 5 = 2×(−1) +pdoncp= 5−2×(−1) = 7.
La tangente au point d’abscisse−1a pour équationy= 2x+ 7.
Au point d’abscissex= 7 :f(x) =−7etf 0(x) =−2 donc la tangente a pour équationy=−2x+p.
Six= 7alorsy=−7 =−2×7 +pdoncp=−7 + 2×7 = 7.
La tangente au point d’abscisse7a pour équationy=−2x+ 7.
2. a. Tracés des tangentes sur le graphique.
b. Déterminer, en détaillant les calculs, les équations des tangentes aux points d’abscisses 3 et 11 à la courbe Cf.
Au point d’abscissex= 3 :f(x) = 5et f 0(x) =−2donc la tangente a pour équationy=−2x+p.
Six= 3alorsy= 5 =−2×3 +pdoncp= 5 + 2×3 = 11.
La tangente au point d’abscisse3a pour équationy=−2x+ 11.
Au point d’abscissex= 11:f(x) =−7et f 0(x) = 2 donc la tangente a pour équationy= 2x+p.
Six= 11alorsy=−7 = 2×11 +pdoncp=−7−2×11 =−29.
La tangente au point d’abscisse11a pour équationy= 2x−29.
c. Courbe sur le graphique joint
Exercice 2: (8 points)
Soient A(−3; −2 ), B( 0; −4 ), C( 4; 2 )et D( 10; −2 ).
1. a. Figure en annexe.
b. Une équation cartésienne de la droite (AB) : M(x; y )∈(d)⇔−−→
AM x+ 3 y+ 2 et
−→AB 0−(−3) = 3
−4−(−2) = −2 sont colinéaires.
⇔ −2(x+ 3)−3(y+ 2) = 0⇔ −2x−3y−12 = 0 La droite (AB) a pour équation2x+ 3y+ 12 = 0
2. On considère la droite(d)d’équation3x−2y−8 = 0.
a. Un vecteur directeur−→u de (d)a pour coordonnées 2 3 b.
−→BC 4−(0) = 4 2−(−4) = 6
−
→u 2
3 4×3−2×(6) = 0 −→BC et−→u sont colinéaires.
c. Six=xB = 0et y=yB=−4alors3×(0) + −2×(−4)−8 = 0donc B est sur(d) d. Nous pouvons donc dire que(d)est la droite (BC).
3. a.
−→AB 3
−2
−→CD 10−4 = 6
−2−2 = −4 3× −4−(6)×(−2) = 0
−→AB et−→
CD sont colinéaires donc (AB) et (CD) sont parallèles.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 3
Corrigé
b. Puisque (CD) est parallèle à (AB) d’équation2x+ 3y+ 12 = 0alors l’équation de la droite (CD)est de la forme2x+ 3y+c= 0.
Comme C (4; 2) est sur la droite :2×4 + 3×2 +c= 0⇔14 +c= 0⇔c=−14 La droite (CD) a pour équation2x+ 3y−14 = 0
4. On considère le point E défini par−→
AE=2 3
−→BD.
a.
−→BD 10−(0) = 10
−2−(−4) = 2
donc
−→AE xE+ 3 = 2 3×10 yE+ 2 = 2
3×2
d’où xE =2
3 ×10−3 = 11 3 yE =2
3 ×2−2 =−2 3 b.
c. Équation cartésienne de la droite (DE) : M(x; y )∈(DE)⇔−−→DM x−10
y+ 2 et
−→DE 11
3 −10 =−19 3
−2
3 + 2 = 4 3
sont colinéaires.
⇔ 4
3(x−10) +19
3 (y+ 2) = 0⇔4x−40 + 19y+ 38 = 0 La droite (DE) a pour équation4x+ 19y−2 = 0
5. a. Résoudre le système
3x−2y−8 = 0 4x+ 19y−2 = 0
−12x+ 8y+ 32 = 0 : −4×(L1) 12x+ 57y−6 = 0 : 3×(L2)
65y+ 26 = 0 : y=−26 65 =−2
5
57x−38y−152 = 0 : 19×(L1) 8x+ 38y−4 = 0 : 2×(L2)
65x−156 = 0 : x= 156 65 = 12
5 S ={(2,4;−0,4)}
b. Les coordonnées du point d’intersection des droites (BC) et (DE) sont (2,4;−0,4) car les équations du système correspondent aux équations de (BC) et de (DE).
Exercice 3: 4 points
Pour se faire de l’argent de poche, Pierre et Jean ont travaillé pendant les vacances de Noël. Pierre a reçu 600 euros après un certain nombre d’heures de travail.Jean a travaillé 10 heures de plus que Pierre, il a reçu que 660 euros.
Trouver le nombre d’heures de travail et le salaire horaire de chacun sachant que le salaire horaire de jean est inférieur de 1 euros de celui de Pierre.
Appelonssle salaire horaire de Pierre, alors le salaire horaire de Jean ests−1.
Appelonshle nombre d’heures de travail de Pierre, alors le nombre d’heures de travail de Jean esth+ 10.
Pierre à reçu 600 euros doncsh= 600.
Jean a reçu 660 euros donc(s−1)(h+ 10) = 660.
Il ne reste plus qu’à résoudre ce système d’équations.
En développant la seconde équation nous trouvons :sh+ 10s−h−10 = 660.
Ce qui donne en remplaçantshpar 600 dans cette équation :
600 + 10s−h−10 = 660⇔10s−h= 660−600 + 10⇔10s−h= 70.
Nous en déduisons10s−70 =het en remplaçant dans l’équation sh= 600, nous obtenonss(10s−70) = 600⇔10s2−70s−600 = 0
∆ = (−70)2−4×10×(−600) = 28900 donc x1= 70−√ 28900
20 =−5 et x2= 70 +√ 28900
20 = 12
Conclusion : s = 12.
Le salaire horaire de Pierre est de 12 euros et Pierre à travaillé 600
12 = 50heures.
Le salaire horaire de Jean est de 11 euros et Jean à travaillé60heures.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 4
NOM:
−10
10
−1
−3
7
1 5
3 5
−1
−1
5
−7
7
−1
13
−9
9
−7
11
BernardGAULTLycéeBlaisePascalSegré5
NOM :
O
b
A
b
B
b
C
b
-2 D -3
-4 0 2
4
-2
10
E F
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 6
