Description de la texture des solides polycristallins et de leur déformation plastique

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Description de la texture des solides polycristallins et de

leur déformation plastique

Claude Esling

To cite this version:

Claude Esling. Description de la texture des solides polycristallins et de leur déformation plastique. Physique [physics]. Université Paul Verlaine - Metz, 1972. Français. �NNT : 1972METZ002S�. �tel-01775543�

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sry /z/a

THÈSE

présentée

A I.A FACULTÉ

DES SCIENCES

DE L'UNIVENSTÉ

DE METZ

pour obtenir le grade de

DOCTEUR

SpÉCtRl-lSÉ

rru PHYS|OUE

DU SOLTDE

(3" cycte)

=

urlrvensiiiîâ-e

i

BBLIoTHEQUE UNlvEKsr rArl(È

l N'fiv.

4?+Loo

3 s

coF

slt\ +Llz\

Lo€ par

G l a u d e E S I I N G

Assistant à l'1. u. T. de METZ

DESCRIPTION DE LA TEXTURE

DES SOLIDES POLYCRISTALLINS

ET DE LEUR DÉFORMATION PLASTIQUE

Soutenue le 11 mars 1972 devant la commission d'examen:

MM. R. BARO . . Président G. CHAMPIER .

I Examinateurs

c. rRvRno . I

UNTVERSITE DE METZ U . E . R . I ! S C T E N C E S E X A C T E S E T N A T U R E L L E S I ' ( F a c u l t é d e s S c i e n c e s ) DIRECTEUR P r o f e s s e u r : J . M . B L O C H P E R S O N N E L E N S E T G N A N T a u l . r O . 1 9 7 f P R O F E S S E U R S : - M . L O N C H A M P J . P . - Mme CAGNIANT D. - M . L E R A Y J . - M . B L O C H J . M . - M. GERARD R. M A I T R E S D E C O N F E R E N C E S : - M. CHARLIER A. - M. TAVARD D. - M . W E B E R J . D . - M. WEIL I,1. - M. WENDLING E. C H A R G E D I E N S E I G N E M E N T : T . T . P . P h y s i q u e P . S . C . C h i m i e P . S . C . P h y s i q u e T . T . P . C h i m i e P . S . C . M a t h é m a t l q u e P h y s l q u e P h y s i q u e M é c a n i q u e Mathématlque Chimie

en

A MON FRERE JEAN

A V A N T - P R O P O S L e p r é s e n t t r a v a i l a é t é r é a l i s é d a n s I e c a d r e d u L a b o r a t o j - r e d e M é t a l l u r g i e S t r u c t u r a l e d e M E T Z , d a n s l e q u e 1 M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r R . B A R O a b i e n v o u l u m ' a c c u e i l l i r . E n p l u s _ d e I ' i n t é r ê t p o r t é a u t r a v a i l d e r e c h e r c h e , i l m ' a c o n s -t a m n e n -t -t é m o i g n é s a c o n f i a n c e , e t j e I e p r i e d ' a c c e p t e r m e s r e m e r c i e m e n t s l e s p l u s s l n c è r e s . M o n s i e u r C . T A V A R D T € r I a s s u r a n t l a d i r e c t i o n s c i e n -t i f i q u e d e c e t r a v a i l , a c o n t r i b u é t r è s l a r g e m e n t à s a r é a 1 i -s a t i o n . E n p l u s d e s o n a i d e c o n s t a n t e e t s o u v e n t p a t i e n t e , i l a s u m e c o m m u n i g u e r s o n p r o f o n d e n t h o u s i a s m e p o u r I e s S c i e n c e s P h y s i q u e s . J e I ' a s s u r e d e m a t o t a l e g r a t i t u d e . J e r e m e r c i e é g a l e m e n t M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r G . C H A M P I E R p o u r I ' i n t é r ê t q u ' i 1 a c o n s t a m m e n t m a n i f e s t é à 1 ' a v a n c e m e n t d u t r a v a i l e t p o u r I ' h o n n e u r q u ' i l m e f a i t e n a c c e P t a n t d e p a r t i c i -p e r a u J u r y d e t h è s e . M o n s i e u r B . B A U D E L E T m ' a p r o d i g u é d e n o m b r e u x c o n s e i l s ' j e I t e n r e m e r c l e v i v e m e n t . J e r e m e r c i e M a d e m o i s e l l e F . S A G A N p o u r a v o i r v é r i f i é c e r t a i n s c a l c u l s f a s t i d i e u x e t M a d a m e A . ' P R O F I Z I p o u r s o n a i d e d a n s l e t r a v a i l b i b l i o g r a p h i q u e .

A t o u s m e s c o l l è g u e s d u L a b o r a t o j . r e , q u i o n t s u c r é e r u n e a t m o s p h è r e f a v o r a b l e a u d é v e l o p p e m e n t d u t r a v a i l , j ' e x p r i m e m e s s i n c è r e s r e m e r c i e m e n t s . M e s r e m e r c i e m e n t s v o n t a u s s i à M o n s l e u r [ I . M E T Z I N G E R p o u r l e s f a c i l i t é s a c c o r d é e s d a n s l a r é a l i s a t i o n p r a t i q u e d e I a t h è s e . E n f i n , j t e x p r i m e m e s r e m e r c i e m e n t s à t o u t e s l e s P e r -s o n n e -s q u i m ' o n t a p p o r t é l e u r a i d e t e c h n i q u e , n o t a m m e n t M o n s i e u r A . T H I L p o u r I a r é a l i s a t i o n d e s f i g u r e s ' t ' l e s d e m o i s e l l e s S . L E F O N D E U R e t N . M O R I T Z p o u r I e t r a v a i l d a c t y -l o g r a p h i q u e e t M e s d a m e s A . M . B À E H R E L e t M . M À R X p o u r I e t r a v a i l d e r o n é o t y p i e .

, , P o u r s a v o i r l e s e n s v r a i d e s 1 0 i s p h é n o m é n a l e s , n e f a u d r a i t - i L p a s c o n n a Î t r e I e s c o r r é l a t i o n s q u i e x i s t e n t e n t r e l e s p h é n o m è n e s e t I a l o i d ' e n s e m b l e ? "

T A B L E D E S M À T T E R E S I N T R O D U C T T O N C H A P I T R E I E T U D E D E L A F O N C T I O N DE TEXTURE ET DE 1 . 1 T , 2 S E S S Y M E T R I E S D é f i n i t i o n d e 1 a f o n c t i o n d e t e x t u r e P r o p r i é t é s d r i n v a r i a n c e d e I a f o n c t i o n d e t e x t u r e O p é r a t e u r s d e s y m é t r i e : p r o j e c t e u r s a s s o c i é s a u x g r o u p e s d e s Y m é t r i e A p p l i c a t i o n a u c a s d e s g r a i n s à r é s e a u c u b i q u e

t . 3

r . 4

1 . 5 O r t h o n o r m a l i s a t i o n d e l a b a s e s y m é t r i s é e C H A P I T R E 2 - C O R R E L A T I O N E N T R g L A T E X T U R E D I U N P O L Y C R I S T A L E T L E T E N S E U R D E S DEFORMATIONS 2 , I L a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e d u m o n o c r i s t a l 2 . 2 M o d è I e u t i l i s é p o u r l a d é f o r m a t i o n p l a s -t i q u e d u P o l Y c r i s -t a l 2 , 3 V a l e u r s m o y e n n e s d u t e n s e u r d e s d é f o r -m a t i o n s 2 . 4 C a l c u l d u c o e f f i c i e n t R d e L a n k f o r d S a r f é t e r m i n a t i o n à p a r t i r d e I a f i g u r e d e p ô } e s { r 1 l }

C O N C L U S T O N A P P E N D I C E S E T B I B L I O G R A P H I E 5 9 6 I

6 2

6 6

Appendice

r -

::iïi3il";":;:ii;:::""ËiË,rn'""

g é n é r a I i s é e s A p p e n d i c e I I - D é t e r m i n a t i o n d e I a f o n c t i o n d e t e x t u r e A p p e n d i c e f I I - P r o p r i é t é s e s s e n t i e l l e s d e s p r o j e c t e u r s d e s Y m é t r i e A p p e n d i c e I V - C o n s t r u c t i o n d e s t e n s e u r s s p h é r i q u e s B i b l i o g r a p h i e 7 0 7 4 7 9

I N T R O D U C T T O N L e s p r o p r i é t é s p h y s i q u e s à c a r a c t è r e a n i s o t r o p e d e s m a t é r i a u x p o l y c r i s t a l l l n s d é p e n d e n t g é n é r a l e m e n t d e d e u x f a m i l l e s de paramètres : a ) I e s p a r a m è t r e s 1 i é s a u x p r o p r i é t é s p h y s i q u e s d e s c r i s -t a l l l -t e s i n d i v i d u e l s ( n a t u r e d u c r i s t a l l i t e , f o r m e d u r é s e a u . . . ) b ) l e s p a r a m è t r e s c a r a c t é r i s a n t I e m i l i e u p o l y c r i s t a l l i n ( d i m e n s i o n e t o r l e n t a t i o n d e s c r i s t a l l i t e s , j o l n t s d e g r a i n s . . . ) . P a r m i c e s d e r n i e r s , I a r é p a r t i t i o n d e s o r i e n t a t j - o n s d e s c r j . s t a l l l t e s d a n s 1 ' é c h a n t i l l o n p e u t ê t r e c a r a c t é r i s é e p a r u n e f o n c t i o n d e d e n s l t é d ' o r l e n t a t i o n s r o u f o n c t i o n d e t e x t u r e . L e s m é t h o d e s d e d e s c r i p t i o n d e l a r é p a r È i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s e t l e u r a p p l i c a t l o n _{à 1 ' é t u d e d e d i v e r s e s P r o P r i é t é s p h y s i q u e s} o n t é t é r a s s e m b l é e s , a i n s i q u e d e n o m b r e u s e s r é f é r e n c e s b i b l l o -g r a p h l q u e s , d a n s d e s o u v r a g e s à c a r a c t è r e t h é o r i q u e ( r ) e t e x p é -r i m e n t a -r ( 2 ) ( 3 ) .

La représentation Ia mieux adaptêe de la fonction de texture consiste en un développement sur le système orthonormal complet des fonctions harmoniques sphériques généra1isées

!

D 1 - ( o , B , f ) . L e s a n g l e s c , g e t f , s o n t l e s a n g l e s d t E u l e r d e_mn } a r o t a t i o n a m e n a n t u n r e p è r e d o n n é ( O x y z ) , t i é à l r é c h a n t i l -l o n , s u r u n r e p è r e ( O x ' y ' z ' ) a s s o c i é a u r é s e a u c r i s t a l l . i n d e s g r a l n s . T o u t e f o i s , l a s y m é t r l e d u r é s e a u d e s g r a i n s a i n s i q u e I a

s y m é t r j - e é v e n t u e l l e d e l a r é p a r t i t i o n d e s g r a J n s d a n s 1 r é c h a n -t i l l o n l m p o s e n t à I a f o n c t i o n d e t e x t u r e d e s c o n d i t i o n s d r i n v a -r L a n c e . C e s p -r o p -r i é t é s d ' i n v a r i a n c e n r a y a n t é t é é t u d i é e s à c e j o u r q u e p a r v o i e d e c a l c u l n u m é r i g u ê r u n e m é t h o d e d e c o n s t r u c -t j . o n s y s -t é m a -t i q u e d e s f o n c t i o n s h a r m o n l q u e s s p h é r i q u e s g é n é r a l i -r i e t l ( o , B , f ) e s t p r o p o s é e ( 4 ) . A p p r i c a t i o n e n e s t f a i t e à l a s y m é t r i s a t i o n d e l a f o n c t l o n d e t e x t u r e , n o t a m m e n t d a n s I e c a s l e p l u s f a v o r a b l e à l f é t u d e d e I a d é f o r -m a t i o n p l a s t i q u e - où elle décrit l a r é p a r t i t l o n d e s o r i e n t a t i o n s d e s ê l é m e n t s d e g l i s s e m e n t d a n s l ' é c h a n t i l l o n . D a n s u n e é t a p e u l t é r i e u r e , n o u s a v o n s é t u d l é I a c o r r é -I a t l o n e n t r e I a f o n c t i o n d e t e x t u r e e t l e s p r o p r i é t é s m é c a n i q u e s d ' u n s o l i d e p o l y c r i s t a l l i n r ê r I n o u s l i m i t a n t a u c a s d e g r a i n s à r é s e a u C . F . C . . L o r s q u ' u n e g r a n d e u r p h y s i q u e a n i s o t r o p e , s c a l a l r e ' v e c t o r i e l l e o u t e n s o r i e l l e _{e s t c o n n u e P o u r l e m o n o c r i s t a l r} S â v a l e u r p o u r I e p o l y c r i s t a l p e u t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e I a v a l e u r m o y e n n e s u r I ' e n s e m b l e d e s o r i e n t a t l o n s , c h a q u e o r i e n t a t i o n é t a n t p o n d é r é e p a r s o n p o i d s s t a t i s t i q u e ( 5 ) . D a n s c e t t e a p p r o x i m a t l o n , u n m o d è l e s i m p l e d e I a d é f o r m a t i o n d u p o l y c r i s t a l a p e r m i s d e c a l c u l e r l e s v a l e u r s m o y e n n e s d u t e n s e u r d e s d é f o r m a t i o n s . E n p a r t i c u l i e r , l e c o e f f i c i e n t R d e L a n k f o r d , d o n t l r i m p o r t a n c e e s t c o n s t a t n m e n t c r o i s s a n t e d a n s l e d o m a l n e d e l a m é t a l l u r g l e ( 6 ) , a p u ê t r e r e l i é d i r e c t e m e n t à I ' i n t e n s l t é d l f f r a c t é e p a r l a f i g u r e d e p ô I e s { I 1 1 i d e I ' é c h a n t l l l o n , s a n s a v o l r à d é t e r m i n e r I a f o n c -t L o n d e -t e x -t u r e e l l e - m ê m e ( 7 ) . D a n s I e c a s p a r t i c u l i e r d u m o n o -c r i s t a l , o ù l e c a l c u l d i r e c t e s t p o s s l b l e , l r a u t o c o h é r e n c e d u f o r -m a l i s -m e g é n é r a 1 p r o p o s é a p u ê t r e v é r i f i é e .

3

C H A P I T R E I

I.I DEFINITION DE LA FONCTTON DE TEXTURE S o I t O x y z u n r e p è r e c a r t ê s i e n ( K O ) r associé au solide p o l y c r i s t a l l i n . O n p o u r r a r p ê r e x e m p l e , f a i r e c o l n c i d e r l e s a x e s r e s p e c t i v e m e n t a v e c 1 ' é p a i - s s e u r , I a l a r g e u r e t I a l o n g u e u r d e 1 ' é c h a n t l l l o n . _{/ - P o u t} u n é c h a n t i l l o n l a r n i n é r o r r p e u t u t i l i s e r r e s -p e c t i v e m e n t I a n o r m a l e a u p l a n d e l a m i n a g e , I a d i r e c t i o n t r a n s v e r s e e t I a d l r e c t l o n d e l a m i n a g e - 7 . f i q u r e l . I - 1 A c h a c u n d e s c r i s t a l l i t e s s e r a a s s o c i é u n r e p è r e c a r t é s i e n ( K B ) , c h o i s i d e I a m ê m e m a n i è r e p o u r t o u s l e s c r i s t a l l i t e s . S i I e r é s e a u c r i s t a l l i n p o s s è d e u n e m a i l l e o r t h o r h o n b i q u e , l e s a x e s d u r e p è r e O r x ' y t z t p o u r r o n t n o t a m m e n t c o i n c i d e r a v e c l e s r a n g é e s

/ - L o o _ 7

, / - a t o _ f , l - o o L _ 7 . ( f i g u r e l . t - 1 )

I I I I

I

4 t I

zl

I I I I

o l -

> v I

-L a p o s i t i o n d é t e r m i n é e p a r : a ) I a p o s i t i o n d e b ) I a r o t a t i o n g d ' u n c r i s t a l l i t e d a n s 1 r é c h a n t i l l o n s e r a I r o r i g i n e O ' qui amène le e n c o i n c l d e n c e a v e c I e r e p è r e ( K B ) . C e t t e r o t a t i o n g s e d é c o m P o s e r o t a t i o n s i n d é p e n d a n t e s ( f i g u r e I . I - 2 ) : u n e r o t a t j - o n d r a n g l e o ( O u n e r o t a t i o n d r a n g l e B ( O ( s o i t O y f ) , g u i a m è n e O z s u r O z t . u n e r o t a t i o n d ' a n g l e Y ( o { c t de (KB) par raPPort à r e p è r e ( K A ) ' translaté en un produit de trois ( KA) e n O r , d e l r a x e O z . nouvel axe Oy

{ 2 r ) a u t o u r

< r ) a u t o u r d u

-. tr < 2r) autour de oz' .

f i q u r e l . l - 2

I

v

L a r o t a t i o n g e s t a i n s i c a r a c t é r i s é e p a r l e s t r o i s a n g l e s d ' E u l e r o ; B , f : g = { d , B r U } . L a p o s i t i o n p d r u n c r i s t a l l i t e d é p e n d d o n c d e 6 p a r a m è t r e s : l e s c o o r d o n n é e s d e O r e t l e s a n g l e s d ' E u l e r d e l a r o t a t i o n g . R e p r é -s e n t o n -s e n f o n c t i o n d e p ( p a r a m è t r e _{" 1 i n é a r i s é "} é q u i v a l e n t ) I a d l s t r i b u t i o n I l v ( p ) d e s N c r i s t a l l i t e s d a n s 1 r é c h a n t i l l o n d e V A p v o l u m e V ( f i g u r e f . f - 3 ) .

^ v ( p )

A p f i g u r e l . t - 3 C e t t e d i s t r i b u t i o n r e p r é s e n t e l a f r a c t i o n d u v o l u m e d e c r i s t a l l i t e s p a r i n t e r v a l l e A p , c r e s t - à - d i r e d o n t l a p o s i t . i o n e s t c o m p r i s e d a n s l r i n t e r v a l l e p , p + ^ p . D a n s l a m e s u r e o ù l e s c r l s -t a l l i -t e s s o n t s u f f i s a m m e n t n o m b r e u x d a n s I ' é c h a n t i l l o n c o n s i d é r é ,

on admettra pouvoir

d é f i n i r u n e f o n c t i o n d e n s i t é c o n t i n u e :

( r . r - r )

f ( p ) = L e s o l i d e p o l y c r i s t a l l i n e s t c a r a c t é r i s é r ê n p l u s d e I a p o s i t i o n d e s g r a i - n s r p â r l e u r t a i I I e . E n t o u t e r i g u e u r , i l f a u d r a i t d o n c r e p r e n d r e I e r a i s o n n e m e n t p r é c é d e n t p o u r d é f i n i r u n e f o n c t l o n d e n s i t é f ( p , t ) d é f i n l s s a n t l e t a u x d e c r i s t a l l l t e s d o n t l r o r i e n -t a -t i o n e s t c o m p r i s e e n t r e p e t p + d p e t d o n t l a t a i l l e e s t c o m p r i s e e n t r e t e t t + d t . D e I a d é f i n i t i o n m ê m e d e c e t t e f o n c t i o n d e n s i t é d é c o u l e n t l e s d e u x p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

r d v

vaP

( r . r - 2 )

( r . r - 3 )

f ( p , t ) > . O

Ifi(p,r)dpdr=r

( f o n c t i o n p o s i t i v e ) ( f o n c t i o n n o r m é e ) L o r s q u ' o n é t u d i e e x c l u s i v e m e n t l r o r i e n t a t i o n d e s g r a i . n s d a n s I ' é c h a n t i l l o n , o n p e u t i n t é g r e r d i r e c t e m e n t f ( p , t ) = f ( g , d ' , a ) s u r 1 ' e n s e m b l e d e s p o s i t i o n s e t t a i l l e s d e s c r i s t a l l i t e s , d e s o r t e que :

( 1 . 1 - 4 )

r (e) =

ff

_{llt (s,ôi,, r) ad'dt}

J J

L a f o n c t i o n f ( q ) d e d e n s i t é d ' o r l e n t a t i o n s d e s c r i s t a l l l t e s a i n s i o b t e n u e e s t a p p e l é e f o n c t l o n d e t e x t u r e d u m a t é r i a u p o l v c r i s -t a l l i n .

La représentation la mieux adaptée à Ia description de cette fonction de texture consiste en un développement sur Ie sys-tème orthonormal complet des fonctlons harmonlques sphérlques

géné-L

m = 0 L e s c o e f f i c i e n t s C ; n t r a d u i s e n t I ' a n i s o t r o p i e d e d i s t r l -b u t i o n d e s c r i s t a l l i t e s d a n s I e m a t é r l a u c o n s i d é r é e t l e s s y m é t r i e s 0 i n h é r e n t e s à s a s t r u c t u r e . L e s D ; n ( g ) s o n t l e s é l é n e n t s d e m a t r i c e s f r 1 ' l d e s r e p r é s e n t a t i o n s i r r é d u c t i b l e s d u g r o u p e d e s r o t a t i o n s ' - - ' , c o n s -t r u i -t e s s u r I e s é t a t s p r o P r e s É * . > d e s o p é r a t e u r s J 2 e t J , d u m o m e n t c i n é t i q u e : r a r i s é e s ( 8 ) ( 9 ) ( r O ) s o n t l e s a n g l e s d e I a t i o n d e s c r i s t a l l l t e s p e m e n t e s t t e l q u e : æ

\r

t 1 ' r - q \ c ( g ) = _{Z _} \ r ' r J t r = o 0 D ' ( a , B r t r ) , o ù c r l B e t f mn c o n t i n u e g c a r a c t é r i s a n t I r o r i e n t a -s o l i d e . ( f i g u r e I . 1 - 2 ) . L e d é v e l o p

-T

D ( q ) = mn r o t a t i o n d a n s I e

I'

X

'I _{11 =}

I 1 2 l

( r . 1 - 6 ) {

,

t J z l

> = l t { , *

t ) l

> =

_{m l L}

l *

l - m

L r o P é r a t e u r D d i r e I a s u c c e s s i o n d e s s e l o n l e s a x e s O z , O Y I s r é c r i t :

!.

(r.r-7) ofuts)

="t'*lP

( g ) r e p r é s e n t a n t I a r o t a t i o n g , c r e s t à -r o t a t i o n s f i n i e s o 1 B r f , r e s p e c t i v e m e n t e t O z t ( f i g u r e I . I - 2 ) , 1 ' é I é m e n t d e m a t r i c e u n e a l t e r n a t i v e d i f f é r e n t e ( t t ) , m a i s s t r i c t e m e n t

9 é q u l v a l e n t e , c o n d u l t à : L ô r . . , - l c J o - i Ê J . , - i t r J

( r . r - 8 1 o f r r t s l = . l m l o ( s ) 1 . ! ' n , = . 1 ' m l e - - . - z e

- y e

' l l n > '

l e s r o t a t i o n s U , B e t o s r e f f e c t u a n t a l o r s a u t o u r d e s s e u l s a x e s O z e t O y d u r e p è r e i n i t i a l ( f i g u r e f . 1 - 4 ) . A v e c c e t t e c o n v e n t i o n , c o m p t e - t e n u d e s r e l a t i o n s ( I . I - 6 )

I r é c r i t u r e 4 " " o f r ( g ) s e s i m p l i f i e :

g _n - i o J - i BJ,, iY.f

-( r . r - e )

o f " ( g ) = . { m l e

'

e

Y e

' l l ' n ,

=

"-imo.

{. * r .-t

u!

r ,[ r, ' "-inf,

P a r a i l r e u r s ,

r e s é 1 é m e n t s . t * 1 " - i

u " P

; 1 ' , r t

s o n t d e s

p o l y n ô m e s a s s o c i é s a u x p o l y n ô m e s d e J a c o b i ( A . I - I l ) ,

s o l t

L

- i m a L

- i n f

( r . 1 - 1 o )

D * n ( g ) = e

d * r , ( g ) e

L ' é t u d e d e s p r i n c i p a l e s p r o p r i é t ê s d e s f o n c t i o n s a * ( e )

L

e t D ; n ( o , B r t r ) e s t r e p o r t é e d a n s I ' a p p e n d l c e I . N o t o n s t o u t e f o i s q u e I a r e p r é s e n t a t i o n d e d e u x r o t a t i o n s s u c c e s s i v e s 9 I e E 9 2 s r é c r i t :

( r . r - r l )

D ( g z . 9 r )

= P ( s t )

D ( s r l

'

r e l a t i o n g u i n o u s p e r m e t t r a d e t r a d u i r e l e s c o n d l t i o n s d r i n v a r i a n c e d e I a f o n c t i o n d e t e x t u r e l i é e s a u x p r o p r i é t é s d e s y m é t r i e . E n f i n ,

10-.^ ^t5 \)

F

t-t'

-t-aJ

tqJ

hs

.g

ta,

F+

lf,

Od

'q)

CE È

s/

lf

s

d

oÂ*

{T.

tl

.1,

ô è)

t#

Ë ara

tq)

Frs

o-

a--tq1

\

ho^l

h

'e)

-r ^ê--l t

v

ll

Gs

V A\d

-ât

l l

le problème de Ia déterminatj.on de Ia fonction de texture d'un é c h a n t i l l o n p o l y c r i s t a l l i n â p a r t l r d e s d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s d e I a g o n l o m é t r i e d e t e x t u r e e s t é t u d i é d a n s l r a p p e n d i c e I Ï '

TZ

L.2 PROPRIETES D I INVARIATiICE DE LA FONCTION DE TEXTURE

S i I a d o n n é e d ' u n e r o t a t i o n g E { o 1 B , [ ] d é t e r m i n e s a n s a m b i g u l t é I ' o r i e n t a t i o n d ' u n c r l s t a l l l t e d a n s 1 r é c h a n t l l l o n ' l e s c o n s l d é r a t l o n s d e s y m é t r i e m o n t r e n t , q u e l a r é c i p r o q u e e s t g é n é r a -l e m e n t f a u s s e . C e s c o n s i d é r a t i o n s s o n t r e s p e c t i v e m e n t r e l a t l v e s a ) a u x s y m é t r i e s d u r é s e a u c r i s t a l l l n , b ) a u x s y m é t r l e s é v e n t u e l l e s d e I a r é p a r t l t l o n d e s g r a i n s d a n s l e p o l y c r i s t a t ( n o t a m m e n t , c a s d e s t ô I e s l a m i n é e s ) . N o u s n o u s l i m i t e r o n s à 1 t é t u d e d u r ô 1 e d e s s y m é t r i e s d u r é s e a u c r i s t a l l l n , 1 ' é t u d e d e s s y m é t r i e s r e l a t l v e s à I ' ê c h a n -t , L l l o n é -t a n -t a n a l o g u e . P a r e x e m p l e , d a n s I e c a s d r u n r é s e a u c r i s t a l l i n c u b i q u e ' I r a x e z t ( f l g u r e I . l - 2 ) e s t u n a x e q u a t e r n a i r e . T o u t e r o t a t i o n s u P -p l é m e n t a l r e d ' a n g l e I a u t o u r d e c e t a x e a m è n e t e c r i s t a l l i t e d a n s u n e o r i e n t a t i o n é q u i v a l e n t e . I I e x j - s t e d o n c q u a t r e v a l e u r s p o s s l b l e s p o u r I ' a n g l e Y , d i f f é r a n t e n t r e e l l e s d r u n m u l t t p l e U " â . L a s y m é -t r l e p a r r a p p o r t a u p l a n O t x t y t d o n n e r p o u r l r a x e O r z ' , d e u x p o s s i b i l i t é s d e c h o i x . E n f i n r ê t à p a r t i r d e c e s h u i t p o s s i b i l i t é s ' t o u t e p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e d . e s a x e s p e u t ê t r e e f f e c t u é e . O n p e u t d o n c , d a n s I e c a s d ' u n r é s e a u c u b i q u e , a s s o c l e r 2 4 r e p è r e s é q u i v a -l e n t s à u n c r l s t a l l i t e p l a c é d a n s u n e o r i e n t a t i o n I d o n n é e . P l u s g é n é r a l e m e n t , I e r é s e a u c r i s t a l l l n e s t c a r a c t é r l s é p a r u n g r o u p e d e s y m é t r l e G , , d o n t t o u s l e s o p é r a t e u r s l a i s s e n t l e c r l s t a l l l t e i n v a r l a n t - par rapport au repère macroscoplque - t du m o l n s d a n s n o t r e d e s c r i p t i o n s l m p l i f l é e f a i s a n t a b s t r a c t i o n d e I a f o r m e e t d e l a t a I I I e d e s c r l s t a l l i t e s . L r o r l e n t a t l o n d r u n c r i s t a l -t l -t e e s t a i n s l c a r a c t é r l s é e p a r I r u n e q u e l c o n q u e d e s r o t a t l o n s ( g 1 . g ) ,

1 3 e t c e p o u r t o u t é I é m e n t g 1 d u s o u s - g r o u p e d e s r o t a t i o n s C f a u g r o u p e d e s y m é t r i e c r j . s t a l l o g r a p h i q u e . U n e f o n c t i o n d o n n é e d e s a n g l e s d ' E u l e r f ( g ) = f ( a , B , Y ) , p o s i t l v e e t n o r m é e à I ' u n i t é r r r ê p o u r r a ê t r e f o n c t i o n d e t , e x t u r e q u e s l : ( 1 . 2 - I ) f ( g r 9 ) = f ( 9 ) , p o u r t o u t e r o t a t i o n _{9 i d u g r o u P e d e s y m é t r i e c r i s t a l l o g r a p h i q u e} d e s g r a i n s . C e s c o n d i t i o n s p e u v e n t e n c o r e s e t r a d u i r e p a r c e r t a i n e s r e l a t l o n s e n t r e c o e f f i c i e n t s ( I 2 ) " X d u d é v e l o p p e m e n t ( r . r - 5 ) d e 'r -mn * f ( g ) s u r l a b a s e d e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s g é n é r a l i s é e s . E n e f f e t r â u m o y e n d e c e d é v e l o p p e m e n t l e s c o n d l t i o n s d ' i n v a r i a n c e d e I a f o n c t i o n d e t e x t u r e s r é c r i ' v e n t :

( r . 2 - 2 )

È"

_{É , "Ë-,}

'k

["*"

(s,s)

-

"k

tsr] = Q '

s o i t e n c o r e , c o m p t e - t e n u d e l a r e l a t i o n d ' a d d i t i o n ( A . I - f 6 ) :

(r.2-3)

_^Ë

_*,

_{-Ë, {}

g, c*

_{["1"(s')-on"l]"*n,n,}

- o

| 7 O p = - L m = ' l - | . n = - l l u r L t / r t 4 v r r J J " ' t L e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s g é n é r a l i s é e s f o r m a n t u n e b a s e o r t h o n o r m é e e t c o m p l è t e ( A p p e n d i c e I ) , c e c i i m p l i q u e :

L

(L.z-A) X,

_{.l- | "!-}

1

, , = - . t

m n L Pn

( s t )

ô " P J = Q

l 4 P o u r u n c o u p l e d ' i n d i c e s l v e t m f i x é s , l e s Q l . + r ) c o e f f i c i e n t s C l ( - I < n <{l d . o i v e n t d o n c ê t r e s o l u t i o n s d u mn s y s t è m e s u r a b o n d a n t ( 1 . 2 - 4 ) d ' é q u a t l o n s l i n é a i r e s . D ' u n p o i n t d e v u e d i f f é r e n t ( r 3 ) ( t 4 ) , o n p e u t c h e r c h e r à c o n s t u i r e d e s f o n c t i o n " T * ( g ) , c o m b i n a i s o n s l i n é a i r e s d e s 0 D ; ( g ) , e t p o s s é d a n t l e s c o n d i t i o n s d e s y m é t r i e r e q u i s e s :

( r . 2 - s )

t * " ( g ) =

L

L

n =

Pour .rt turrg I donné, f indlce v dénombre Ies solutions I i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t e s . L t é t u d e d e s c o n d i t i o n s d ' i n v a r l a n c e m o n t r e a i s é m e n t q u e l e s Q l . + 1 ) c o e f f i c i e n t s B n u ( - I - t - t t < l ) d o l v e n t é g a l e m e n t ê t r e s o l u t i o n s d u s y s t è m e l i n é a i r e ( L . 2 - 4 ) . L r i n c o n v é n i e n t m a j e u r d e c e s d e u x t r a i t e m e n t s r é s i d e e n I a n é c e s -s i t é d e r é s o u d r e n u m é r i q u e m e n t ( e t p o u r t o u t e s v a l e u r s a e C ) u n s y s t è m e s u r a b o n d a n t d ' é q u a t i o n s l i n é a i r e s c o r r e s p o n d a n t à u n r a n g d o n n é . E n f i n , d ' a u t r e s a u t e u r s ( 1 5 ) ( r 6 ) o n t a b o r d ê l e p r o b l è m e d e l a s y m é t r i s a t i o n d e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s s i m p l e s Y f ; ( B , a ) A \ L ( A . I - I 2 ) m o y e n d e f o n c t i o n s g é n é r a t r i c e s c o n v e n a b l e m e n t s y m é t r i s é e s . Si leur méthode permet de manipuler les fonctlons harmoniques simples s y m é t r i s é e s e n t a n t q u ' ê t r e m a t h é m a t i q u e a b s t r a i t , e l l e n e c o n d u l t c e p e n d a n t p a s f a c i l e m e n t à l e u r s e x p r e s s i o n s a n a l y t i q u e s . D e p l u s , la méthode proposée ne semble pas pouvoir être étendue aux fonctlons

L

h a r m o n i q u e s s p h é r i q u e s g é n é r a l l s é e s D ;

( a , Ê ' Y ) u t l I l s é e s P o u r

I a d , e s c r i p t i o n d e I a t e x t u r e .

r 5

I l a p p a r a l t é v i d e m m e n t p l u s a j - s é d r é t a b l i r , à p a r t i r d e s r e p r é s e n t a t i o n s D ( g ) e t p a r a p p l i c a t i o n d r u n o p é r a t e u r d e s y m é t r i e c o n v e n a b l e - o u p r o j e c t e u r l e s r e p r é s e n t a t i o n s s y m é -t r i s é e s T ( g ) . C e p r o c é d é a I ' a v a n t a g e d e d o n n e r d i r e c t e m e n t 0

l r e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e d e T f r , ( g ) s y m é t r i s é e s c o r r e s P o n d a n t à

u r t . r r g C q u e l c o n q u e , a l o r s q u e l e s c a l c u l s n u m é r i q u e s s o n t

n é c e s s a i r e m e n t l i m t t é s p a r I a c a p a c i t é d e s o r d i n a t e u r s .

I 6

1.3 OPERATEURS DE SYMETRIE : PROJECTEURS ASSOCIES AUX

G R O U P E S D E S Y M E T R I E L ' é t u d e d e s s y m é t r i e s n o u s a m o n t r é 9 u ê r p o u r d é t e r -m i n e r I t o r l e n t a t i o n d ' u n g r a i n d a n s 1 t é c h a n t i l l o n , i l n r e s t p a s p o s s i b l e d e l u i a s s o c i e r u n r e p è r e d e m a n i è r e b i u n i v o q u e . L e Pro-j e c t e u r _{e s t 1 ' o p é r a t e u r} d e s y m é t r i e ( A p p e n d i c e I I I ) q u i a s s u r e I ' é q u i v a l e n c e d e t o u s l e s r e p è r e s d é d u i t s l e s u n s d e s a u t r e s P a r I e s t r a n s f o r m a t i o n s d u g r o u p e c r i s t a l l o g r a p h i q u e d u r é s e a u . A t n s i , d a n s l e c a s d r u n c r i s t a l l l t e a p p a r t e n a n t à I r h o -I o é d r i e t r i c l i n i g u ê , l e g r o u p e d e s y m é t r i e c r i s t a l l o g r a p h j - q u e s e r é d u i t à l r i d e n t i Ë é e t l r i n v e r s i o n S . L e r e p è r e d e r é f é r e n c e é t a n t a m e n é e n c o i n c i d e n c e a v e c l e r é s e a u , l e t r a n s f o r m é d u r e p è r e p a r i n v e r s i o n d é f i n i t l a m ê m e o r i e n t a t i o n . L a r e p r é s e n t a t i o n s y m é t r i s é e c o r r e s p o n d a n t e e s t o b t e n u e P a r a p p l i c a t i o n d u P r o j e c t e u r ( f + S ) / 2 à I a r e p r é s e n t a t i o n d u g r o u p e c o n t i n u d e s r o t a t l o n s , s o i t !

( r . 3 - r )

D a n s c e c a s , l e s r e p r é s e n t a t i o n s s y m é t r i s é e s T ( g ) c o i n -0 c i d e n t a v e c l e s r e p r é s e n t a t i o n s D b ( g ) d e r a n g l p a i r . L e p r o j e c -t e u r ( r + S ) / 2 , g u i r e n d c o m p -t e d e l r e x i s -t e n c e d ' u n c e n t r e d e s y m é t r i e , p e r m e t u n e p r é s e n t a t l o n c o m m o d e d e l a l o i d e F r i e d e l . E n e f f e t , I a g o n i o m é t r i e d e t e x t u r e a u x R - X e s t u n e d e s t e c h n i q u e s I e s p l u s c o u r a n m e n t u t i l i s é e s e n v u e d e I a d é t e r m i n a t j . o n d e I a r é p a r t i t i o n d e s o r l e n t a t i o n s d e s c r l s t a l l l t e s d a n s u n é c h a n t l l l o n p o l y c r l s t a l l l n . L r l n t e n s i t é I t n t L ) d i f f r a c t é e p a r u n e f l g u r e

tltsl = .1,

*lots) . L#lt',

- r + l-r)'

"*

(g)

L

T 7 d e p ô l e s d o n n é e e s t u n e f o n c t i o n d e s d e u x p a r a m è t r e s a n g u l a i r e s E e t n f i x a n t l a d i r e c t i o n d u v e c t e u r d e d l f f r a c t i o n Ë d a n s I e r e p è r e 1 1 é à l ' é c h a n t i l l o n . C e t t e i n t e n s i t é d i f f r a c t é e I ( E ' n ) a p p a r a l t e n f a i t c o t n m e u n e i n t é g r a l e s u r I a f o n c t i o n d e t e x t u r e . S o n d é v e -l o p p e m e n t s u r -l a b a s e d e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s s i m p l e s Y i ' ( 6 , n ) peut donc être obtenu en intégrant terme à terme le développement

( I . f . - 5 ) d e f ( g ) s u r l a b a s e d e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s g é n é r a 1 i s é e s ( A p p e n d i c e I I ) . P a r a i l l e u r s , 1 ' a p p l i c a t i o n d u p r o j e c t e u r ( f + S ) / 2 a u d é v e l o p p e m e n t a i n s i o b t e n u , i m p l i q u e r a l e c a r a c t è r e c e n t r o -s y m é t r i q u e d e f i n t e n -s i t , é d i f f r a c t é e , m ê m e s i I a c l a s s e d e s y m é t r l e d e s c r i s t a l l i t e s n e c o m p o r t a i t p a s d e c e n t r e d e s y m é t r l e . P o u r u n c r i s t a l l i t e a p p a r t e n a n t à I a c l a s s e q , e t d o n t 1 ' a x e d ' l s o t r o p l e e s t d i r i g é e s e l o n O z t , I e p r o j e c t e u r P q " :

- r ( q - 1 )

q

( r . 3 - 2 )

P q =_{- z} + e + e

2n

trl

I

rlr

q L

e s t à a p p t i q u e r a u x

- i ! znt,

r e p r é s e n t a t i o n s D ( g )

= . l m l o ( g ) . p s z l .L n '

( r . 3 - 3 )

r *

( g )

P a r a i l l e u r s ,

l e s r e l a t i o n s

v e c t e u r s l f p > :

L

( r . 3 - 4 )

y-

_{.lf p' .lpl}

= t

p = - L

de fermeture des

I 8 p e r m e t t e n t d ' i n t r o d u i r e 1 ' i - d e n t i t é , s i b i e n q u e :

I"

l"

( r . 3 - s ) r ;

( g ) =

_{Z -}

o . I , m l o t ù l l , p , . l , p l p q r l

t , n >

P = - L

l"

X

P =

( r . 3-7) ri* (g) =

,zL nlfr otsrl lzl.

n,

"33

zt

=

nÉ- zL'pn "#

(g)

( r . 3 - 6 )

P - r + s

= T

è

è ,

D ( s r )

,

D a n s l e c a s p a r t i c u l i e r d r u n a x e q u a t e r n a i r e d i r i g é s e l o n O z ' , l e s r e p r é s e n t a t i o n s s y m é t r i s é e s c o i n c i d e n t d o n c a v e c

e

les représentations ofr (g) +n

P l u s g é n é r a l e m e n t ' o n s a i t q u e l e g r o u p e d e s y m é t r i e a s s o c j - é à u n e c l a s s e h o l o è d r e d o n n é e c o m p o r t e N r o t a t i o n s ' e t N o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e r é s u l t a n t d e l a c o m p o s i t i o n d e c e s r o t a -t l o n s a v e c I ' i n v e r s i o n S . L e p r o j e c t e u r c o r r e s P o n d a n t : o ù l a s o m m e e s t é t e n d u e a u x N r o t a t i o n s d u g r o u p e ' a s s u r e 1 ' é q u i -v a l e n c e d e t o u s l e s r e p è r e s d é d u i t s l e s u n s d e s a u t r e s P a r l e s o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e d u r é s e a u . C o m p t e t e n u d e s r e l a t i o n s d e f e r m e t u r e ( I . 3 - 4 ) d e s v e c t e u r s _{l l p t ,} 1 1 c o n d u i t a u x r e p r é s e n t a t i o n s s y m é t r i s é e s :

2 l

p =

2 L

r b

Du point de vue mathématlque, nous avons obtenu les r e p r é s e n t a t i o n s d u q u o t i e n t ( à d r o i t e ) d u g r o u p e c o n t i n u d e s r o t a t j - o n s P a r I e g r o u p e f i n i e t d i s c r e t d e s y m é t r i e c r L s t a l l o -g r a p h i q u e . D a n s l e c a s d ' u n e s y m é t r i e d a n s I a r é p a r t i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s d e s g r a i n s d a n s I ' é c h a n t i l l o n , I a m é t h o d e s ' a p p l i -q u e é g a l e m e n t à ] a r e c h e r c h e d e s r e p r é s e n t a t i o n s q u o t l e n t ( à g a u c h e ) d e s y m é t r i e a d é q u a t e , a f f e c t a n t c e t t e f o i s - c i l r i n d i c e d e g a u c h e m d e s t h ( g ) . D a n s l e p a r a g r a p h e s u i v a n t , l a m é t h o d e p r o p o s é e s e r a a p p l i q u é e , à t i t r e d r e x e m p l e , a u c a l c u l e x p l i c i t e d e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s s y m é t r i s é e s e n v u e d e I a d e s c r i p t i o n d e s o r i e n t a t i o n s d e g r a i n s à r é s e a u c u b i q u e

2 0

I.4 APPLTCATION AU CAS DES GRÀINS A RESEAU CUBIQUE

L e g r o u p e d e s y m é t r i e d e 1 ' h o l o é d r i e c u b i g u ê r d ' o r d r e 4 8 , c o m p o r t e u n s o u s g r o u P e d e r o t a t i o n d ' o r d r e 2 4 . L e s é I é m e n t s d e r o t a t i o n r é s u l t e n t d e I ' e x i s t e n c e d e ( f i g u r e 1 . 4 - l ) : 4 a x e s t e r t i a i r e s , 3 a x e s q u a t e r n a i r e s , 6 a x e s b i n a i r e s . L a c o m p o s i t i o n d e c e s r o t a t i o n s a v e c f i n v e r s i o n c o m p l è t e I e g r o u p e d e s y m é t r i e . P a r r a p p o r t à I a m a i l l e c u b i q u e ' l e s a x e s t e r n a i r e s j o i g n e n t d e u x s o m m e t s o p p o s é s , l e s a x e s q u a t e r n a i r e s l e s m i l i e u x d e d e u x f a c e s o p p o s é e s , ê t l e s a x e s b L n a i r e s l e s c o u p l e s d ' a r ê t e s o p p o s é e s . I I r l / -l-t .

4

.)-I t t f

-. s i

I

i

-\ -\ . . /

)x

r t \ / * =

'/'i..

+ - ô

i\

a-.

- l -I

it'

. , L -f i g u r e 1 . 4 - 1

2 t

a ) R e p é r a g e d e s m a i t l e s c r i s t a l l i n e s E n v u e d e d ê t e r m i n e r I ' o r i e n t a t i o n d ' u n g r a i n d a n s l e p o l y c r i s t a l , a s s o c i o n s l u i u n r e p è r e ( K B ) o r x r y t z ' d o n t l e s a x e s c o i n c j - d e n t r e s p e c t i v e m e n t a v e c l e s r a n g é e s / - L o o - 7 , l - o t o - f , 1 - O O L _ 7 a u r é s e a u ( f i g u r e L . 4 - 2 ) . S i I d é s l g n e I a r o t a t l o n q u i a m è n e l e r e p è r e ( K A ) I i é à I ' é c h a n t i l l o n ' s u r l e r e p è r e ( K " ) ' I a f o n c t l o n d e t e x t u r e f ( g ) a i n s i d é f i n i e r e p r é s e n t e d o n c l a f o n c t l o n d e d e n s i t é d , o r i e n t a t i o n d e s m a i l l e s c u b i q u e s . D a n s c e m o d e d e d e s c r l p t i o n , l e s a x e s q u a t e r n a i r e s , p a r a l l è I e s a u x a x e s d u r e p è r e ( K B ) o c c u p e n t u n e p o s i t i o n p r i v l l é g i é e . ( f i g u r e L ' 4 2 1 ' L a d é t e r -m i n a t i o n d e s a n g l e s d ' E u l e r { o l , 8 i , Y i } d e s r o t a t i o n s 9 t d u g r o u p e G , e s t a i s é e . s e l o n l e s v a l e É r s d e l t a n g l e B i , I e s 2 4 r o t a t i o n s s e r é p a r t i s s e n t e n 3 . f a m i l l e s , c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i -v e m e n t à ( t a b l e a u I . 4 - I ) :

B i = o

( 4 r o t a t i o n s )

B i = n

( 4 r o t a t i o n s )

B i = i

( 1 6 r o t a t i o n s )

P o u r u n e r o t a t i o n 9 i d ' a n g l e B i

= 1 1 1 I ' o p é r a t e u r D ( 9 t ) :

- i o . _{J ,} - i n J _{- t Y l J z} ( I . 4 - r ) D ( g i ) = e - 1 V e Y e s ' é c r l t r ê l f m o y e n d e I a r e l a t i o n d e c o m m u t a t i o n ( A ' I I I - 1 7 ) ' s o u s la forme équivalente : - i ( c , _{t i ) J "} " - t n t , ( L . 4 - 2 1 o ( S t ) = e

22

6

l=

N

x

o

Y

6,

r9

rF

o

,9

6

o

x

23

c) N .t .ir I o N .$ H \o tl trlN cîl tl d il I 'F{ d d ll I .i trlN tl ôI) t ^J.rl N .s h h trlN .,{ I .1-' trlN tr côl trlN trlc'l trlN trle'l cll cll Vl+ .j tr IC\ tr côl tr lN tr lc.l V+ ir trlN tr c1 I trlN tr lc'| OO l+ trlN trlc'r c.l I trlN

= li*

trl ôl ôl \o o ..3. + h h I q, + I \T (Û o F{ ,ô ts N \7 ll è0 'F{ è0 trlN trle.l trlN trlN trlN tr lôl trlN trlN trlN trlN côl tr l?., trlN f..{.F{ tr lc'l t-{.J

-lx

tl Ê{ N \1 È .f I 'F{ ôI) l.{. rl

5l'

ll tl . F.{ + d tr le.l tl ll "{ + d .È{ + .d d TJ l-l N T H lôl àl I + N -I 0) + N $ N

JT-.ri I q, + a srl-1 tl tr lôJ ll trlN d d ca N FJ .F{ I q, Fj I o N -d I 0) i--1.; ll .J ô0 I-.\t..{ co iJ ir l ô0 Câ z H ts F

2 4

s o i t : P 4 , d é s i g n a n t l e P r o j e c t e u r a s s o c i é à 1 ' a x e q u a t e r n a i r e ' I a f o r m u l e ( f . 3 - 6 ) c o n d u i t a u p r o j e c t e u r P :

' z y ' 4 . -

'

r i -

- i * . r -

- i n J z

- i

*

t rl

( r . 4 - 3 )

P a " = à L t + e

z z +e

+ e

'

' )

,

.,.4-4) p = L#

_{i à}

r-, * È rnr"-tn", * 2 nn, "-'T"""nr] .

L ' u t i l i s a t i o n d e l a p r o p r i é t é , 1 , = P 4 , e t d e I a r e l a t i o n d e c o m m u t a t i o n ( A . I I I - 1 7 ) s i m p l i f i e s o n e x p r e s s l o n :

-inJ*,

-Li t

_u

( r . 4 - 5 )

P = L #

P 4 , r + e

r +4e'

r

P A z

'

6 o u e n c o r e :

-tT

",

( 1 . 4 - 6 )

n = #

P 4 ,

L * 2 e

- '

3 ( e x p r e s s i o n é q u i v a l e n t e m e t t a n t e n é v i d e n c e I e p r o j e c t e u r , Z y = ( r + " - L n J y ) / Z a s s o c i é à I ' a x e b i n a i r e ) ' L e s d e u x f o r m e s é q u i v a l e n t e s d u p r o j e c t e u r P c o n d u i s e n t a u x m ê m e s é l é m e n t s d e m a t r i c e s P p n , d i f f é r e n t s d e z ê t o u n i q u e -m e n t p o u r P e t n -m u l t i P 1 e s d e 4 z

ô - - + ô . o n * q a î ! t î t ^ n

( I . 4 - ? )

P a p + r , =

F r Î

-6

2 5

L e u r s p r o p r i é t é s d e s y m é t r i e s e d é d u i s e n t d e c e l l e s

( A . I - r 3 ) d e s p o l y n ô m e =

U l ' , ( B ) :

( r . 4 - 8 )

* P 4 p _{4 r ,} = P 4 r , _{4 P} = P 4 p _{4 n} = t - a p _{4 n} = P 4 p - 4 t ^ l

L , e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e d e s f o n c t i o n s s y m é t r i s e e s

r f i - n r r ( s )

r é s u l t e d e ( I . 3 - 7 ) :

( r. 4-e) r34n

( s )

o p , , * 0 , p , , + n u i L n

( Ë )

_{n '}

ofl&nn

tsl

- 2 1

L e s f o n c t i o n = r S c n r r ( s ) a i n s i o b t e n u e s s o n t d e s

c o m b i n a i

-n 0 s o n s l i n é a i r e s d e s f o n c t i o n s s p h é r i q u e s g é n é r a l i s é e s O f i ' n n ( S ) ' N o u s a l l o n s v é r i f i e r q u e l e s c o e f f i c i e n t s P 4 p 4 r , d e c e s c o m b l n a l -s o n -s l i n é a i r e -s s o n t b i e n s o l u t i o n s d u s y s t è m e ( L ' 2 - 4 ) d r é g u a t i o n s l i n é a i r e s i m p o s é p a r l e s c o n d i t i O n S d r i n v a r i a n c e ' E n e f f e t ' , I e s y s t è m e ( t , 2 - 4 ) p e u t ê t r e r é d . u i t a u s y s t è m e l i n é a i r e é q u i v a l e n t ( r 4 )

2 e

= 4 P =

( r . 4 - I O )

L

V

+_

_{- L}o o p r 7 l q .lt ,T r rrt q t t

P a r a i l l e u r s , Ia propr LêEê P2 = P lmplique I a r e l a t l o n :

D D = P ' P q - q n - P n

t

z

{ "'"

s l p

s i P

4 P '

4 p '

= q

-1,

( 1 . 4 - r r )

2 6

d.ans laquelle t l q u e ( r . 4 - 7 )

2L

(r.4-r2)

_>,

4 q = - 2 L

( r . 4 - 1 3 )

t nn,

4q *{nn,4q * n

ulLnjâ}-P

Pq

peut être remplacé par son expresslon

analY-n analY-n q

_{4 n} = P4p _{4 r ,} ce système D ' a p r è s l e s r e l a t i o n s d e s y m ê t r i e ( t ' 4 - 8 ) / d r é q u a t i o n s :

2 0 '

4 q =

2 L

4!r'i' ^, P

+s 4n

= P4p

_4,,

e s t l d e n t i q u e a u s y s t è m e ( I . 4 - l O ) r P o u r ! ' p a i r , P e t q m u l t i p l e s d e q u a t r e . b ) R e p é r a g e d e s s v s t , è m e s C e q l i s s e m e n t r l e s t c o u r a m m e n t . d * i " ( 1 7 ) q u e l e s s y s t è m e s d e g l l s s e -m e n t d e s s o l i d e s C . F . C . s o n t d u t y p e { f I I } . f t O t . L a f o n c t i o n d e t e x t u r e f ( g ) d o n n a n t I ' o r i e n t a t i o n d e s m a i l l e s p e r m e t d e d é t e r -m i n e r l , ' o r i e n t a t i o n d e t o u s l e s é I ê m e n t s d u r é s e a u c r L s t a l l l n , e n p a r t i c u l i e r c e l l e d e s s y s t è m e s d e g l l s s e m e n t . S o i t ( K G ) l e r e p è r e a s s o c i é , P â r e x e m p l e , â u s y s t è m e ( f 1 1 ) / - Î r c - 7 , I e s a x e s y t e t z , c o î n c i d e n t r e s p e c t i v e m e n t a v e c l a d L r e c t i o n e t 1 a n o r m a l e a u p l a n d e g l i s s e m e n t ( f i g u r e I . 4 - 2 ) . L ' o r i e n t a t l o n g ' d u s y s t è m e d e g l i s s e m e n t d a n s l t é c h a n t i l l o n e s t d o n n é e p a r l e s c h é m a :

2 7

( 1 . 4 - 1 4 )

( K A )

e pt*"1 -%t*ot

\-n,=

_{eoe J}

( L a r o t a t l o n g o c a r a c t é r i s e I ' o r i e n t a t i o n d u s y s t è m e ( r r I ) 7 - 1 t o - 7 p a r r a p p o r t à I a m a i l l e c r i s t a l l l n e ) ' T o u t e f o i s , l ' é t u d e d e l a d é f o r m a t l o n p l a s t i q u e d u p o l y -c r i s t a l e s t n o t a b l e m e n t s i m p l i f i é e p a r I t i n t r o d u c t i o n d e l a f o n c -t i o n d e -t e x -t u r e t ( g , ) , d o n n a n t d i r e c t e m e n t l a d e n s l t é d r o r l e n t a -t L o n d e s s y s -t è m e s d e g l i s s e m e n -t d a n s 1 r é c h a n -t i l l o n . D a n s c e m o d e d e d e s c r i p t i o n d e I a t e x t u r e , I e s r e p è r e s K c é q u i v a l e n t s P a r s y m é t r i e s o n t a s s o c i é s à } a f a m l l l e d e s y s t è m e s { r r r } . Ï r o r : I l s s e d é d u i s e n t l e s u n s d e s a u t r e s p a r l e s é I é m e n t s du group" GG , transformé du groupe G" Par Ia rotation 9o

( A p p e n d i c e I I I ) . L , a x e t e r n a i r e d u r é s e a u c u b i q u e , c o l n c i d a n t a v e c I t a x e z ' d u r e p è r e ( K G ) , a p p a r a i t a l o r s e n p o s i t l o n p r i v i l é g i é e ' L a d é t e r -m i n a t i o n d e s a n g l e s d ' E u l e r { o ' i , B t i , Y ' i } d e s r o t a t l o n s t , o . r r r - r 4 ) p e r m e t d e l e s c l a s s e r e n 4 f a m i l l e s ' 9 ' i = g o 9 i 9 0 c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t à ( T a b l e a u L ' 4 - 2 ) :

B ' , = o

( 3 r o t a t i o n s )

B ' 1 = n

( 3 r o t a t l o n s )

B ' i =

B o

( 9 r o t a t l o n s )

B t i = r - B o ( g r o t a t i o n s )

28-_*

F) tr .r{ I q,, N cî c1 tl .,{ b0 I d

5l-ll ..'{ I -:-tr lcn tr lcl Nl .Jl oo @c4 ll trlc1 trlc1 -rl $l +? + 1-trlcî trlc.) e{l \1l ^ô co. I r lc1 Àl I 1 Ètw \TI I I tr tr lcl e{l t c\l co. I $l tl tl N c1 I I F l\-, \1l + I tr lcl f co. I co. tr lcl .f,1 co. tr lc.l e.t I d d -@ I ..{ I 0, N I .,i I G) I N F) I 0) h F-) 'rl I N (f) >' -o co. I .r{ I qJ N -.Fl I q) N C1 il t_-\l . ri ôl I 0,) -ô0 à -) .r{ I N cf) tl â N Fl tr . F.{ I c,) h Fl o e .F{ I 0) N c1 ll ô0 N a.l -l tl 'ri ô0

É-Î;'.'

iÎ"'.'

ô.ll \Tl ++ OO @.@ tr lcn tr lc') -1 | \1l +v -.\ tr lcî tr lcn NI \TI +t trF ^^ co. ca tr lc.t tr lco Nl Ôrl t++ .i-r l<-r tr l(.l cll .11 ++ oo m V+ l.-\1. F{ l-1 -lN tl .É{ L.^.1 .F.{ È lcô Àl ll 'rl iJ -fl tl . È.1 d I d [-{.f{ d tl @ I co. co. .r{ o .F.l d tl - lc.r tl N î) trl(1 \Tl .F{ I OJ + N

="P-ô.1 | ''{ I + N cr) N -I q) >' ts) 'J I o) I tl co. N F) .F{ I o €. tl t^l tl è0 t-{.F{ co

2 9

( B o = a r c o s à #70"32'

d l r e c t i o n s < I l l > ) . e s t I t a n g l e e n t r e d e u x p l u s p r o c h e s

L e p r o j e c t e u r P r ,

, a s s o c i é à l r a x e t e r n a i r e :

( r . 4 - r 5 )

n 3 ,

. 4 t - 3 e apparait dans I ' e x p r e s s i o n d e P r , d é d u i t e d e ( I . 3 - 6 ) :

( r . 4 - r 6 ) P r =

'" 'l

) *

|

- i + J

. t t _{J z +} = * l I + e J L - i r J - - - i B ^ J , , - i n J o - l n J l + e Y + 3 e t Y e _ ' _ + 3 e , " - ' ( r - B o ) J " P 3 , I + S

T

p- 3 2

t e u r P r ,

( r . 4 - 1 7 )

I d e P r m e t e n é v i d e n c e l e P r o j e c -U n e f o r m e é q u i v a l e n t e p r é c é d e m m e n t d é f i n i : D_{' 3 2} P t =

P z y P l ,

L r e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e d e s é I é m e n t s d e matrices n t ar, 3r, :J t /

( r . 4 - r 8 )

P ' 3 P _{3 n} =

+ ( - r ) P o _ p , n *

3 0

i m p l i q u e l e s p r o p r i é t é s d e s y m é t r i e : , P t 3 p 3 r , = P ' 3 r , 3 p = P t 3 p 3 r ,

( r . 4 - r 9 )

= ( - r ) P p ' - 3 p

3 n

= ( - r ) n n ' 3 p -3r,

.

L a f o r m u l e ( I . 3 - 7 ) c o n d u i t à 1 ' e x p r e s s i o n a n a l y t l q u e c 0

des ti'Sr, (g') convenablement

symétrisées :

)I

J!

tt

( r.4-2o) rft ,n {s') =

_{, n E - 2 L}

p ' 3 p

3 n

o f f rn (g')

c e s f o n c t i o n s s o n t i n v a r i a n t e s p a r l e s r o t a t i o n s 9 ' i q u i a m è n e n t I e r e p è r e ( K G ) , a s s o c i é â u n s y s t è m e d e g l i s s e m e n t d o n n é , s u r t o u s l e s s y s t è m e s d e g l i s s e m e n t d u m ê r n e g r a i n ' E l l e s s o n t d o n c a d a p t é e s à l a d e s c r i p t i o n d e l a d e n s l t é d ' o r i e n t a t i o n d e s é l é m e n t s d e g l i s s e m e n t d u s o l i d e p o l y c r i s t a l l i n .

3 1

I .5 ORTHONORMALTSATION DE LA BASE SYI{ETRISEE

L a m é t h o d e d e s y m é t r i s a t i o n p r o p o s é e c o n d u i t à u n e b a s e d e f o n c t i o n t 1 - t q l p o s s é d a n t l e s p r o p r i é t é s _mn d r i n v a r i a n c e i r n p l i q u é e s p a r l a s y m é t r i e d u r é s e a u c r i s t a l l i n ' L o r s q u e I a c l a s s e d e s y m é t r i e c r i s t a l l i n e c o m p o r t e a u p l u s u n a x e d ' i s o t r o p i e d e t y P e t e r n a i r e o u q u a t e r n a i r e , l e P r o -j e c t e u r c o n d u i t d i r e c t e m e n t à u n e b a s e o r t h o n o r m é e .

p a r exemple, Ies fonctions d e s y m é t r i e t f i r . , t s ) o b t e n u e s p o u r I a d e s c r i p t i o n d e s o r i e n t a t i o n s d e s g r a i n s a p p a r t e n a n t à I ' h o l o é d r i e t r i c l i n i g u € r c o i n c i d e n t a v e c l e s r e p r é s e n t a t i o n s ) 0

O f f t S ) . L e s f o n c t i o n s s y m é t r i s é e s c o r r e s p o n d a n t à I a c l a s s e c r l s

-4 _ ) 0 t a r r i - n e 3 s o n t r e s h a r m o n i q u e s s p h é r i q u e s o f i " n r . r ( s ) . D a n s r e s d e u x c a s , I a b a s e t r o u v é e e s t o r t h o n o r m é e e n r a i s o n d e I t o r t h o n o r m a l i t é d e s é l é m e n t s d e m a t r i c e s o f u t V ) ( A . r - 7 ) . P a r c o n t r e , I ' h o l o é d r i e c u b i q u e f a i t i n t e r v e n i r s j . m u l t a -n é m e -n t d . e s a x e s q u a t e r -n a i r e s e t t e r n a i r e s f a i s a n t e n t r e e u x d e s a n g l e s n o n s i m p l e s ( 5 4 o 4 4 ' ) . L e s f o n c t i o n s d e s y m é t r i e a p p a r a i s -s e n t a l o r -s s o u s l a f o r m e d e c o m b i n a i s o n s l i n é a i r e s d e s O f u f S ) ( 1 . 4 9 , I . 4 Z O ) e t l e s s o l u t i o n s t r o u v é e s s o n t g é n é r a l e m e n t I i n é -a i r e m e n t d é p e n d -a n t e s . L e p r o c é d é d e s c h m i d t p e r m e t d e c o n s t r u i r e , à p a r t l r d ' u n e f a m i l l e g é n é r a t r i c e , I a b a s e o r t h o n o r m é e c o r r e s P o n d a n t e . L e s p r o p r i é t é s d e s p r o j e c t e u r s ( A p p e n d i c e I I I ) s i m p l i f i e n t n o t a b l e -m e n t s o n a p p l i c a t j - o n à I ' o r t h o n o r r n a l i s a t i o n d e s f o n c t i o n s t f i r t S ) d e s y r n é t r i e .

3 2

N o u s n o u s l i m i t e r o n s i c i à I ' é t u d e d e s f o n c t i o n " t S o n n ( s ) a d a p t é e s à l a d e s c r i p t i o n d e I ' o r i e n t a t i o n d e s m a i l l e s c u b i q u e s ' L e c a s d e s f o n c t i o n " t i u 3 n ( g ' ) d e s t i n é e s a u r e p é r a g e d e s é l é m e n t s d e g l i s s e m e n t p o u r r a i t ê t r e t r a i t é d e m a n i è r e a n a l o g u e ' D o r é n a v a n t , I ' é t u d e p o r t e r a i m p l i c i t e m e n t s u r u n r a n g 2 9 ' d o n n é , € t c e t i n d i c e s e r a o m i s p o u r a l l é g e r l e s n o t a t i o n s . L r a p p l i -c a t i o n d u p r o j e -c t e u r P a u x r e p r é s e n t a t i o n s O ( g ) c o n d u i t a u x f o n c -t i o n s s y m é -t r i s é e s T * n , . , ( v ) ( r . 4 - 9 ) , q u e n o u s a l l o n s o r t h o g o n a l i s e r d a n s u n e p r e m i è r e é t a p e . ( L e u r n o r m a l i s a t i o n u l t é r i e u r e à I ' u n i t é s e r a e n e f f e t i m m é d i a t e ) ' L ' o r t h o g o n a l i s a t i o n e s t r é a l i s é e a u m o -y e n d , u n p r o c é d é r é c u r r e n t d u t y p e s c h m i d t , r e s f o n c t i o n " t * t l r . é t a n t o b t e n u e s à l a i e i t é r a t i o n L e s r e l a t i o n s d e s y m é t r i e ( 1 . 4 - 8 ) r é d u i s e n t à k + 1 ( k = l 2 e . / 4 - 7 , p a r t i e e n t i è r e d e 2 9 " / 4 ) t e n o m b r e d e f o n c t i o n s l a \

, j . 1 "

à c o n s i d é r e r a u d é p a r t d e I a r é c u r r e n c e , € t

p e r m e t t e n t d e

I e s é c r i r e s o u s I a f o r m . e :

( 1 . s - r )

,l'f = njol D* o * Ë ni"ln (D,n

4p

,l"l =

"l"f

D,.

o * É,

ni"ln (D*

4p

. . . . .

,,Loln

= ,j;' . D* o *

Ë

nii)nn (D* +p * D* -4n)

* D * -4n)

+ D * - 4 P )

L a p r o p r i é t é p 2 = p

( A . r r r - 4 ,

1 . 4 - r r ) s i m p r i f i e r e

c a l c u l d e s p r o d u i t s h e r m i t i e n s ( A p p e n d i c e I )

:

3 3

( r . s - 2 )

( r . s - 3 )

' t,1"1,.,

I t*ol., ' =

^ ( o )' 4 n _{4 n t} e t e n p a r t i c u l i e r c e l u i d e s n o r m e s : 1 1 r ( o ) l l l l - m _{4 n} I I

= ' t,loln

L ( o ) l ^ m 4 n i t é r a t i o n c o n s i s t e L , 2 , k ) à r a

= til' *,-,

à o r t h o g o n a l i s e r l e s p r e m i è r e : L a P r e m i è r e

f o n c t i o n " t , l " l " ( n =

( r . s - 4 ) t j t à "

- - ( o ) t m 4 n - . n ( o ) _{4 n r - m o}1 r ( o ) " " ' m o( o )

llr- "ll

- ( o ) _{' o} / n r 4 P ' - m 4P '- Dm -aP) c e q u i c o n d u i t a u x f o n c t i o n s :

nj": o* o

o ' D ^ o

k + p > o

+

Ë "

n j t l n ( o * 4p * o* -4n)

( r . s - 5 )

( r . s - 6 )

D ( r )_{' 4 n} 4 p o ( o ) ' 4 n 4 p o ( o ) - 4 n o

D ( r )

' 4 n

_{4 p}

o ( o )_{- o} 4 p o _{- o} ( o ) o

, , L t l * = o . D * o *,*- nil'nn

( D *

4 p

* D* -ap)

O n v é r i f i e i m r n é d i a t e m e n t q u e l e s s o n t é g a l e m e n t d e s P r o j e c t e u r s o b é i s s a n t a u x r e l a t i o n s d e

3 4

d e s y r n é t r i e d o n n é s P a r :

( r . s - 7 )

( r . 4 - 8 )

e t q u e l e s P r o d u i t s h e r m i t i e n s s o n t t o u j o u r s

r ( r )

m 4 n m ( 1 ) _{' m} > = 4 n t r o t + / 1 \ t 4 4

- ( r )

t 4 n 4 n I l e s ( t < - i )

t i o n s t j t l "

L e s i t é r a t i o n s s u i v a n t e s o r t h o g o n a l i s e n t s u c c e s s i v e m e n t i l ) _{/ n > . r \ u * ( I l , p u i s l e s ( t < Z ) f o n c} -f o n c t i o n s t à ^ _{â r ,} ( n > r ) à T * 4 , I ) \ ( n > 2 ) à t ; ' â o ê t a i n s i d e s u i t e ' D e p r o c h e e n p r o c h e , 1 a m a t r i c e d e s P 4 r , 4 p t u n d v e r s l a s t r u c t u r e t r i a n g u l a i r e : - ( o ) t o o ^ ( o )r _{o ë} - ( l )_{' 4 I} ^ ( 2 ) ' B 8 o ( o ) - o _{4 k} D _{' 4} ( 1 ) 4 k D ( 2 ) ' 8 4 k

A r a ( u + I ) è m e i t é r a t i o n ,

r e s n j : . ) l

_{4 n 4 p}

o b t e n u s s o n t

r o u s n u l s e t l e s ( u + r ) f o n c t i o n " t j , t à , ( i = o ' l 1 u ) s o n t o r t h o g o n a l e s . P a r a i I l e u r s , u n e r é c u r r e n c e s i m p l e m o n t r e q u e l a p r o p r i é t é ( L . 5 - 2 ) s e c o n s e r v e a u c o u r s d e s i t é r a t i o n s s u c c e s s i v e s :

( r . s - 8 )

_ . ( i ) - ^ m 4 n

t,ltL,''

'

tii)nn'

( t. s - e )

3 5

C o e f f i c i e n t s P ( o ) d e s r e p r é s e n t a t i o n s T ( o ) r e t e n u e s a r l e r o i e c t e u r : P ( o ) ^ 0 0 ^ ( 0 ) t L _o P ( o ) - 0 4 e ( o ) .1 q P ( o ) - 0 ₈ p ( o ) 4 ô

e ( o )

- 0 4 k o ( o ) ' 4 _{4 k} p a s d e f o r r . t i o ' f ( 0 ) d e s y m é t r i e .

r (o)

- m 0

Fot

t ' o o l è r e I t é r a t i o n : o ( o ) e ( o ) ^ 0 0 ' 0 4

o

rl"o

r ( o )

. ( - m O r

base : t;;retr

' - 0 0

'j'I

q^

'll'o

- ( 0 )_{' h k} 4 P ( o ) - 4 k 8

e ( o )

- 4 k 4 k p ( o ) - 0 4 k - ( l ) 4 q K - ( 0 ) t o 8 p ( l ) - 4 8

P ! . r ) ,

4K .+ - ( l ) t 4 k 8

'li'on

2 è m e It é r a r i o n : D ( o ) P ( o ) ' 0 0 - 0 4

- ( 0 )

' o

₈

^ ( l )_{' 4 I} e ( 2 ) ' 8 8 P ( o ) - 0 4 k / l ) p . . ,_{- 4} 4 k P ( 2 )- 8 4 k b a s e : r ( 2 )- m 8

r ( o )

, , - m 0

'4J

d'l

4\

l ' l ) P \ " tl 4 ^

HT

' ^ g 8 e ( 2 ) ' 4 k 8 p ( 2 ) - 4 k 4 k o ( u + l ) ' 4 u 4 u base orthonormée , ,{:'9, ' ' . 5 ; ( 0 ) ', ' - 0 0 { ' }

;riT

'

" L 4 - ( u ) I m 4 U . r f ,5-(u) " ^ 4 u 4 u

= 0

/""X

<L

" 7 o

( u + l ) è m e I t é r a t i o n : T a b l e a u I . 5 - l

36 .s I .rE .t ogt tu)t! I I c\,1

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-T I -TÉ -i. \TE lol-f, lNlôl \l + o \TÊ â .ir I !E .J' I ooE lol.c tôl-T lr-lc{ lN '\l illt ^^ .t-t :1-t O\t -f, -3 VV Ill a.t a's vO v.i' rOl't F lN lrt lôl l- ->l Ill ^^ .1 -f, Êr Pr o\1 .f, -t VV ll ll aO aO vO v\i' E $'s -t^E o^Ë

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(,)l Él o

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Él ol (,l ll \Ol trl ao o.l o

gl

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\1 ll ôa (\ (! I î qt 0, J I qt H tl a-f, 3e F F-IN tl aO vÉ H tl e! ôl tl vO ôI I oi N

!t

bt

H.l

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€l

EI

I ôl ôl

s

tl aO vO H tl aO vO tl vO H É o 'Fl u qt tf \o +J l-{ o t{ /Q) (l, t{ ll O --tl vc) Êl \0) ! É +J H o o) ql ql ÊÉl

3 7

O n e n d é d u i t c o r r e s P o n d a n t e :

r ( i )

( 1 . 5 - r o )

m 4 i

r r - ( i ) r l I l r t n 4 1 1 I

immédiatement Ia base orthonormée

* _{' m} ( i ) 4 i

=FT

\ 4 i A L l

i = O r l , . . . . u L e l a b l e a u ( r . 5 - i ) p r é s e n t e l e s c h é m a S y n o P t i q u e d u p r o c é d é d ' o r t h o n o r m a l i s a t i o n . P o u r l l l u s t r e r I a d i S c u s s i o n ' I e s r é s u l t a t s c o r r e s p o n d . a n t r e s p e c t i v e m e n t a u x r a n g s 2 9 " = O ' e t 4 s o n t r a s s e m b l é s d a n s l e t a b l e a u ( I ' 5 - 2 ) ' U n P r o g r a m m e F O R T R A N é t a b l i s e l o n c e t a l g o r i t h m e a p e r m i s d ' e s t l m e r I e t e m p s d e c a l c u l n é c e s s a i r e . Q u e l q u e s m i n u t e s d ' o r d i n a t e u r r . B . M . 1 I 3 0 s u f f i s e n t à l a c o n s t r u c t i o n d e r a b a s e o r t h o n o r r n é e d e s y m é t r i e j u s q u t a u r a n g 2 9 . = r o o ' l a t a b l e d e s c o e f f i c i e n t s n j i ) o ' . , c o r r e s p o n d a n t s f e r a I ' o b j e tt I l r Y d ' u n e p u b r i c a t i o n u I t é r i e u r e ( r B ) '

3 8

C H A P I T R E 2

2 . C O R R E L A T I O N E N T R E L A T E X T U R E D ' U N P O L Y C R I S T A L E T