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SOLUTION  76. Factoriser sans machine l'entier N = 59 618 644 792 167 841. Une indication quand même : N = 5

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Academic year: 2022

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SOLUTION  76.

Factoriser sans machine l'entier N = 59 618 644 792 167 841.

Une indication quand même : N = 524 + 224 + 14 1012. Si on pose a = 56 et b = 26 alors N = a4 + b4 + 14 a2 b2.

On pense au début du développement de (a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4.

Ainsi : (a + b)4 – (a4 + b4 + 14 a2 b2) = 4 a3 b – 8 a2 b2 + 4 a b3 = 4 ab (a – b)2. donc : (a + b)4 – N = 4 ab (a – b)2 soit N = (a + b)4 – 4 ab (a – b)2 ce qui donne N = (56 + 26)4 – 4 106 (56 – 26)2 qui est une différence de carrés.

Finalement : N = [(56 + 26)2 – 2 103 (56 – 26)] [(56 + 26)2 + 2 103 (56 – 26)]

ou N = 59 618 644 792 167 841 = 215 022 721 277 266 721.

Remarque : les 2 facteurs de N sont premiers.

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