Animath Ecole Normale Sup´erieure Science Ouverte
Tutorat de math´ ematiques
Ann´ee 2007 Feuille B
Exercice 1
Myriam se rend pour la premi`ere fois dans un salon de coiffure o`u trois coiffeuses op`erent avec plus ou moins de talent (mais au mˆeme prix). Elle sait que l’une d’entre elles fait des prouesses, la seconde travaille dans la norme et la derni`ere massacre la chevelure des clientes. Mais elle ne sait pas qui est qui. . .
Elle a une information suppl´ementaire : Chaque matin avant l’arriv´ee de la client`ele, chacune est coiff´ee par l’une des deux autres choisie au hasard (mais toutes les trois coiffent).
Myriam se pr´esente donc `a la boutique. Quelle coiffeuse doit-t-elle choisir pour ´eviter la catastrophe ?
Qui devra-t-elle choisir la prochaine fois qu’elle se rendra dans cet ´etrange salon de coiffure ?
Exercice 2
Il fut un temps o`u les ma¸cons utilisaient un proc´ed´e particulier pour v´erifier que des angles entre des murs ´etaient bien droits. Ils utilisaient une cordelette (ferm´ee) orn´ee de 12 nœuds r´eguli`erement espac´es :
Comment s’en servaient-ils ?
Exercice 3
Sachant queX+Y = 1 et que X2+Y2 = 2, que vautX3+Y3?
Sachant que X+Y +Z = 1, que X2+Y2+Z2 = 2 et que X3+Y3+Z3 = 3, que vaut X4+Y4+Z4?
Exercice 4
Soientaetb deux entiers. Montrer que si 7 divise a2+b2 alors 7 divise aet 7 divise b.
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