Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
VIII Courbes de B´ ezier
1) Arc de courbe de B´ ezier avec 3 points de contrˆ ole
Un arc de courbe de B´ezier de degr´e 2 peut ˆetre d´efini `a l’aide d’un pantin de 3 vecteurs contrˆol´es par 3 points : −→V0 =−−−→OM0 ; −→V1 =−−−−→M0M1 et −→V2 =−−−−→M1M2.
Pour t ∈ [ 0 ; 1 ] soit le vecteur courant −−−→OM (t) d´efinit par :
−−−→OM (t) =−→V0 +f1(t)−→V1 +f2(t)−→V2
d−−−→OM
dt (t) =f1!(t)−→V1 +f2!(t)−→V2
Avec les fk (1!k!2) qui sont des polynˆomes de la variable r´eelle t:
! f1(t) = a1t2+b1t+c1
f2(t) = a2t2+b2t+c2
! f1!(t) = 2a1t+b1
f2!(t) = 2a2t+b2
On d´efinit les contraintes suivantes :
−−−→OM (0) =−→V0 et −−−→OM (1) =−→V0 +−→V1 +−→V2
d−−−→OM
dt (0) =f1!(0)−→V1 et d−−−→OM
dt (1) =f2!(1)−→V2
a) D´etermination des 2 polynˆomes
Pour d´eterminer les coefficients des 2 polynˆomes du second degr´ef1 etf2 on a un syst`eme de 6 ´equations `a 6 inconnues :
f1(0) = 0 L1
f2(0) = 0 L2
f1(1) = 1 L3
f2(1) = 1 L4
f2!(0) = 0 L5
f1!(1) = 0 L6
c1 = 0 c2 = 0
a1+b1 = 1 L6−L3
a2+b2 = 1 L4−L5
b2 = 0
2a1+b1 = 0 2L3−L6
c1 = 0 c2 = 0 a1 = −1 a2 = 1 b2 = 0 b1 = 2
! f1(t) = −t2+ 2t f2(t) = t2
−−−→OM (t) =−→V0 + (−t2+ 2t)−→V1 + (t2)−→V2
b) Repr´esentation param´etrique
On peut donc d´eterminer les ´equations param´etriques de l’arc de courbe de B´ezier `a partir des coordonn´ees des vecteurs ou des coordonn´ees des points de d´efinition du pantin vectoriel :
−→V0 =−−−→OM0 ; −→V1 =−−−−→M0M1 et −→V2 =−−−−→M1M2
Les coordonn´eesdes vecteurs du pantin sont les suivantes :
V0
&α
0
β0
'=(x0
y0
) ; V1
&α
1
β1
'=(x1−x0
y1−y0
) ; V2
&α
2
β2
'=(x2−x1
y2−y1
)
Les coordonn´ees des points de contrˆole sont les suivantes :
M0 (x0
y0
)=&α
0
β0
' ; M1 (x1
y1
)=&α
0+α1
β0+β1
' ; M2 (x2
y2
)=&α
0+α1+α2
β0+β1+β2
'
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c) A partir des coordonn´ees des 3 vecteurs`
Repr´esentation param´etrique de −−−→OM (t) `a partir du pantin vectoriel :
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (α2−α1)t2 + 2α1t + α0
y(t) = (β2−β1)t2 + 2β1t + β0
d) A partir des coordonn´ees des 3 points de contrˆole`
Repr´esentation param´etrique de −−−→OM (t) `a partir des points de contrˆole :
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (x2−2x1+x0)t2 + 2(x1−x0)t + x0
y(t) = (y2−2y1+y0)t2 + 2(y1−y0)t + y0
2) Arc de courbe de B´ ezier avec 4 points de contrˆ ole
Un arc de courbe de B´ezier de degr´e 3 peut ˆetre d´efini `a l’aide d’un pantin de 4 vecteurs contrˆol´es par 4 points : −→V0 =−−−→OM0 ; −→V1 =−−−−→M0M1 ; −→V2 =−−−−→M1M2 et −→V3 =−−−−→M2M3.
Soit le vecteur courant d´efinit par : −−−→OM (t) =−→V0 +f1(t)−→V1 +f2(t)−→V2 +f3(t)−→V3
d−−−→OM
dt (t) =f1!(t)−→V1 +f2!(t)−→V2 +f3!(t)−→V3 d2−−−→OM
dt2 (t) =f1!!(t)−→V1 +f2!!(t)−→V2 +f3!!(t)−→V3
Avec les fk (1!k!3) qui sont des polynˆomes de la variable r´eelle t ∈ [ 0 ; 1 ] :
f1(t) = a1t3+b1t2+c1t+d1
f2(t) = a2t3+b2t2+c2t+d2
f3(t) = a3t3+b3t3+c3t+d3
f1!(t) = 3a1t2+ 2b1t+c1
f2!(t) = 3a2t2+ 2b2t+c2
f3!(t) = 3a3t2+ 2b3t+c3
f1!!(t) = 6a1t+ 2b1
f2!!(t) = 6a2t+ 2b2
f3!!(t) = 6a3t+ 2b3
On d´efinit les contraintes suivantes :
−−−→OM (0) =−→V0 et −−−→OM (1) =−→V0 +−→V1 +−→V2 +−→V3
d−−−→OM
dt (0) =f1!(0)−→V1 et d−−−→OM
dt (1) =f3!(1)−→V3
d2−−−→OM
dt2 (0) =f1!!(0)−→V1 +f2!!(0)−→V2 et d2−−−→OM
dt2 (1) =f2!!(1)−→V2 +f3!!(1)−→V3
a) D´etermination des 3 polynˆomes
Pour d´eterminer les coefficients des 3 polynˆomes du troisi`eme degr´e f1, f2 et f3 on a un syst`eme de 12
´equations `a 12 inconnues :
f1(0) = 0 L1
f2(0) = 0 L2
f3(0) = 0 L3
f1(1) = 1 L4
f2(1) = 1 L5
f3(1) = 1 L6
f2!(0) = 0 L7
f3!(0) = 0 L8
f1!(1) = 0 L9
f2!(1) = 0 L10
f3!!(0) = 0 L11
f1!!(1) = 0 L12
d1 = 0 d2 = 0 d3 = 0 a1+b1+c1 = 1
a2+b2+c2 = 1 L5−L7
a3+b3+c3 = 1 L6−L9
c2 = 0 c3 = 0
3a1+ 2b1+c1 = 0 L9−L4
3a2+ 2b2+c2 = 0 L10−2L5
b3 = 0
6a1+ 2b1 = 0 L12−2L9+ 2L7
d1 = 0 d2 = 0 d3 = 0 a1+b1+c1 = 1 a2+b2 = 1 a3+b3 = 1 c2 = 0 c3 = 0 2a1+b1 = −1 a2 = −2 b3 = 0 2a1 = 2
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Les coefficients sont donc :
a1 = 1 ; b1 = −3 ; c1 = 3 ; d1 = 0 a2 = −2 ; b2 = 3 ; c2 = 0 ; d2 = 0 a3 = 1 ; b3 = 0 ; c3 = 0 ; d3 = 0
f1(t) = t3−3t2+ 3t f2(t) = −2t3+ 3t2 f3(t) = t3
−−−→OM (t) =−→V0 + (t3−3t2+ 3t)−→V1 + (−2t3+ 3t2)−→V2 + (t3)−→V3
b) Repr´esentation param´etrique
On peut donc d´eterminer les ´equations param´etriques de l’arc de courbe de B´ezier `a partir des coordonn´ees des vecteurs ou des coordonn´ees des points de d´efinition du pantin vectoriel :
−→V0 =−−−→OM0 ; −→V1 =−−−−→M0M1 ; −→V2 =−−−−→M1M2 et −→V3 =−−−−→M2M3
Les coordonn´eesdes vecteurs du pantin sont les suivantes :
V0
&
α0
β0
'=(x0
y0
) ; V1
&
α1
β1
'=(x1−x0
y1−y0
) ; V2
&
α2
β2
'=(x2−x1
y2−y1
) ; V3
&
α3
β3
'=(x3−x2
y3−y2
)
Les coordonn´ees des points de contrˆole sont les suivantes :
M0 (x0
y0
)=&
α0
β0
' ; M1 (x1
y1
)=&
α0+α1
β0+β1
' ; M2 (x2
y2
)=&
α0+α1+α2
β0+β1+β2
'; M3 (x3
y3
)=&
α0+α1+α2+α3
β0+β1+β2+β3
'
c) A partir des coordonn´ees des 4 vecteurs`
Repr´esentation param´etrique de −−−→OM (t) `a partir du pantin vectoriel :
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (α3−2α2+α1)t3 + 3(α2−α1)t2 + 3α1t + α0
y(t) = (β3−2β2+β1)t3 + 3(β2−β1)t2 + 3β1t + β0
d) A partir des coordonn´ees des 4 points de contrˆole`
Repr´esentation param´etrique de −−−→OM (t) `a partir des points de contrˆole :t ∈ [ 0 ; 1 ]
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (x3−3x2+ 3x1−x0)t3 + 3(x2−2x1+x0)t2 + 3(x1−x0)t + x0
y(t) = (y3−3y2+ 3y1−x0)t3 + 3(y2−2y1+y0)t2 + 3(y1−y0)t + y0
3) Cas g´ en´ eral : Polynˆ omes de Bernstein
Un arc de courbe de B´ezier de degr´enpeut ˆetre d´efini `a l’aide den+ 1 points de contrˆole Mk et den+ 1 polynˆomes de degr´en Bk,n de la variable r´eelle t (0!k!n) :
−−−→OM (t) =
*n k=0
Bk,n(t)−−−→OMk = B0,n(t)−−−→OM0 +B1,n(t)−−−→OM1 +. . .+Bn,n(t)−−−→OMn
Lesn+ 1 polynˆomes de Bernstein Bk,n de degr´ensont d´efinis ainsi :
Bk,n(t) = Cnktk(1−t)n−k = n!
p!(n−p)!tk(1−t)n−k avec : t ∈ [ 0 ; 1 ]
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a) Degr´e 2 avec 3 points de contrˆole On proc`edera de mˆeme dans le cas o`un= 2 :
B0,2(t) = t0(1−t)2 = 1−2t+t2 B1,2(t) = 2t1(1−t)1 = 2t−2t2 B2,2(t) = t2(1−t)0 = t2
Ou obtient les coordonn´ees de−−−→OM (t) avec les coordonn´ees des 3 points de contrˆole :
−−−→OM (t) = (1−2t+t2)(x0
y0
)+ (2t−2t2)(x1
y1
)+ (t2)(x2
y2
) Ce qui donne les mˆemes ´equations param`etriques qu’au paragraphe d) :
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (x2−2x1+x0)t2 + 2(x1−x0)t + x0
y(t) = (y2−2y1+y0)t2 + 2(y1−y0)t + y0
b) Degr´e 3 avec 4 points de contrˆole
Dans le cas o`un= 3, on peut calculer les 4 polynˆomes de Bernstein :
B0,3(t) = t0(1−t)3 = 1−3t+ 3t2−t3 B1,3(t) = 3t1(1−t)2 = 3t−6t2+ 3t3 B2,3(t) = 3t2(1−t)1 = 3t2−3t3 B3,3(t) = t3(1−t)0 = t3 Ce qui permet de d´eterminer le vecteur courant :
−−−→OM (t) = (1−3t+ 3t2−t3)−−−→OM0 + (3t−6t2+ 3t3)−−−→OM1 + (3t2−3t3)−−−→OM2 + (t3)−−−→OM3
Ou obtient les coordonn´ees de−−−→OM (t) avec les coordonn´ees des 4 points de contrˆole : (1−3t+ 3t2−t3)(x0
y0
)+ (3t−6t2+ 3t3)(x1
y1
)+ (3t2−3t3)(x2
y2
)+ (t3)(x3
y3
) Ce qui donne les mˆemes ´equations param`etriques qu’au paragraphe d) :
t ∈ [ 0 ; 1 ]
x(t) = (x3−3x2+ 3x1−x0)t3 + 3(x2−2x1+x0)t2 + 3(x1−x0)t + x0
y(t) = (y3−3y2+ 3y1−x0)t3 + 3(y2−2y1+y0)t2 + 3(y1−y0)t + y0
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