Cercle et constructions aux compas (triangles, milieu) Cercle et constructions aux compas (triangles, milieu)
I.
I. Le cercle Le cercle
1/ L'essentiel
Activités
Placer un point O puis construire, à la règle, le plus de points possibles situés à 2,3cm de O. Que remarque-t-on ?
Définition
On considère un point O déjà placé.
Un cercle de centre O est un ensemble regroupant tous les points situés à une même distance du point O. Cette même distance est appelée le rayon.
S'exprimer
On parle du « cercle de centre O et de rayon OA ».
Représentation
On représente un cercle par un trait circulaire fermé. On utilise pour cela le compas.
Notation
On note le cercle à l'aide de la lettre G entre parenthèses : C ; C1 ;C2 ; C ' ; C ''...
Exemple
Place trois points non alignés A, B et C. Trace le cercle de centre A et passant par B. Trace le cercle de centre B et de rayon BC.
Remarque
On parle aussi d'un rayon pour un segment dont une extrémité est le centre et l'autre est un point du cercle. Dans ce cas, le rayon est à la fois le segment et la longueur de ce segment.
O
O
A
OA est le rayon de ce cercle.
(C)
Cercles concentriques
Place trois points A, B et C non alignés. Trace le cercle de centre A et passant par B, puis celui de centre A et passant par C.
Ces deux cercles sont appelés cercles concentriques car ils ont le même centre.
2/ Cordes
Définition
Une corde est un segment (ou la longueur de ce segment) dont les extrémités sont deux points du cercle.
Définition
Un diamètre est une corde passant par le centre.
Points « méthode »
Comment tracer un cercle lorsque son diamètre est donné sous la forme d'un segment ?
•
On suppose qu'un segment [AB] est déjà tracé.•
On prend le milieu I de ce segment.•
On trace ensuite le cercle de centre I et passant par A et B.Comment tracer un cercle lorsque son diamètre est donné sous la forme d'une longueur ?
•
On suppose que le diamètre est 7cm.•
On divise par deux pour obtenir le rayon : 72=3,5cm.
•
On trace le cercle de rayon 3,5cm.Propriété
Le rayon est la moitié du diamètre et le diamètre est le double du rayon.
Si r représente le rayon et d le diamètre, on a : d=2×r r=d÷2
Exemple 1
Complète le tableau suivant :
Rayon Diamètre
5
7 0,3
x
K O J
T
O M A
B
C
Exemple 2
Trace le cercle de centre A et de rayon [AB]. Trace le cercle de centre A et de rayon BD. Trace le cercle de diamètre [AB].
3/ Distance par rapport au centre
Vocabulaire
Dans le cercle ci-dessous :
•
A, B et C sont trois points du cercle, on dit qu'ils appartiennent au cercle ;•
E est un point situé à l'intérieur du cercle ;•
D est un point situé à l'extérieur du cercle.Remarque/Propriété
Le rayon permet de traduire en termes de distance l'intérieur et l'extérieur d'un cercle.
•
Si E est à l'intérieur du cercle de rayon OA alors OEOA.•
Si D est à l'extérieur du cercle de rayon OA alors ODOA.•
Si B est un point du cercle alors OB=OA.4/ Arcs de cercle
Définition
Un arc de cercle est une partie de cercle située entre deux points.
Remarque/Notation
On parle d'un arc de cercle d'extrémités A et B. On note AB.
A∈C ; E∉C ; O∉C ; B∈C ...
B
O
E D
C A
II.
II. Constructions de triangles Constructions de triangles
1/ Vocabulaire
•
A, B et C sont les sommets du triangles ABC.•
[AB], [BC] et [CA] sont les côtés du triangle.2/ Construction
Activité
•
Trace un segment [AB] de longueur 7cm. Trace le cercle de centre A et de rayon 5cm puis le cercle de centre B et de rayon 4cm. Que peut-on dire des points d'intersections des deux cercles par rapport à A et B.I et J sont situés à 5cm de A et à 4 cm de B.
•
En s'inspirant de la construction précédente, construire un triangle IJK tel que IJ=6,5cm, JK=3,2cm et KI=4,4cm.Il y a deux possibilités pour tracer un triangle IJK. On remarque qu'il est inutile de tracer les cercles en entier ; des arcs vont suffire.
Méthode générale
On veut construire le triangle ABC tel que AB
=
6,3cm, BC=
4,8cm et CA=
3,5cm.•
1 étapeère : de préférence, on trace le segment le plus long.•
2 étapeère : à l'aide du compas, on trace un premier arc à 4,8cm de B puis un deuxième arc à 3,5cm de A. Il faut faire en sorte que ces deux arcs se croisent : leur point d'intersection est le point C.•
3 étapeère : on termine la construction en traçant les segments[
BC]
et[
AC]
, c'est à dire les deux derniers côtés du triangle ABC.A B
A B
A B
C
A B
C
III.
III. Autres constructions au compas Autres constructions au compas
1/ Médiatrice (rappel)
•
A l'aide du compas, prendre un écartement suffisamment grand (plus grand que la moitié de la longueur du segment pour que les arcs se croisent).•
Pointer sur les extrémités afin de former deux paires d'arcs de cercle qui se croisent de part et d'autres du segment ; deux points sont alors constitués.•
Placer la règle contre ces deux points puis tracer la médiatrice.Point méthode
Comment tracer un cercle dont le diamètre est un segment donné, sans utiliser la graduation de la règle ? On considère donc un segment [AB] de longueur quelconque. On sait que le centre du cercle de diamètre
[AB] est le milieu de ce segment. Grâce au rappel précédant sur les médiatrices, on sait comment construire au compas le milieu d'un segment (sans mesurer !). Il suffit, pour finir, de pointer sur le milieu du segment et de tracer le cercle passant par A et B.
A B
